1、辽宁省铁岭市九年级上第一次随堂练习数学试题辽宁省铁岭市九年级上第一次随堂练习数学试题 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD的长分别为 6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（ ） A 5 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 20 cm 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A 2213xx B. 221xy C.
2、 20axbxc D. 2121xx 4. 方程3 (3)5(3)x xx的根是（ ） A. 53 B. 3 C. 53和 3 D. 53和3 5. 关于x的一元二次方程2210kxx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. 1k B. 1k C. 0k D. 1k 且0k 6. 如图，矩形纸片 ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿 AE 对折，使得点 B 落在边 AD上的点 B1处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE的长为（ ） A. 6cm B. 4cm C. 2cm D. 1cm 7. 如图，菱形纸片 ABCD中，A=60 ，折叠菱形纸片 ABCD，使点 C 落
3、在 DP（P为 AB 中点）所在的直线上，得到经过点 D的折痕 DE则DEC 的大小为（ ） A. 78 B. 75 C. 60 D. 45 8. 如图， 菱形 ABCD中， AB=2， A=120 ， 点 P， Q， K分别为线段 BC， CD， BD 上的任意一点， 则 PK+QK的最小值为【 】 A. 1 B. 3 C. 2 D. 31 9. 如图，公园要在一块长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建三条宽度相等的道路，其中两条纵向，一条横向，横向道路与纵向道路垂直剩余部分摆放不同的花卉，要使摆放花卉面积为 7488m2，则道路的宽为多少米？设道路的宽为 x 米，则可列方程为（
4、） A. 100 80 10080 27488xx B 1002 )(807488xx() C. 2(1002 )(80)27488xxx D. 10080 2512xx 10. 如图，把矩形 OABC放入平面直角坐标系中，点 B 的坐标为（10，8） ，点 D 是 OC上一点，将 BCD沿 BD折叠，点 C恰好落在 OA上的点 E 处，则点 D的坐标是（ ） A. （0，4） B. （0，5） C. （0，3） D. （0，2） 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 11. 若 m 是方程22310 xx 的一个根，则2692022mm的值为_ 12. 一次会议
5、上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了 66 次手，则这次会议到会人数是_人 13. 某件羊毛衫的售价为 1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为 810 元，设平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程为_ 14. 如图， 四边形 ABCD 是菱形，24,10,ACBDDHAB 于点 H ， 则线段 BH 的长为_ 15. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，连接 AC，BD，相交于点 O，CE平分ACD 交 BD于点 E，则DE_ 16. 如图，在边长为 2的正方形ABCD中，点 E、F分别是边,AB BC的中点，连接,EC FD，点 G、H分别是,
6、EC FD的中点，连接GH，则GH的长度为_ 17. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC=8cm，AOD=120 ，则 AB 的长为_cm 18. 关于 x 的方程 mx2+xm+1=0，有以下三个结论：当 m=0时，方程只有一个实数解；当 m0 时，方程有两个不等的实数解；无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是_（填序号） 三、解答题三、解答题 19. 解方程： （1）22710 xx （2）(3)30 x xx 20. 如图，已知菱形 ABCD的对角线相交于点 O，延长 AB至点 E，使 BE=AB，连接 CE （1）求证：BD=EC； （2）若E=50 ，求BAO的大小 2
7、1. 李明准备进行如下操作实验，把一根长 40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由 22. 如图，ABCD的对角线AC，BD交于点 O， 过点 D作DEBC于 E， 延长CB到点 F， 使B F C E ，连接AF，OF （1）求证：四边形AFED是矩形 （2）若7AD ，2BE ，=45?ABF，试求OF的长 23. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每株的盈利与的每盆的株数构成一定的关系每盆植入3株时
8、，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元要使每盆盈利达到10元，每盆应该增加多少株？ 24. 如图， 在RtABC中， 过点C的直线MNAB，D为AB边上一点、 过点D作DEBC， 交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE （1）求证：CEAD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当A _时，四边形BECD正方形（直接写出答案） 25. 等腰ABC的直角边 AB=BC=10cm，点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线运动，已知 P 沿射线 AB运动，Q沿边
9、BC的延长线运动，PQ与直线 AC 相交于点 D设 P 点运动时间为t，PCQ的面积为 S （1）求出 S关于 t的函数关系式； （2）当点 P 运动几秒时，SPCQ=SABC？ （3）作 PEAC于点 E，当点 P、Q运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论 26. 在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取 FD的中点 G，连接 EG、CG，如图（1） ，易证 EG=CG 且 EGCG （1）将 BEF绕点 B逆时针旋转 90 ，如图（2） ，则线段 EG 和 CG有怎样数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想 （2）将 BEF绕点 B逆时针
10、旋转 180 ，如图（3） ，则线段 EG和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系请写出你的猜想，并加以证明 辽宁省铁岭市九年级上第一次随堂练习数学试题辽宁省铁岭市九年级上第一次随堂练习数学试题 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC，BD的长分别为 6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（ ） A. 5 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 20 cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求解即可 【详解】解：菱形的对角线 AC 与 BD相交于点 O， AO=OC，BO=OD，ACBD，AB=
11、BC=CD=AD， AC=6cm，BD=8cm， 在 RtAOB中，AO=3cm，BO=4cm，AOB=90， 由勾股定理得：AB=222234AOBO=5cm， 菱形的周长为 45=20cm， 故选：D 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答的关键 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边
12、形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误 故选 C 3. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. 2213xx B. 221xy C. 20axbxc D. 2121xx 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫做一元二次方程，即可一一判定 【详解】解：A、221=3xx是一元二次方程，故该选项符合题意； B、22=1xy不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、20axbxc中，当=0a时，不是一元
13、二次方程，故该选项不符合题意； D、2121xx不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键 4. 方程3 (3)5(3)x xx的根是（ ） A. 53 B. 3 C. 53和 3 D. 53和3 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解法解此方程，即可求解 【详解】解：由原方程得：3 (3)5(3)0 x xx， 得3 350 xx， 故30 x 或350 x ， 解得=3x或53x ， 故原方程的解为=3x或53x ， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的
14、解法是解决本题的关键 5. 关于x的一元二次方程2210kxx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. 1k B. 1k C. 0k D. 1k 且0k 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式得到关于 k的不等式，然后求解不等式即可. 【详解】是一元二次方程， 0k 有两个不相等的实数根，则0， 224 ( 1)0k ， 解得1k 1k 且0k 故选 D 【点睛】本题考查一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)根的判别式： （1）当=b24ac0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当=b24ac=0时，方程有有两个相等的实数根； （3）当=b24ac0时，方程
15、没有实数根. 6. 如图，矩形纸片 ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿 AE 对折，使得点 B 落在边 AD上的点 B1处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE的长为（ ） A. 6cm B. 4cm C. 2cm D. 1cm 【答案】C 【解析】 【详解】解：沿 AE 对折点 B落在边 AD 上的点 B1处， B=AB1E=90 ，AB=AB1， 又BAD=90 ， 四边形 ABEB1是正方形， BE=AB=6cm， CE=BCBE=86=2cm 故选 C 【点睛】本题考查矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 7. 如图，菱形纸片 ABCD中，A=60 ，折叠菱形纸片 ABCD，
16、使点 C 落在 DP（P为 AB 中点）所在的直线上，得到经过点 D的折痕 DE则DEC 的大小为（ ） A. 78 B. 75 C. 60 D. 45 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：连接 BD， 四边形 ABCD为菱形，A=60 ， ABD为等边三角形，ADC=120 ，C=60 P为 AB 的中点， DP为ADB 的平分线，即ADP=BDP=30 PDC=90 由折叠的性质得到CDE=PDE=45 在DEC中，DEC=180 -(CDE+C)=75 故选 B 8. 如图， 菱形 ABCD中， AB=2， A=120 ， 点 P， Q， K分别为线段 BC， CD， BD 上的任意
17、一点， 则 PK+QK的最小值为【 】 A. 1 B. 3 C. 2 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】先根据四边形 ABCD 是菱形可知，ADBC，由A=120可知B=60，作点 P 关于直线 BD的对称点 P， 连接 PQ， PC， 则 PQ的长即为 PK+QK的最小值， 由图可知， 当点 Q与点 C重合， CPAB时 PK+QK的值最小，再在 RtBCP中利用锐角三角函数的定义求出 PC的长即可 【详解】解：四边形 ABCD 是菱形， ADBC， A=120， B=180-A=180-120=60， 作点 P 关于直线 BD 的对称点 P，连接 PQ，PC，则 PQ的长即为 PK
18、+QK的最小值，由图可知，当点 Q 与点 C重合，CPAB时 PK+QK的值最小， 在 RtBCP中， BC=AB=2，B=60， 3sin232PQCPBCB故选 B 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 9. 如图，公园要在一块长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建三条宽度相等的道路，其中两条纵向，一条横向，横向道路与纵向道路垂直剩余部分摆放不同的花卉，要使摆放花卉面积为 7488m2，则道路的宽为多少米？设道路的宽为 x 米，则可列方程为（ ） A. 100 80 10080 27488xx B. 1002
19、)(807488xx() C. 2(1002 )(80)27488xxx D. 10080 2512xx 【答案】B 【解析】 【详解】解：设道路的宽为 x米，由题意有 1002 )(807488xx()， 故选 B 10. 如图，把矩形 OABC放入平面直角坐标系中，点 B 的坐标为（10，8） ，点 D 是 OC上一点，将BCD 沿BD 折叠，点 C 恰好落在 OA 上的点 E 处，则点 D 的坐标是（ ） A. （0，4） B. （0，5） C. （0，3） D. （0，2） 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得AO=BC=10， AB=OC=8， DE=CD， BE=BC=10，
20、 在R t A B E中， 由勾股定理可求得6AE ，OE=4，设 OD=x，则 DE=CD=8-x，然后在RtODE中，由勾股定理即可求得 OD=3，继而求得点 D 的坐标. 【详解】解：点 B的坐标为（10，8） ， AO=BC=10，AB=OC=8， 由折叠的性质，可得：DE=CD，BE=BC=10， 在RtABE中，由勾股定理得：22221086AEBEAB， OE=AO-AE=10-6=4， 设 OD=x，则 DE=CD=8-x， 在RtODE中，由勾股定理得：222ODOEDE， 即：22248xx， 解得：3x ， OD=3， 点 D的坐标是（0，3）. 故选：C. 【点睛】本题
21、主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 11. 若 m 是方程22310 xx 的一个根，则2692022mm的值为_ 【答案】2025 【解析】 【分析】根据 m是方程22310 xx 的一个根，可得2693mm，据此即可解答 【详解】解：m是方程22310 xx 的一个根， 22310mm ， 223 =1mm 2693mm， 2692022320222025mm， 故答案为：2025 【点睛】本题考查了利用方程的根求代数式的值，得到2693mm是解决本题的关键 12. 一次会议上，每
22、两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了 66 次手，则这次会议到会人数是_人 【答案】12 【解析】 【分析】设参加会议人数为 x，每个人都与其他(x1)人握手，共握手次数为12x(x1)次，根据题意列出方程，然后解方程即可得到答案. 【详解】设参加会议人数为 x， 则12x(x1)66， x2x1320， (x12)(x+11)0， 解得 x112，x211（舍）. 故答案为 12. 13. 某件羊毛衫的售价为 1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为 810 元，设平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程为_ 【答案】21000(1)810 x 【解析】 【分
23、析】第一次降价后单价是 1000（1-x） ，第一次降价后的单价是 1000（1-x）2，根据题意列出方程即可 【详解】解：由题意得 21000(1)810 x 故答案为：21000(1)810 x 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解平均变化率并正确列出一元二次方程是解题的关键 14. 如图， 四边形 ABCD 是菱形，24,10,ACBDDHAB 于点 H ， 则线段 BH 的长为_ 【答案】5013 【解析】 【详解】试题分析：四边形 ABCD菱形，AC=24，BD=10， AO=12，OD=5，ACBD， AD=AB=22125 =13， DHAB， AO BD=DH AB， 12
24、 10=13 DH， DH=12013， BH=2212050101313 考点：1.菱形的性质；2.勾股定理. 15. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，连接 AC，BD，相交于点 O，CE平分ACD 交 BD于点 E，则DE_ 【答案】2-1 【解析】 【分析】由正方形对角线相交于点 O，则DOCO，1222DOBD，过点 E 作EFCD于 F，设EOEFDFx，则2DEx，列出方程222xx，解出 x，最后得出答案 【详解】解：如图所示，过点 E作EFCD于 F， 正方形 ABCD的边长为 1， AC=BD=2，DOCO， OA=OC=OB=OD=22， CE平分ACD交 BD于
25、点 E， EO=EF， 在正方形 ABCD中，ADB=CDB=45， EF=DF， 设EOEFDFx，则2DEx， OD=OE+DE=222xx， 解得222x， DE=OD-OE=2222122， 故答案为：21 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与角平分线的性质，解题的关键是根据角平线的性质作出辅助线 16. 如图，在边长为 2的正方形ABCD中，点 E、F分别是边,AB BC的中点，连接,EC FD，点 G、H分别是,EC FD的中点，连接GH，则GH的长度为_ 【答案】22 【解析】 【分析】连接 CH并延长交 AD 于 P，连接 PE，根据正方形的性质得到A=90 ，AD/BC，AB
26、=AD=BC=2，根据全等三角形的性质得到 PD=CF=1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论 【详解】解：连接 CH 并延长交 AD于 P，连接 PE， 四边形 ABCD是正方形， A=90 ，AD/BC，AB=AD=BC=2， E，F分别是边 AB，BC的中点， AE=CF=12 2=1， AD/BC， DPH=FCH， H 是 DF的中点， DH=FH， 在PDH和CFH 中 DPHFCHPHDCHFDHFH ， PDHCFH（AAS） ， PD=CF=1， AP=AD-PD=1， PE=2211=2， 点 G，H分别是 EC，FD的中点， GH=12EP=22； 故答案为：2
27、2 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，正确的识别图形是解题的关键 17. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC=8cm，AOD=120 ，则 AB 的长为_cm 【答案】4. 【解析】 【详解】试题解析：四边形 ABCD 是矩形， OA=12AC，OB=12BD，BD=AC=8cm， OA=OB=4cm， AOD=120 ， AOB=60 ， AOB 是等边三角形， AB=OA=4cm 考点：矩形的性质 18. 关于 x 的方程 mx2+xm+1=0，有以下三个结论：当 m=0时，方程只有一个实数解；当 m0 时，方程有两个不等的实数解
28、；无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是_（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论 m=0和 m0 时方程 mx2+xm+1=0 根的情况，进而填空 【详解】解：当 m=0 时，x=1，方程只有一个解，正确； 当 m0时，方程 mx2+xm+1=0是一元二次方程，=14m（1m）=14m+4m2=（2m1）20，方程有两个实数解，错误； 把 mx2+xm+1=0 分解为（x+1） （mxm+1）=0，所以 x=1是方程 mx2+xm+1=0 的根，正确； 故答案为 三、解答题三、解答题 19. 解方程： （1）22710 xx （2）(3)30 x xx 【答案】 （1）x
29、1=7414，x2=7414； （2）1231xx ， 【解析】 【详解】解： （1）22710 xx ， 224( 7)42 141bac -， 7414x， x1=7414，x2=7414； （2）(3)30 x xx ， (3)(1)0 xx ， x3=0，x+1=0， 1231xx ， 20. 如图，已知菱形 ABCD的对角线相交于点 O，延长 AB至点 E，使 BE=AB，连接 CE （1）求证：BD=EC； （2）若E=50 ，求BAO的大小 【答案】 （1）证明见解析（2）40 . 【解析】 【分析】 （1）根据菱形的对边平行且相等可得 AB=CD，AB/CD，然后证明得到 BE
30、=CD，BE/CD，从而证明四边形 BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证. （2）根据两直线平行，同位角相等求出ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得 ACBD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解. 【详解】 （1）四边形 ABCD 是菱形， AB=CD，AB/CD. 又BE=AB， BE=CD，BE/CD. 四边形 BECD是平行四边形. BD=EC. （2）四边形 BECD是平行四边形， BD/CE， ABO=E=50 . 又四边形 ABCD 是菱形， AC丄 BD. BAO=90 ABO=40 . 21. 李明准备进行如下操作实验，把一根长 40cm 的铁
31、丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由 【答案】(1) 李明应该把铁丝剪成 12cm和 28cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）设剪成的较短的这段为 xcm，较长的这段就为（40 x）cm就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于 58cm2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为 mcm，较长的这段就为（40m）cm就可以表示出这两个正方形的面积，根据
32、两个正方形的面积之和等于 48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确 【详解】解： （1）设其中一段的长度为 xcm，两个正方形面积之和为 scm2， 则224044xxs， 即251008xsx(其中 0 x40） ， 当 s=58时， 25851008xx， 解得112x ，228x ， 应将之剪成 12cm和 28cm的两段； （2）两正方形面积之和为 48 时， 24851008xx， 整理得：2404160 xx， 2404 1 416640 ， 该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为 48cm2，李明的说法正确 【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次
33、函数的应用，理解题意，列出相应方程及函数关系式是解题关键 22. 如图，ABCD的对角线AC，BD交于点 O， 过点 D作DEBC于 E， 延长CB到点 F， 使B F C E ，连接AF，OF （1）求证：四边形AFED是矩形 （2）若7AD ，2BE ，=45?ABF，试求OF的长 【答案】 （1）见解析 （2）132 【解析】 【分析】(1)首先根据平行四边形性质，可得=AD BC，ADBC，即可证得FEBC，四边形AFED是平行四边形，再由DEBC，可得90DEF，据此即可证得； (2)首先根据（1）及已知，可得90AFE，7FE ，5CEBF，7512FCFECE，可证得ABF是等腰
34、直角三角形，5AFFB，再由勾股定理得13AC ，最后根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可求得 【小问 1 详解】 证明：四边形ABCD是平行四边形， =AD BC，ADBC， BFCE， FEBC，即FEAD， 四边形AFED是平行四边形， DEBC， 90DEF， 四边形AFED是矩形； 【小问 2 详解】 解：由（1）得：90AFE，FEAD， 7AD ，2BE ， 7FE ， 5FBFEBE， 5CEBF， 7512FCFECE， 45ABF， ABF是等腰直角三角形， 5AFFB， 在 RtAFC 中，由勾股定理得：222251213ACAFFC， 四边形ABCD是平行四边形， =
35、OA OC， 11322OFAC 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键 23. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每株的盈利与的每盆的株数构成一定的关系每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元要使每盆盈利达到10元，每盆应该增加多少株？ 【答案】每盆应植4株或者5株 【解析】 【分析】设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有3x株，得出平均单株盈利为30.5x元，由题意得3 3 0.510 xx求出即可 【详解】解：设每盆花
36、苗增加x株，则每盆花苗有3x株，平均单株盈利为：30.5x元， 由题意得：3 3 0.510 xx 化简，整理，的2320 xx 解这个方程，得11x ，22x ， 则3 14 ，235， 答：每盆应植4株或者5株 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键 24. 如图， 在RtABC中， 过点C的直线MNAB，D为AB边上一点、 过点D作DEBC， 交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE （1）求证：CEAD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当A _时，四边形BECD是正方形（直接写出
37、答案） 【答案】 （1）见解析 （2）四边形 BECD 是菱形，理由见解析 （3）45 【解析】 【分析】 （1）先求出四边形 ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）求出四边形 BECD 是平行四边形，求出 CD=BD，根据菱形的判定推出即可； （3）求出CDB=90 ，再根据正方形的判定推出即可 【小问 1 详解】 证明：DEBC， DFB=90 ， ACB=90 ， ACB=DFB， ACDE， MNAB，即 CEAD， 四边形 ADEC是平行四边形， CE=AD； 【小问 2 详解】 解：四边形 BECD是菱形， 理由是：D为 AB 中点， AD=BD， CE=A
38、D， BD=CE， BDCE， 四边形 BECD是平行四边形， ACB=90 ，D 为 AB 中点， CD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ， 四边形 BECD是菱形； 【小问 3 详解】 解：当A=45 时，四边形 BECD 是正方形，理由是： 解：ACB=90 ，A=45 ， ABC=A=45 ， AC=BC， D 为 BA 中点， CDAB， CDB=90 ， 四边形 BECD是菱形， 菱形 BECD是正方形， 故答案为：45 【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力 25. 等腰ABC的
39、直角边 AB=BC=10cm，点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线运动，已知 P 沿射线 AB运动，Q沿边 BC的延长线运动，PQ与直线 AC 相交于点 D设 P 点运动时间为t，PCQ的面积为 S （1）求出 S关于 t的函数关系式； （2）当点 P 运动几秒时，SPCQ=SABC？ （3）作 PEAC于点 E，当点 P、Q运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论 【答案】 （1）S=21-52tt（t10） ； （2）； （3）不变，理由参见解析 【解析】 【分析】 （1）由题可以看出 P 沿 AB 向右运动，Q沿 BC向上运动，且速度都为 1
40、cm/s，S=12QC PB，所以求出 QC、PB与 t关系式就可得出 S与 t的关系， (2)根据 sABC=12ABBC50，设 P 运动的时间为 t秒，分别分析当 t10秒时，以及当 t10秒时得出 t的值即可； (3) 根据当 t10 秒时， P在线段 AB上， 得出APEQCF， 以及当 t10 秒时， P 在线段 AB的延长线上，得出 DE 的长 【详解】解： （1）当 t10 秒时，P 在线段 AB上，如图 1，此时 CQ=t，PB=10-t SPCQ=12CQPB s=12t(10t)=12(10tt2) 当 t10 秒时，P 在线段 AB得延长线上如图 2，此时 CQ=t，P
41、B=t-10 SPCQ=12CQPB s=12t(t10)=12(t210t) （2）SABC=12ABBC=50 当 t10秒时，SPCQ=12(10tt2)=50 整理得 t2-10t+100=0 无解 当 t10 秒时，SPCQ=12(t210t)=50 整理得 t2-10t-100=0解得 x=5 55（舍去负值） 当点 P 运动 5+55秒时，SPCQ=SABC. （3）当点 P、Q运动时，线段 DE 的长度不会改变 证明：过 Q作 QMAC，交直线 AC于点 M 在 RtAPE和 RtQCM中 A=45 ，QCM=ACB=45 A=QCM AP=QC=t, QMC=AEP=90 A
42、PEQCM AE=PE=CM=QM=22t， 四边形 PEQM是平行四边形，且 DE 是对角线 EM 的一半 又EM=AC=102 DE=52 当点 P、Q运动时，线段 DE的长度不会改变 同理，当点 P 在点 B右侧时，DE=52 综上所述，当点 P、Q运动时，线段 DE的长度不会改变 26. 在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取 FD的中点 G，连接 EG、CG，如图（1） ，易证 EG=CG 且 EGCG （1）将BEF绕点 B 逆时针旋转 90 ，如图（2） ，则线段 EG 和 CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想 （2）将
43、BEF绕点 B 逆时针旋转 180 ，如图（3） ，则线段 EG和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系请写出你的猜想，并加以证明 【答案】 （1）EG=CG；EGCG（2）EG=CG；EGCG，证明见解析 【解析】 【分析】 （1） 过点 G作 GHBD 于 G交 CD于 H， 通过条件证明HGEICG， 就可以得出结论 EG=CG，EGCG； （2）作 GHBC 于 H，根据平行线等分线段定理就可以得出 EH=CH，再根据中垂线的性质就可以得出EG=EC，过点 G作 GPBD于 G交 CB于 P，最后通过证明三角形全等就可以得出结论 EGCG 【详解】解： （1）EG=CG，且 EGCG 证
44、明：过 GHAB 于点 H，延长 HG交 CD于点 I，作 GKAD于点 K 则四边形 GIDK 是正方形，四边形 AKGH是矩形， AK=HG，KD=DI=GI=AH， AD=CD， IC=HG， ADGHEF，G是 DF 的中点， HA=HE， HE=GI， 在 RtHGE和 RtICG中， ,HEGIGHECIGHGIC RtHGERtICG（SAS） ， EG=CG，HGE=GCI，HEG=CGI， HGE+CGI=90 ， EGC=90 ， EGCG； （2）EG=CG，EGCG 证明：延长 FE交 DC 延长线于 M，连 MG AEM=90 ，EBC=90 ，BCM=90 ， 四边
45、形 BEMC是矩形 BE=CM，EMC=90 ， 由图（3）可知， BD平分ABC，ABC=90 ， EBF=45 ， 又EFAB， BEF为等腰直角三角形 BE=EF，F=45 EF=CM EMC=90 ，FG=DG， MG=12FD=FG BC=EM，BC=CD， EM=CD EF=CM， FM=DM， 又FG=DG， CMG=12EMC=45 ， F=GMC GFE与GMC 中FGMGFGMCEFCM ， GFEGMC（SAS） EG=CG，FGE=MGC， FMC=90 ，MF=MD，FG=DG， MGFD， FGE+EGM=90 ， MGC+EGM=90 ， 即EGC=90 ， EGCG 【点睛】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大
