1、2021 年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷（六）年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷（六） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1如图，在ABC 中，C90，AC3，BC4，则 sinB 的值是（ ） A B C D 2下列投影是平行投影的是（ ） A太阳光下窗户的影子 B台灯下书本的影子 C在手电筒照射下纸片的影子 D路灯下行人的影子 3将二次函数 yx22x+3 化为 y（xh）2+k 的形式，结果为（ ） Ay（x+1）2+4 By（x1）2+4 Cy（x+1）2+2 Dy（x1）2+2 4如图，O 的直径 AB4，点 C 在O 上，ABC30，则
2、 AC 的长是（ ） A1 B C D2 5反比例函数 y的图象经过点 A（1，2） ，则当 x1 时，函数值 y 的取值范围是（ ） Ay1 B0y1 Cy2 D0y2 6如图，在ABC 中，ACB90，A30，AB4，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边 AB 于点 D，则的长为（ ） A B C D 7 中国美食讲究色香味美， 优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花 图中的摆盘， 其形状是扇形的一部分， 图是其几何示意图 （阴影部分为摆盘） ， 通过测量得到 ACBD12cm， C， D 两点之间的距离为 4cm， 圆心角为 60，则图中摆盘的面积是（ ） A80cm2 B40cm2 C
3、24cm2 D2cm2 8如图，斜面 AC 的坡度（CD 与 AD 的比）为 1：2，AC3米，坡顶有旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连若 AB10 米，则旗杆 BC 的高度为（ ） A5 米 B6 米 C8 米 D （3+）米 9在ABC 中，已知ABC90，BAC30，BC1如图所示，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋 转 90后得到ABC则图中阴影部分面积为（ ） A B C D 10如图，已知抛物线 yx2+px+q 的对称轴为 x3，过其顶点 M 的一条直线 ykx+b 与该抛物线的另 一个交点为 N（1，1） 要在坐标轴上找一点 P，使得PMN 的周长最小，则点
4、P 的坐标为（ ） A （0，2） B （，0） C （0，2）或（，0） D以上都不正确 二、填空题： （每小题二、填空题： （每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11在 RtABC 中，C90，AB2，BC，则 sinA 12已知扇形的弧长为 10cm，面积为 30cm2，则扇形的圆心角为 13一元二次方程 2x2x+10 的根的情况是 14已知抛物线 yx24x+m 与 x 轴交于 A、B 两点，若 A 的坐标是（1，0） ，则 B 的坐标是 15如图，在扇形 AOB 中，AC 为弦，AOB140，CAO60，OA4，则的长为 16如图，点 A、B、C 在直径为 2的O 上，BAC
5、45，则图中阴影部分的面积等于 （结 果中保留 ） 17如图，圆锥的母线长 OA 为 8，底面圆的半径为 4若一只蚂蚁在底面上点 A 处，在相对母线 OC 的中 点 B 处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为 18二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为 x1，给出下列结论：abc0；b2 4ac；4a+2b+c0；3a+c0，其中正确的结论是 （写出正确命题的序号） 三、解答题（三、解答题（19 题题 10 分，分，20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2，1，1，4 的小球，它们的形状、大小、质地等 完
6、全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一 个小球，记下数字为 b （1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果； （2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数 yx2的图象上的概率； （3）求小强、小华各取一次小球所确定的数 a，b 满足直线 yax+b 经过一、二、三象限的概率 20在同一平面直角坐标系中有 5 个点：A（1，1） ，B（3，1） ，C（3，1） ，D（22） （1）画出ABC 的外接圆P，并指出点 D 与P 相的位置关系； （2）E 点是 y 轴上的一点，若直线 DE 与P 相切，求点 E
7、的坐标 四、解答题（每题四、解答题（每题 12 分，共分，共 24 分）分） 21如图，在ABC 中，ACB90，D 为 AC 上一点，DEAB 于点 E，AC12，BC5 （1）求 cosADE 的值； （2）当 DEDC 时，求 AD 的长 22如图，在 RtABC 中，A90，O 是 BC 边上一点，以 O 为圆心的半圆与 AB 边相切于点 D，与 AC、BC 边分别交于点 E、F、G，连接 OD，已知 BD2，AE3，tanBOD （1）求O 的半径 OD； （2）求证：AE 是O 的切线； （3）求图中两部分阴影面积的和 五、解答题（五、解答题（12 分）分） 23如图，某中学数学活
8、动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物 BC 的高 度，他们先在斜坡上的 D 处，测得建筑物顶端 B 的仰角为 30且 D 离地面的高度 DE5m坡底 EA 30m， 然后在 A 处测得建筑物顶端 B 的仰角是 60， 点 E， A， C 在同一水平线上， 求建筑物 BC 的高（结 果用含有根号的式子表示） 六、解答题（六、解答题（12 分）分） 24某网店打出促销广告：最潮新款服装 30 件，每件售价 300 元若一次性购买不超过 10 件时，售价不 变；若一次性购买超过 10 件时，每多买 1 件，所买的每件服装的售价均降低 3 元已知该服装成本是每 件 200
9、元，设顾客一次性购买服装 x 件时，该网店从中获利 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？ 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 25如图，在直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，点 A 在 x 正半轴上，OA12cm，点 B 在 y 轴的正半 轴上，OB12cm，动点 P 从点 O 开始沿 OA 以cm/s 的速度向点 A 移动，动点 Q 从点 A 开始沿 AB 以 4cm/s 的速度向点 B 移动，动点 R 从点 B 开始沿 BO 以 2cm/s 的速度向点 O 移动如果 P、Q、R 分别
10、 从 O、A、B 同时移动，移动时间为 t（0t6）s （1）求OAB 的度数 （2）以 OB 为直径的O与 AB 交于点 M，当 t 为何值时，PM 与O相切？ （3）是否存在APQ 为等腰三角形？若存在，求出相应的 t 值；若不存在，请说明理由 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 26已知抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1，其图象与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C （0，3） （1）求 b，c 的值； （2）直线 l 与 x 轴相交于点 P 如图 1， 若 ly 轴， 且与线段 AC 及抛物线分别相交于点 E， F， 点 C 关于直线 x1 的
11、对称点为点 D， 求四边形 CEDF 面积的最大值； 如图 2，若直线 l 与线段 BC 相交于点 Q，当PCQCAP 时，求点 P 的坐标 2021 年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷（六）年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷（六） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1如图，在ABC 中，C90，AC3，BC4，则 sinB 的值是（ ） A B C D 【分析】首先利用勾股定理计算出 AB，再根据正弦定义进行计算 【解答】解：C90，AC3，BC4， AB5， sinB， 故选：C 2下列投影是平行投影的是（ ） A太阳光下窗户的影子 B
12、台灯下书本的影子 C在手电筒照射下纸片的影子 D路灯下行人的影子 【分析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案即可 【解答】解：A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确； B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误； C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误； D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误； 故选：A 3将二次函数 yx22x+3 化为 y（xh）2+k 的形式，结果为（ ） Ay（x+1）2+4 By（x1）2+4 Cy（x+1）2+2 Dy（x1）2+2 【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是 1，只需加上一次项系数的一半的
13、平方来凑成 完全平方式即可 【解答】解：yx22x+3x22x+11+3（x1）2+2 故选：D 4如图，O 的直径 AB4，点 C 在O 上，ABC30，则 AC 的长是（ ） A1 B C D2 【分析】先根据圆周角定理证得ABC 是直角三角形，然后根据直角三角形的性质求出 AC 的长 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB90； RtABC 中，ABC30，AB4； ACAB2 故选：D 5反比例函数 y的图象经过点 A（1，2） ，则当 x1 时，函数值 y 的取值范围是（ ） Ay1 B0y1 Cy2 D0y2 【分析】把 A（1，2）代入反比例函数 y可得 k2，而当 x1，y2
14、，根据反比例图象分布在 第一、第三象限，在每一象限，y 随 x 的增大而减小，得到当 x1 时，函数值的范围为 0y2 【解答】解：反比例函数 y的图象经过点 A（1，2） ， 2， k2， y， 当 x1，y2， 当 x1 时，函数值的范围为 0y2 故选：D 6如图，在ABC 中，ACB90，A30，AB4，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边 AB 于点 D，则的长为（ ） A B C D 【分析】先根据 ACB90，AB4，A30，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧 CD 的长 【解答】解：ACB90，AB4，A30， B60，BC2 的长为， 故选：C 7 中国美食讲究
15、色香味美， 优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花 图中的摆盘， 其形状是扇形的一部分， 图是其几何示意图 （阴影部分为摆盘） ， 通过测量得到 ACBD12cm， C， D 两点之间的距离为 4cm， 圆心角为 60，则图中摆盘的面积是（ ） A80cm2 B40cm2 C24cm2 D2cm2 【分析】首先证明OCD 是等边三角形，求出 OCODCD4cm，再根据 S阴S扇形OABS扇形OCD， 求解即可 【解答】解：如图，连接 CD OCOD，O60， COD 是等边三角形， OCODCD4cm， S阴S扇形OABS扇形OCD40（cm2） ， 故选：B 8如图，斜面 AC 的坡度（CD 与
16、AD 的比）为 1：2，AC3米，坡顶有旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连若 AB10 米，则旗杆 BC 的高度为（ ） A5 米 B6 米 C8 米 D （3+）米 【分析】设 CDx，则 AD2x，根据勾股定理求出 AC 的长，从而求出 CD、AC 的长，然后根据勾股定 理求出 BD 的长，即可求出 BC 的长 【解答】解：设 CDx，则 AD2x， 由勾股定理可得，ACx， AC3米， x3， x3 米， CD3 米， AD236 米， 在 RtABD 中，BD8 米， BC835 米 故选：A 9在ABC 中，已知ABC90，BAC30，BC1如图所示，将ABC 绕点
17、 A 按逆时针方向旋 转 90后得到ABC则图中阴影部分面积为（ ） A B C D 【分析】解直角三角形得到 ABBC，AC2BC2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论 【解答】解：ABC90，BAC30，BC1， ABBC，AC2BC2， 图中阴影部分面积S扇形ACCS扇形ADB SABC1， 故选：B 10如图，已知抛物线 yx2+px+q 的对称轴为 x3，过其顶点 M 的一条直线 ykx+b 与该抛物线的另 一个交点为 N（1，1） 要在坐标轴上找一点 P，使得PMN 的周长最小，则点 P 的坐标为（ ） A （0，2） B （，0） C （0，2）或（，0） D以上都不正确 【分析
18、】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得 M 的坐标；欲使PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM+PN）取最小值即可 然后，过点 M 作关于 y 轴对称的点 M，连接 MN，MN 与 y 轴的交点即为所求的点 P（如图 1） ； 过点 M 作关于 x 轴对称的点 M，连接 MN，则只需 MN 与 x 轴的交点即为所求的点 P（如图 2） 【解答】解：如图，抛物线 yx2+px+q 的对称轴为 x3，点 N（1，1）是抛物线上的一点， ， 解得 该抛物线的解析式为 yx26x4（x+3）2+5， M（3，5） PMN 的周长MN+PM+PN，且 MN 是定值，所以只需（PM
19、+PN）最小 如图 1， 过点 M 作关于 y 轴对称的点 M， 连接 MN， MN 与 y 轴的交点即为所求的点 P 则 M （3， 5） 设直线 MN 的解析式为：yax+t（a0） ，则， 解得， 故该直线的解析式为 yx+2 当 x0 时，y2，即 P（0，2） 同理，如图 2，过点 M 作关于 x 轴对称的点 M，连接 MN，则只需 MN 与 x 轴的交点即为所求的 点 P（，0） 如果点 P 在 y 轴上，则三角形 PMN 的周长；如果点 P 在 x 轴上，则三角形 PMN 的周长 ； 所以点 P 在（0，2）时，三角形 PMN 的周长最小 综上所述，符合条件的点 P 的坐标是（0
20、，2） 故选：A 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11在 RtABC 中，C90，AB2，BC，则 sinA 【分析】直接画出图形进而利用锐角三角函数关系得出答案 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AB2，BC， sinA 故答案为： 12已知扇形的弧长为 10cm，面积为 30cm2，则扇形的圆心角为 300 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式解答 【解答】解：设扇形弧长为 l，面积为 S，圆心角为 n，半径为 r lr30， 10r30， r6， ， 30， n300， 故答案为 300 13一元二次方程 2x2x+10 的根的情况是 无实数根 【分析】求出 b24ac
21、 的值即可判断 【解答】解：2x2x+10， b24ac（1）24210， 方程 2x2+x+10 无实数根 故答案为：无实数根 14 已知抛物线 yx24x+m 与 x 轴交于 A、 B 两点， 若 A 的坐标是 （1， 0） ， 则 B 的坐标是 （5， 0） 【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，然后根据点 A 和点 B 关于对称轴对称，即可求出点 B 的坐标 【解答】解：yx24x+m， 抛物线的对称轴方程为 x2， 点 A（1，0）和点 B 关于对称轴 x2 对称， 点 B 的坐标为（5，0） ， 故答案为（5，0） 15如图，在扇形 AOB 中，AC 为弦，AOB140，CAO60，
22、OA4，则的长为 【分析】 连接 OC， 根据等边三角形的判定得出AOC 是等边三角形， 根据等边三角形的性质得出AOC 60，求出BOC 的度数，再根据弧长公式求出答案即可 【解答】解：连接 OC， OAOC，OAC60， AOC 是等边三角形， AOC60， AOB140， BOCAOBAOC80， OCOA4， 的长是， 故答案为： 16 如图， 点 A、 B、 C 在直径为 2的O 上， BAC45， 则图中阴影部分的面积等于 （结 果中保留 ） 【分析】首先连接 OB，OC，即可求得BOC90，然后求得扇形 OBC 的面积与OBC 的面积，求 其差即是图中阴影部分的面积 【解答】解：
23、连接 OB，OC， BAC45， BOC90， O 的直径为 2， OBOC， S扇形OBC，SOBC， S阴影S扇形OBCSOBC 故答案为： 17如图，圆锥的母线长 OA 为 8，底面圆的半径为 4若一只蚂蚁在底面上点 A 处，在相对母线 OC 的中 点 B 处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果 【解答】解：由题意知，底面圆的直径 AC8，故底面周长等于 8 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，8， 解得 n180，所以展开图中AOB90， 根据勾
24、股定理求得 AB， 所以蚂蚁爬行的最短距离为 18二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为 x1，给出下列结论：abc0；b2 4ac；4a+2b+c0；3a+c0，其中正确的结论是 （写出正确命题的序号） 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与 x 轴交点个数，以及 x1，x2 对应 y 值的正负判 断即可 【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到 a0；与 y 轴交于负半轴，得到 c0， 对称轴在 y 轴右侧，且1，即 2a+b0， a 与 b 异号，即 b0， abc0，选项正确； 二次函数图象与 x 轴有两个交点， b24ac0，即 b24ac，选项错误； 原
25、点 O 与对称轴的对应点为（2，0） ， x2 时，y0，即 4a+2b+c0，选项错误； x1 时，y0， ab+c0， 把 b2a 代入得：3a+c0，选项正确， 故答案是： 三解答题三解答题 19在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2，1，1，4 的小球，它们的形状、大小、质地等 完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一 个小球，记下数字为 b （1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果； （2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数 yx2的图象上的概率； （3）求小强、小华各取一次小球所确定
26、的数 a，b 满足直线 yax+b 经过一、二、三象限的概率 【分析】 （1）利用树状图展示所有 16 种等可能的结果； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到点（2，4） ， （1，1） ， （1，1）落在二次函数 yx2的图 象上，然后根据概率公式求解； （3）根据一次函数图象与系数的关系可得到 a0，b0，则点（1，1） ， （1，4） ， （4，1） ， （4，4）满 足直线 yax+b 经过一、二、三象限，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果，它们为（2，2） 、 （2，1） 、 （2，1） 、 （2，4） 、 （1，2） 、 （1，
27、 1） 、 （1，1） 、 （1，4） 、 （1，2） 、 （1，1） 、 （1，1） 、 （1，4） 、 （4，2） 、 （4，1） 、 （4，1） 、 （4，4） ； （2）落在二次函数 yx2的图象上的点有（2，4） ， （1，1） ， （1，1） ， 所以落在二次函数 yx2的图象上的概率； （3）满足直线 yax+b 经过一、二、三象限的点有（1，1） ， （1，4） ， （4，1） ， （4，4） ， 所以满足直线 yax+b 经过一、二、三象限的概率 20在同一平面直角坐标系中有 5 个点：A（1，1） ，B（3，1） ，C（3，1） ，D（22） （1）画出ABC 的外接圆P，
28、并指出点 D 与P 相的位置关系； （2）E 点是 y 轴上的一点，若直线 DE 与P 相切，求点 E 的坐标 【分析】 （1）在直角坐标系内描出各点，画出ABC 的外接圆，并指出点 D 与P 的位置关系即可； （2）连接 PD，用待定系数法求出直线 DE 的关系式进而得出 E 点坐标 【解答】解： （1）如图所示： ABC 外接圆的圆心为（1，0） ，点 D 在P 上； （2）连接 PD， 直线 DE 与P 相切， PDPE， 利用网格过点 D 做直线的 DFPD，则 F（6，0） ， 设过点 D，E 的直线解析式为：ykx+b， D（2，2） ，F（6，0） ， ， 解得：， 直线 DE
29、解析式为：yx3， x0 时，y3， E（0，3） 21如图，在ABC 中，ACB90，D 为 AC 上一点，DEAB 于点 E，AC12，BC5 （1）求 cosADE 的值； （2）当 DEDC 时，求 AD 的长 【分析】 （1）根据三角形的内角和得到A+ADE90，A+B90，根据余角的性质得到ADE B，根据勾股定理得到 AB13，由三角函数的定义即可得到结论； （2）由（1）得，设 AD 为 x，则，由于 ACAD+CD12，列方程即 可得到结论 【解答】解： （1）DEAB， DEA90， A+ADE90， ACB90， A+B90， ADEB， 在 RtABC 中，AC12，B
30、C5， AB13， ， ； （2）由（1）得， 设 AD 为 x，则， ACAD+CD12， ， 解得， 22如图，在 RtABC 中，A90，O 是 BC 边上一点，以 O 为圆心的半圆与 AB 边相切于点 D，与 AC、BC 边分别交于点 E、F、G，连接 OD，已知 BD2，AE3，tanBOD （1）求O 的半径 OD； （2）求证：AE 是O 的切线； （3）求图中两部分阴影面积的和 【分析】 （1）由 AB 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OD 垂直于 AB，在直角三角形 BDO 中，利用 锐角三角函数定义，根据 tanBOD 及 BD 的值，求出 OD 的值即可； （2）连
31、接 OE，由 AEOD3，且 OD 与 AE 平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形， 根据平行四边形的对边平行得到 OE 与 AD 平行，再由 DA 与 AE 垂直得到 OE 与 AC 垂直，即可得证； （3） 阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积扇形DOF的面积扇形EOG的面积， 求出即可 【解答】解： （1）AB 与圆 O 相切， ODAB， 在 RtBDO 中，BD2，tanBOD， OD3； （2）连接 OE， AEOD3，AEOD， 四边形 AEOD 为平行四边形， ADEO， DAAE， OEAC， 又OE 为圆的半径， AE 为圆 O 的切线； （3
32、）ODAC， ，即， AC7.5， ECACAE7.534.5， S阴影SBDO+SOECS扇形FODS扇形EOG 23+34.5 3+ 23如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物 BC 的高 度，他们先在斜坡上的 D 处，测得建筑物顶端 B 的仰角为 30且 D 离地面的高度 DE5m坡底 EA 30m， 然后在 A 处测得建筑物顶端 B 的仰角是 60， 点 E， A， C 在同一水平线上， 求建筑物 BC 的高（结 果用含有根号的式子表示） 【分析】过点 D 作 DHBC 于点 H，则四边形 DHCE 是矩形，DHEC，DEHC，设建筑物 BC
33、 的高 度为 xm，则 BH（x5）m，由三角函数得出 DH（x5） ，ACECEA（x5）30，得 出 xtan60（x5）10，解方程即可 【解答】解：过点 D 作 DHBC 于点 H，如图所示： 则四边形 DHCE 是矩形，DHEC，DEHC5， 设建筑物 BC 的高度为 xm，则 BH（x5）m， 在 RtDHB 中，BDH30， DH（x5） ，ACECEA（x5）30， 在 RtACB 中，BAC60，tanBAC， 解得：x， 答：建筑物 BC 的高为m 24某网店打出促销广告：最潮新款服装 30 件，每件售价 300 元若一次性购买不超过 10 件时，售价不 变；若一次性购买超
34、过 10 件时，每多买 1 件，所买的每件服装的售价均降低 3 元已知该服装成本是每 件 200 元，设顾客一次性购买服装 x 件时，该网店从中获利 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？ 【分析】 （1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案； （2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可 【解答】解： （1）y， （2）在 0 x10 时，y100 x，当 x10 时，y 有最大值 1000； 在 10 x时，y3x2+130 x， 当 x21时，y 取得最大值， x 为整
35、数，根据抛物线的对称性得 x22 时，y 有最大值 1408 14081000， 顾客一次购买 22 件时，该网站从中获利最多 25如图，在直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，点 A 在 x 正半轴上，OA12cm，点 B 在 y 轴的正半 轴上，OB12cm，动点 P 从点 O 开始沿 OA 以cm/s 的速度向点 A 移动，动点 Q 从点 A 开始沿 AB 以 4cm/s 的速度向点 B 移动，动点 R 从点 B 开始沿 BO 以 2cm/s 的速度向点 O 移动如果 P、Q、R 分别 从 O、A、B 同时移动，移动时间为 t（0t6）s （1）求OAB 的度数 （2）以 OB 为直径
36、的O与 AB 交于点 M，当 t 为何值时，PM 与O相切？ （3）是否存在APQ 为等腰三角形？若存在，求出相应的 t 值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）在 RtOAB 中，已知 OA、OB 的长，即可求出OAB 的正切值，由此可得到OAB 的度 数； （2）连接 OM，当 PM 与O相切时，PM、PO 同为O的切线，由“HL”可证得 RtOOP RtMOP，则OOPMOP；在（1）中易得OBA60，即OBM 是等边三角形，由此 可得到BOMPOMPOO60；在 RtOPO中，根据POO 的度数及 OO的长 即可求得 OP 的长，已知 P 点的运动速度，即可根据时间路程速度求得 t
37、的值 【解答】解： （1）在 RtAOB 中：tanOAB， OAB30； （2）如图，连接 OP，OM， 当 PM 与O相切时， PMOPOO90， OMOO，OPOP， RtPMORtPOO（HL） ， 由（1）知OBA60， OMOB， OBM 是等边三角形， BOM60， 可得OOPMOP60， OPOOtanOOP， 6tan606， 又OP2t， 2t6， t3， 即：t3 时，PM 与O相切； （3）分三种情况：如图， 当 APAQ14t 时， OP+AP12， 2t+4t12 t1218； 当 PQ2AQ24t 时， 过 Q2点作 Q2Ex 轴于点 E PA2AE2AQ2cos
38、A4t， 即 2t+4t12， t2； 当 PAPQ3时，过点 P 作 PHAB 于点 H AHPAcos30（122t） 183t， AQ32AH366t， 得 366t4t， t3.6 综上所述，当 t2 或 t3.6 或 t1218 时，APQ 是等腰三角形 26已知抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1，其图象与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C （0，3） （1）求 b，c 的值； （2）直线 l 与 x 轴相交于点 P 如图 1， 若 ly 轴， 且与线段 AC 及抛物线分别相交于点 E， F， 点 C 关于直线 x1 的对称点为点 D， 求四边形 CED
39、F 面积的最大值； 如 图 2 ， 若 直 线 l 与 线 段 BC 相 交 于 点 Q ， 当 PCQ CAP 时 ， 求 点 P 的 坐 标 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴及抛物线与 y 轴的交点坐标可求出 b、c 的值； （2）由题意先求出 D 点坐标为（2，3） ，求出直线 AC 的解析式，设 F（a，a2+2a+3） ，E（a， a+3） ，则 EFa2+3a，四边形 CEDF 的面积可表示为EFCD，利用二次函数的性质可求出面积的最 大值； 当PCQCAP 时，可得PCACPQ，PACPCQOCA45，则 PQAC，BCO PCA，过点 P 作 PMAC 交 AC 于点 M，可
40、求出 PM、PA、OP 的长，即可求解 【解答】解： （1）由题意得：，解得； 故 b2，c3； （2）如图 1，点 C 关于直线 x1 的对称点为点 D， CDOA， 3x2+2x+3， 解得：x10，x22， D（2，3） ， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3， 令 y0，解得 x11，x23， B（1，0） ，A（3，0） ， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b， ，解得：， 直线 AC 的解析式为 yx+3， 设 F（a，a2+2a+3） ，E（a，a+3） ， EFa2+2a+3+a3a2+3a， 四边形 CEDF 的面积SEFC+SEFDEFCD（a2+3a）2（a）2+， 当 a时，四边形 CEDF 的面积有最大值，最大值为； 当PCQCAP 时， PCACPQ，PACPCQ， PQAC， C（0，3） ，A（3，0） ， OAOC， OCAOACPCB45， BCOPCA， 如图 2，过点 P 作 PMAC 交 AC 于点 M， tanPCAtanBCO， 设 PMb，则 CM3b，AMb， AC3， b+3b3，解得 b， 则 PA， OPOAPA3， 点 P 的坐标为（，0）
