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2021年北京市海淀区十校联考高二上期中数学试卷(含答案解析)

1、2021年北京市海淀区十校联考高二上期中数学试卷一、选择题共13小题,每小题4分,共52分1设为虚数单位,复数,则在利平面内对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已经函数是定义域为的奇函数,当时,则等于A5B3C-3D-53已知是直线,、是两个不同平面,下列命题中真命题是A若,则 B若,则C若,则 D若,则4平等六面体中,为和的交点,若,则下列式子中与相等的是AB CD 5向量的相反向量的单位向量是 A BCD 6下列命题正确的是A经过三点确定一个平面B经过一条直线和一个点确定一个平面C四边形确定一个平面D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面7设:,是三个非零向量,:为空间

2、的一个基底,则是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 8已知,则,的大小关系为ABC D9在空间直角坐标系中,已知,若,分别表示三棱锥在,坐标平面上的正投影图形的面积,则A B且 C且 D且10肖瑶同学在读九章算术时,得知:将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马。肖瑶同学发现四棱锥为阳马,最短的棱为,若该阳马的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为A B CD11九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,祝翔宇同学发现书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺. 问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如左下图,米堆为一个圆锥的四分

3、之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有A22斛B14斛C36斛D66斛12如右上图所示,已知点,分别是正方体的棱,的中点,点,分别是线段与上的点,则满足与平面平等的直线有 A0条B1条C2条D无数条13如右图所示,d 正方体中,点是棱上的一个动点,平面交棱于点,则下列命题中假命题是 A存在点,使得平面B存在点,使得平面C对于任意的点,两面平面D对于任意的点,四棱锥的体积均不变二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)14已知向量和平行,那么 , .15如右图所示,四面体的每条棱长都等

4、于2,点,分别为棱,的中点,则 , 16若直线的方向向量为,平面的法向量,则直线与平面的位置关系是 17如图1,已知四面体中,分别为,的中点,且与所成的角为,则 图1 图2 图318如图2,已知是各条棱长均等于的正三棱柱,是侧棱的中点,点到平面的距离 . 19如图3,正方体的棱长为1,动点在线段上,动点在平面上,且平面.(1)当点与点重合时,线段的长度为 ;(2)线段长度的最小值为 .三、解答题(共5小题,共68分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)20(本题14分)如图,在三棱锥中,平面平面,为等边三角形,且,分别为,的中点.(1)(本小问4分)求证:平面;(2)(本小问6分)求证:平

5、面平面;(3)(本小问4分)求三棱锥的体积.21(本题14分)在中,内角,的对边分别为,且.(1)(本小问7分)求角的大小;(2)(本小问7分)若,求,的值.22(本题14分)已知函数.(1)(本小问7分)若,且,求的值;(2)(本小问7分)求函数的最小正周期及单调递增区间.23(本题14分)如图,在四棱锥中,底面是边长为1的正方形,且.(1)(本小问4分)求证:平面;(2)(本小问5分)求二面角的余弦值;(3)(本小问5分)棱上是否存在一点,使直线与平面所成的角是?若存在,求的长;若不存在,请说明理由.24(本题12分)对于数集,其中,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称具有性质. 例如具

6、有性质.(1)(本小问4分)若,且具有性质,求的值;(2)(本小问4分)若具有性质,求证:,且当时,;(3)(本小问4分)若具有性质,且,(为常数),求的解析式.参考答案一、选择题共13小题,每小题4分,共52分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1. 设i为虚数单位,复数,则在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先求得,由此求得对应的点的坐标,进而求得对应点所在的象限.【详解】,在复平面内对应的点为,在第三象限.故选:C.【点睛】本小题主要考查复数减法运算,考查复数对应点所在的象限.2. 已经函数是定义域为的

7、奇函数,当时,则等于( )A. 5B. 3C. -3D. -5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求出的值,再由即可求解.【详解】因为时,所以,因为函数是定义域为的奇函数,所以,故选:B.3. 已知是直线,、是两个不同平面,下列命题中真命题是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】C【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理,逐项判定,即可求解【详解】对于A,若,则或与相交,所以A错;对于B,若,则或或与相交,所以B错;对于C,若,则,由面面垂直的判定可知选项C正确;对于D,若,则或,所以D错故选:C4. 如图,在平行六面体中,AC与BD交点为M设,则下列向量

8、中与相等的向量是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的加法运算即可求解.【详解】由空间向量的线性运算可得.故选:A5. 向量的相反向量的单位向量是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用相反向量及单位向量概念即得.详解】向量,向量的相反向量的单位向量是.故选:C6. 下列命题正确的是( )A. 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和一个点确定一个平面C. 四边形确定一个平面D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【答案】D【解析】【分析】由平面的基本性质结合公理即可判断.【详解】对于A,过不在一条直线上三点才能确定一个平面,故A不正确;

9、对于B,经过一条直线和直线外一个点确定一个平面,故B不正确;对于C,空间四边形不能确定一个平面,故C不正确;对于D,两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,故D正确.故选:D7. 若:,是三个非零向量;:,为空间的一个基底,则p是q的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底,若,是三个共面的非零向量,则,不能作为空间的一个基底;但若,为空间的一个基底,则,不共面,所以,是三个非零向量,即p是q的必要不充分条件.故选:B.8

10、. 已知,则,的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】找中间量和比较可得答案.【详解】,所以.故选:C9. 在空间直角坐标系中,已知,若,分别表示三棱锥在,坐标平面上的正投影图形的面积,则( )A. B. 且C 且D. 且【答案】D【解析】【分析】根据各顶点坐标,画出空间直角坐标系中的三棱锥,进而确定在上、上的投影坐标,及三棱锥在上投影为,即可求,.【详解】由题设,空间直角坐标系中三棱锥,易知底面为等腰直角三角形且,面面,即上投影为,如下图示,在上的投影为,在上的投影为,而,故选:D10. 肖瑶同学在读九章算术时,得知:将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为

11、阳马肖瑶同学发现四棱锥为阳马,最短的棱为,若该阳马的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将四棱锥补成长方体,则体对角线为球直径,由球表面积公式即可求解.【详解】将四棱锥补成长方体,则体对角线为球直径,设外接球的半径为,则,所以该球的表面积为.故选:A11. (2015新课标全国I理科)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知

12、1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B【解析】【详解】试题分析:设圆锥底面半径为r,则,所以,所以米堆的体积为=,故堆放的米约为1.6222,故选B.考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式12. 如图,已知点E,F分别是正方体的棱AB,的中点,点M,N分别是线段与上的点,平面,这样的直线MN的条数为( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条【答案】D【解析】【分析】当底面向上平移时,始终与有交点,此两交点所在直线始终在与平行的平面内,故有无数条【详解】如图,当底面向上平移时,设与底面平行平面为,则与分别交于两点

13、,由面面平行性质可知,平面,平面,平面,则,由于这样的平行平面有无数个,故这样的直线有无数条故选:D【点睛】本题考查面面平行的性质,属于基础题13. 如图所示, 正方体中,点是棱上的一个动点,平面交棱于点,则下列命题中假命题是( )A. 存在点,使得平面B. 存在点,使得平面C. 对于任意的点,平面平面D. 对于任意的点,四棱锥的体积均不变【答案】B【解析】【分析】当为的中点时,则也为的中点,可证平面,判断A是真命题;由与相交,判断B是假命题;根据对于任意的点,都有平面,判断C是真命题;根据,而两个三棱锥的体积为定值,判断D是真命题【详解】当E为的中点时,则F也为的中点,平面;故A为真命题;因

14、为平面,由正方体性质知与相交于一点,所以平面不正确,故B为假命题平面,平面,平面平面,故C是真命题;,平面,所以F, E到面的距离为定值,四棱锥的体积为定值,故D是真命题故选:B二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)14. 已知向量和平行,那么_,_【答案】 . -2 . 1【解析】【分析】根据空间向量共线求参数即可.【详解】因为向量和平行,所以向量,解得.故答案为:;115. 如图,四面体的每条棱长都等于,点,分别为棱,的中点,则_;_【答案】 . 2 . 【解析】【分析】根据向量的加法和减法的定义进行化简,再求其模.【详解】 , ,又四面体的每条棱长都等于, ,取BD的中点为M,则,

15、 ,故答案为:2,.16. 若直线的方向向量为,平面的法向量,则直线与平面的位置关系是_【答案】或【解析】【分析】由空间向量数量积的坐标表示可得,再由线面位置关系即可求解.【详解】因为直线的方向向量为,平面的法向量,所以,所以,所以或,故答案为:或.17. 已知四面体中,分别为,的中点,且异面直线与所成的角为,则_.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O,连结EO、FO,推导出EOFO1,或,由此能求出EF详解】取BD中点O,连结EO、FO,四面体ABCD中,ABCD2,E、F分别为BC、AD的中点,且异面直线AB与CD所成的角为,EOCD,且EO,FOAB,且FO1,EOF是异面直线AB与

16、CD所成的角或其补角,或,当EOF时,EOF是等边三角形,EF1当时,EF故答案为1或【点睛】本题考查异面直线所成角的应用,注意做平行线找到角是关键,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,是易错题18. 如图,已知是各条棱长均等于的正三棱柱,是侧棱的中点,点到平面的距离为_【答案】#【解析】【分析】取的中点,以点为坐标原点,、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】取的中点,连接,因为为等边三角形,则,以点为坐标原点,、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系,则、,设平面的法向量为,由,取,则,得,所以,点到平面的距离为.故答案为:.19

17、. 正方体的棱长为1,动点M在线段CC1上,动点P在平面上,且平面.()当点M与点C重合时,线段AP的长度为_;()线段AP长度的最小值为_.【答案】 . . 【解析】【分析】()当点M与点C重合时,可以得到点与点重合,从而可得的长度;()利用线面垂直得到等量关系,结合二次函数求解最值.【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设则,.因为平面,所以, .()当点M与点C重合时, , ,此时的长度为;().【点睛】本题主要考查空间中的垂直关系及动线段的长度问题.动点引发的长度变化,要寻求其中不变的关系式,综合运用其他知识求解.三、解答题(共5小题,共68分解答应写出文字说明、

18、演算步骤或证明过程)20. 三棱锥中,平面平面,为等边三角形,且,、分别为、的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理可得,再由线面平行的判定定理可得平面;(2)由于,为的中点,可得,再由平面平面,可证得平面,然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面;(3)由于平面,所以求,可得三棱锥的体积【详解】(1)证明:、分别为、的中点, 又平面,平面,平面; (2)证明:,为的中点, 又平面平面,平面平面,且平面,平面,又平面,平面平面; (3)解:在等腰直角三角形中,等边三角形的面积

19、, 又平面,三棱锥的体积, .21. 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值【答案】(1)B=60(2)【解析】【详解】(1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数,由正余弦定理化简求值是真理22. 已知函数.(1)若,且,求的值;(2)求函数的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1) ;(2) ,【解析】【详解】试题分析:(1)由,且,求出角的余弦值,再根据函数,即可求得结论.(2) 已知函数,由正弦与余弦的二倍角公式,以及三角函数的化一公式,将函数化简.根据三角函数周期

20、的公式即可的结论.根据函数的单调递增区间,通过解不等式即可得到所求的结论.试题解析: (1)因为所以.所以(2)因为,所以.由得.所以的单调递增区间为.考点:1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.23. 如图,在四棱锥中,底面是边长为1的正方形,且(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)棱上是否存在一点,使直线与平面所成的角是?若存在,求的长;若不存在,请说明理由【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在,理由见解析.【解析】【分析】(1)由线面垂直的判定定理证明面,面,可得、,再由线面垂直的判定定理即可求证;(2)如图建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量、平面的一个法向量,利

21、用空间向量夹角公式即可求解;(3)设,可得,平面的一个法向量为,利用空间向量夹角公式列方程,解方程求出的值即可求解.【小问1详解】在正方形中,又因为,所以面,因为面,所以,因为,所以面,因为面,所以,因为,所以平面;【小问2详解】由已知可得,两两垂直,以为原点,分别以,所在的直线为,轴建立空间直角坐标系,连接,可得,因为,所以,所以,设平面的一个法向量,由,令,则,所以,设平面的一个法向量, 由,则,令,则,所以,所以,因为二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为.【小问3详解】存在,理由如下:假设在棱上是否存在一点满足条件,设,则,因为平面,所以平面的一个法向量为,所以,解得:,所以在棱上是否

22、存在一点,使直线与平面所成的角是且的长为.24. 对于数集X=-1,x1,x2,xn,其中,n 2,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称X具有性质P.例如-1,1,2具有性质P.(1)若x 2,且-1,1,2,x具有性质P,求x的值;(2若X具有性质P,求证:1 X ,且当xn 1 时,x1= 1;(3)若X具有性质P,且x1= 1 ,x2 =q (q为常数),求有穷数列x1,x2,xn的通项公式.【答案】(1)x = 4;(2)证明见解析;(3),k = 1,2,3,n.【解析】【分析】(1)根据定义,选择向量和,利用,求;(2)取,设满足,可得,、中之一为-1,另一为1,故1X,然后只要

23、用反证法证明之间不存在即可;(3)可以利用后一项比前一项的比值建立数集,最终求出后一项与前一项比是定值,从而是等比数列.【详解】(1)选取,Y中与垂直的元素必有形式(-1,b) ,所以x = 2b ,从而x = 4 .(2)取,设 ,满足,则(st)x1= 0 ,s +t = 0 ,所以s,t异号.因为-1是X中唯一的负数,所以s,t之中一个为-1,另一个为1,故1 X .假设xk = 1,其中1k n ,则0x11xn .选取 ,并设,满足,即 ,则s,t异号,从而s,t之中恰有一个为-1 .若s = -1,则,矛盾;若t=-1 ,则,矛盾.所以x1= 1 .(3)设 , ,则等价于记,则数集X具有性质P,当且仅当数集B关于原点对称,注意-1是集合X中唯一的负数,共有n-1个数,所以B(0,+)也有n-1个数.由于,已经有n-1个数,对以下三角形数阵;注意到所以从而数列的通项公式是,k = 1,2,3, ,n .