1、2021 年北京市顺义区二校联考高二上期中数学试卷年北京市顺义区二校联考高二上期中数学试卷 一、选择题：共 10 小题，每小题 4分，共 40 分. 1直线31 0 xy 的倾斜角是（ ） A30 B60 C120 D135 2已知数列中，则等于（ ） A-12 B12 C-16 D16 3已知点 A的坐标是（-1,0），点 M满足|MA|=2，那么 M点的轨迹方程是（ ） Ax2+y2+2x-3=0 Bx2+y2-2x-3=0 Cx2+y2+2y-3=0 Dx2+y2-2y-3=0 4某工厂对一批元件进行抽样检测经检测，抽出的元件的长度(单位：mm)全部介于 93 至 105 之间将抽出的元
2、件的长度以 2为组距分成 6 组：93,95)，95,97)，97,99)，99,101)，101,103)，103,105，得到如图所示的频率分布直方图若长度在97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的 不合格率不合格率是( ) A80% B11% C20% D14.5% 5甲骑自行车从 A 地到 B地，途中要经过 4个 十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( ) A.13 B127 C.49 D. 427 6如图，从上往下向一个球状空容器注水
3、，注水速度恒定不变，直到0t时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为0h. 水面高度h时间t的函数，这个函数图象只可能是（ ） 12a 12nnaa8a A. B C. D. 7已知等比数列 na的前 n项和为 Sn，下表给出了 Sn的部分数据： 1 2 3 4 5 6 20 -61 那么数列 na的第四项4a等于（ ） A81 B27 C-81 或 81 D -27 或 27 8已知nS是等差数列*()nanN的前n项和，且564SSS. 以下有四个命题： 数列nS中的最大项为10S；数列na的公差0d ；100S；110S. 其中正确的序号是( ) A B C D 9已知抛物线 C：y2=
4、4x上的两点分别为11,A x y，22,B x y，且点 C（1,0），若直线 AB 与坐标轴不平行，则下列说法错误的是（ ） A.存在以点 A 为直角顶点的 RtABC B.若 y10，y20，则|AC|BC| C.ABC可能是等边三角形 D.当 A、B、C 三点共线时，则|AB|4 10已知0a ，设函数1,ln1,22)(2xxaxxaaxxxf，若关于x的不等式0)(xf在R上恒成立，则a的取值范围为（ ） A.0,1 B.0,2 C. 1,e D. 0,e nnS1二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分。 11函数 f (x)=xlnx的导数 f (x) = . 12双
5、曲线2214xy的渐近线方程是 ；离心率是 13我国古代数学名著九章算术中有如下“竹九节”问题，现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面 3节的容积共 3L，下面 3节的容积共 4L，则第 5 节的容积为 L，9 节竹总容积为 . 14 直线l与抛物线22xy 交于 A，B 两点，且抛物线在 A，B 两点处的切线互相垂直， 其中 A 点坐标为（2，2） ，则直线l的斜率等于 . 15 已知( )()()f xa xb xc，( )( )g xxf x （0a ），则下列命题中所有正确命题的序号为_. 存在, ,a b cR，使得( )f x，( )g x的单调区间完全一致；
6、 存在, ,a b cR，使得( )( )f xg x，( )( )f xg x的零点完全相同； 存在, ,a b cR，使得( )fx，( )g x分别为奇函数，偶函数； 对任意, ,a b cR，恒有( )fx，( )g x的零点个数均为奇数. 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16（本小题满分 13分） 已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为 q（q0）的等比数列，且， （）求数列和的通项公式； （）设2nncb，求数列的前项和 nad nb112ab4525aa3 34a b na nb ncnnS17（本小题满分 13分） 某学校为了了
7、解高中生艺术素养，从学校随机选取男，女同学各 50人进行研究，对这 100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素养指标 x和 y，制成下图，其中“*”表示男同学，“+”表示女同学.若00.6x，则认定该同学为“初级水平”，若0.60.8x，则认定该同学为“中级水平”，若0.81x，则认定该同学为“高级水平”；若100y ，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”，否则为“不具备明显艺术发展潜质”. （）从 50名女同学中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率； （）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选 2名，求选出
8、的 2名均为“高级水平”的概率； （）试比较这 100名同学中，男、女生指标 y的方差的大小（只需写出结论）. 18（本小题满分 15） 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，CC1平面 ABC，ACBC，AC=BC=2，CC1=3，点 D、E 分别在棱AA1和棱 CC1上，且 AD=1，CE=2，点 M为棱 AB 的中点 （）求证：CMB1D； （）求二面角 B-B1E-D 的余弦值； （）求直线 AB与平面 DB1E所成角的正弦值 19（本小题满分 15分） 已知椭圆（）的焦点是 F1，F2，且| F1F2|=2，离心率为22 （）求椭圆的方程； （）过椭圆右焦点 F2的直线 交椭圆于，
9、22,B x y（12xx）两点，点 Q是直线 l上异于F2的一点，且满足22,AQBQ F ABF.求证：点 Q 的横坐标是定值. 20（本小题共 15 分） 已知函数( )xf xaxe()aR （）如果曲线 y=f (x)在点(1,f (1)处的切线的斜率是 2，求此时的切线方程； （II）求函数的单调区间； （）设23( )12g xxax ，求证：当0,1x时，( )( )f xg x恒成立. 21（本小题满分 14分） 已知 na是无穷数列，且0na ，给出该数列的两个性质： 对于 na中任意两项,()ija a ij，在 na中都存在一项ma，使得2jmiaaa； 对于 na中任
10、意项(3)na n，在 na中都存在两项,()kla a kl，使得2lnkaaa ()判断数列2n和数列2 n是否满足性质（直接写出答案即可）； ()若3 2 (1,2,3,)nnan ，判断数列 na是否同时满足性质和性质，说明理由； ()若 na是递增数列，11a ，且同时满足性质和性质，证明：数列 na为等比数列. 22221xyab0abl11,A x y( )f x参考答案参考答案 一、选择题：共 10 小题，每小题 4分，共 40 分. 1.B；2.A；3.A；4.C；5.D；6.C；7.B；8.B；9.C；10.D 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分。 11ln
11、x+1；12.15,22yx ；137 6366，；14.34；15 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16解：（解：（）因为数列是公差为的等差数列，12a ， 所以113425.adad 所以3.d 2分 所以21331.nann 4 分 所以38.a 因为，所以31.2b 所以211.2bq 因为12b ，0q ，所以1.2q 6分 所以12112.22nnnb 8分 （）因为22214nncb，且114nncc，所以数列是首项为 4，公比为14等比数列 所以12nnSccc141 ( ) 1616 14( )133414nn 13 分 17解
12、：（I）由图知，在 50 名参加测试的女同学中，指标0.6x 的有 15 人， 所以，从 50名女同学中随机选出一名，该名同学为“初级水平”的概率为1535010P .-4 分 （）男同学“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”共有 6人，其中“中级水平”有 3人，分别记为1A，2A，3A.“高级水平”有 3人，分别记为1B，2B，3B，所有可能的结果组成的基本事件有： nad4525aa3 34a b nc12,A A，13,A A，11,A B，12,A B，13,A B，23,A A，21,A B，22,A B，23,A B，31,A B，32,A B，33,A B，12,B B，13
13、,B B，23,B B，共 15 个，其中两人均为“高级水平”的共有 3个， -9 分 所以，所选 2人均为“高级水平”的概率31155P . -11 分 （）由图可知，这 100名同学中男同学指标y的方差大于女同学指标y的方差.-13 分 18解：依题意，以C为原点，分别以CA、CB、1CC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得0,0,0C、2,0,0A、0,2,0B、12,0,3A、10,2,3B、2,0,1D、0,0,2E、1,1,3M. （1 分）分） （）依题意，1,1,0CM ，12, 2, 2B D ， 从而112200C M B D，所以11C MBD
14、； 4分 （综合法证明（综合法证明 4 分）分） （）依题意，2,0,0CA是平面1BB E的一个法向量，（1 分）分） 10,2,1EB ，2,0, 1ED 设, ,nx y z为平面1DB E的法向量， 则100n EBn ED，即2020yzxz， 不妨设1x ，可得1, 1,2n （2 分）分） 设二面角 B-B1E-D 的平面角为 ，则 |26cos|cos,|626CA nCA nACn（3 分）分） 所以，二面角1BB ED的余弦值为66； 11分 （）依题意，2,2,0AB 由（）知1, 1,2n 为平面1DB E的一个法向量， 设直线 AB与平面 DB1E 所成角为 ， 则|
15、 4|3sin|cos,|32 26AB nAB nABn（3 分）分） 所以，直线AB与平面1DB E所成角的正弦值为33. 15分 19解：（解：（）因为椭圆的焦点是1F，2F，且，所以1.c 2 分 因为离心率为22，所以2.a 所以1.b 4 分 所以椭圆的方程是221.2xy 5 分 （）（）（i）解：）解：因为12xx，故直线 AB存在斜率 设直线 的斜率为k，所以直线 的方程可设为， 联立方程组221,21 ,xyyk x消去y，整理得2222124220.kxk xk 所以212241 2kxxk，212222.1 2kx xk 8分 因为点Q在直线 上，所以设点Q的坐标是(
16、, )x y，则有(1)yk x 因为22,AQBQ F ABF，所以11221122(,)(,)(1,)(1,)xx yyxxyyxyxy 112211xxxxxx 11分 122FF ll(1)yk xl所以12121220.xxxx xx 所以1212122()2x xxxxxx=2，因为 y=k(x-1)，所以 y=2k 15 分 所以点Q的坐标是2,.k所以点Q在定直线2x 上. 20解：（）( )xfxae=- ，由题意知，(1)2f= ，即2ae-= ，所以=2+ea. -2 分 又(1)2fae，所以切线方程为22(1)yx即2yx . 4 分 （）定义域为 R，( )xfxa
17、e 当0a 时，( )0 xfxae恒成立，所以函数在 R 上单调递减； 当0a 时，当( )0 xfxae时，lnxa，函数递增， ( )0 xfxae时，lnxa，函数递减； 综上：当0a 时，函数 f (x),的单调递减区间为(,) ，无单调增区间； 当0a 时，函数 f (x),的单调递增区间为(,ln )a，单调递减区间为(ln ,)a ； 8 分 （）设 h(x)=f (x)-g(x)=2312xxe，则( )3exh xx=- . 9分 设( )( )H xfx，所以( )3 exH x . 因为0,1x ，所以e1,ex. 因此( )3 e0 xg x 恒成立. 所以当0,1x
18、时，( )( )H xh x单调递增. 11 分 又因为(0)10h=- 0h= -， 所以存在唯一的0(0,1)x ，使得0()0h x=. 13分 列表如下： x 0 0(0,)x 0 x 0(,1)x 1 ( )h x 1- - 0 + 3 e- ( )h x 0 极小值 52e- 当0,1x时，max5( )max(0), (1)max 0,02h xhhe禳镲=-=睚镲铪. 所以当0,1x时，( )0h x ，则有( )( )0f xg x-?，即( )( )f xg x恒成立.-15 分 21解：()数列2 n不满足性质；数列2 n满足性质， 4分 ()对于 na中任意两项,()i
19、ja a ij，222()(3 2 )3 23 2jjj iiiaa ，取 2mji，满足222jj imiaaaa，从而数列 na满足性质； 对于 na中任意项(3)na n，记 12,()=lnknaaaakl显然有2lnkaaa，从而数列 na满足性质. 综上，数列 na同时满足性质和性质. 9 分 () na是递增数列，11a ，则21a ，根据性质 22221naaaa， 222223 2342222()nnaaaaaaaa，,可以证明 23*22221,|nnanNa aaanN； 另一个方面，我们用反证法证明， *232222|1,nnanNanNa aa； 假设2txa（1t ）是 na中最小的不能写成2a的整数指数幂的项，根据性质，存在两项,()kla a kl，使得2lkaxa，我们记 22,qkplaaaa其中1pq，可知：222222()()qtqppaaaa， 易知20tqpqpqq， 根据2txa（1t ）的最小性可知：*,p qNpq， 因此可得到*2tqpN，与 t不是正整数矛盾. 综上所述， na是首项为 1，公比为2a的等比数列. 14分
