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2021年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷(六)含答案解析

1、2021 年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷(六)年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷(六) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1如图,在ABC 中,C90,AC3,BC4,则 sinB 的值是( ) A B C D 2下列投影是平行投影的是( ) A太阳光下窗户的影子 B台灯下书本的影子 C在手电筒照射下纸片的影子 D路灯下行人的影子 3将二次函数 yx22x+3 化为 y(xh)2+k 的形式,结果为( ) Ay(x+1)2+4 By(x1)2+4 Cy(x+1)2+2 Dy(x1)2+2 4如图,O 的直径 AB4,点 C 在O 上,ABC30,则

2、 AC 的长是( ) A1 B C D2 5反比例函数 y的图象经过点 A(1,2) ,则当 x1 时,函数值 y 的取值范围是( ) Ay1 B0y1 Cy2 D0y2 6如图,在ABC 中,ACB90,A30,AB4,以点 B 为圆心,BC 长为半径画弧,交边 AB 于点 D,则的长为( ) A B C D 7 中国美食讲究色香味美, 优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花 图中的摆盘, 其形状是扇形的一部分, 图是其几何示意图 (阴影部分为摆盘) , 通过测量得到 ACBD12cm, C, D 两点之间的距离为 4cm, 圆心角为 60,则图中摆盘的面积是( ) A80cm2 B40cm2 C

3、24cm2 D2cm2 8如图,斜面 AC 的坡度(CD 与 AD 的比)为 1:2,AC3米,坡顶有旗杆 BC,旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连若 AB10 米,则旗杆 BC 的高度为( ) A5 米 B6 米 C8 米 D (3+)米 9在ABC 中,已知ABC90,BAC30,BC1如图所示,将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋 转 90后得到ABC则图中阴影部分面积为( ) A B C D 10如图,已知抛物线 yx2+px+q 的对称轴为 x3,过其顶点 M 的一条直线 ykx+b 与该抛物线的另 一个交点为 N(1,1) 要在坐标轴上找一点 P,使得PMN 的周长最小,则点

4、P 的坐标为( ) A (0,2) B (,0) C (0,2)或(,0) D以上都不正确 二、填空题: (每小题二、填空题: (每小题 3 分,共分,共 24 分)分) 11在 RtABC 中,C90,AB2,BC,则 sinA 12已知扇形的弧长为 10cm,面积为 30cm2,则扇形的圆心角为 13一元二次方程 2x2x+10 的根的情况是 14已知抛物线 yx24x+m 与 x 轴交于 A、B 两点,若 A 的坐标是(1,0) ,则 B 的坐标是 15如图,在扇形 AOB 中,AC 为弦,AOB140,CAO60,OA4,则的长为 16如图,点 A、B、C 在直径为 2的O 上,BAC

5、45,则图中阴影部分的面积等于 (结 果中保留 ) 17如图,圆锥的母线长 OA 为 8,底面圆的半径为 4若一只蚂蚁在底面上点 A 处,在相对母线 OC 的中 点 B 处有一只小虫,蚂蚁要捉到小虫,需要爬行的最短距离为 18二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,对称轴为 x1,给出下列结论:abc0;b2 4ac;4a+2b+c0;3a+c0,其中正确的结论是 (写出正确命题的序号) 三、解答题(三、解答题(19 题题 10 分,分,20 题题 12 分,共分,共 22 分)分) 19在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字2,1,1,4 的小球,它们的形状、大小、质地等 完

6、全相同,小强先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为 a;放回盒子摇匀后,再由小华随机取出一 个小球,记下数字为 b (1)用列表法或画树状图表示出(a,b)的所有可能出现的结果; (2)求小强、小华各取一次小球所确定的点(a,b)落在二次函数 yx2的图象上的概率; (3)求小强、小华各取一次小球所确定的数 a,b 满足直线 yax+b 经过一、二、三象限的概率 20在同一平面直角坐标系中有 5 个点:A(1,1) ,B(3,1) ,C(3,1) ,D(22) (1)画出ABC 的外接圆P,并指出点 D 与P 相的位置关系; (2)E 点是 y 轴上的一点,若直线 DE 与P 相切,求点 E

7、的坐标 四、解答题(每题四、解答题(每题 12 分,共分,共 24 分)分) 21如图,在ABC 中,ACB90,D 为 AC 上一点,DEAB 于点 E,AC12,BC5 (1)求 cosADE 的值; (2)当 DEDC 时,求 AD 的长 22如图,在 RtABC 中,A90,O 是 BC 边上一点,以 O 为圆心的半圆与 AB 边相切于点 D,与 AC、BC 边分别交于点 E、F、G,连接 OD,已知 BD2,AE3,tanBOD (1)求O 的半径 OD; (2)求证:AE 是O 的切线; (3)求图中两部分阴影面积的和 五、解答题(五、解答题(12 分)分) 23如图,某中学数学活

8、动小组在学习了“利用三角函数测高”后,选定测量小河对岸一幢建筑物 BC 的高 度,他们先在斜坡上的 D 处,测得建筑物顶端 B 的仰角为 30且 D 离地面的高度 DE5m坡底 EA 30m, 然后在 A 处测得建筑物顶端 B 的仰角是 60, 点 E, A, C 在同一水平线上, 求建筑物 BC 的高(结 果用含有根号的式子表示) 六、解答题(六、解答题(12 分)分) 24某网店打出促销广告:最潮新款服装 30 件,每件售价 300 元若一次性购买不超过 10 件时,售价不 变;若一次性购买超过 10 件时,每多买 1 件,所买的每件服装的售价均降低 3 元已知该服装成本是每 件 200

9、元,设顾客一次性购买服装 x 件时,该网店从中获利 y 元 (1)求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多? 七、解答题(本题七、解答题(本题 12 分)分) 25如图,在直角坐标系 xOy 中,O 是坐标原点,点 A 在 x 正半轴上,OA12cm,点 B 在 y 轴的正半 轴上,OB12cm,动点 P 从点 O 开始沿 OA 以cm/s 的速度向点 A 移动,动点 Q 从点 A 开始沿 AB 以 4cm/s 的速度向点 B 移动,动点 R 从点 B 开始沿 BO 以 2cm/s 的速度向点 O 移动如果 P、Q、R 分别

10、 从 O、A、B 同时移动,移动时间为 t(0t6)s (1)求OAB 的度数 (2)以 OB 为直径的O与 AB 交于点 M,当 t 为何值时,PM 与O相切? (3)是否存在APQ 为等腰三角形?若存在,求出相应的 t 值;若不存在,请说明理由 八、解答题(本题八、解答题(本题 14 分)分) 26已知抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1,其图象与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C (0,3) (1)求 b,c 的值; (2)直线 l 与 x 轴相交于点 P 如图 1, 若 ly 轴, 且与线段 AC 及抛物线分别相交于点 E, F, 点 C 关于直线 x1 的

11、对称点为点 D, 求四边形 CEDF 面积的最大值; 如图 2,若直线 l 与线段 BC 相交于点 Q,当PCQCAP 时,求点 P 的坐标 2021 年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷(六)年辽宁省铁岭市部分校中考数学调研试卷(六) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1如图,在ABC 中,C90,AC3,BC4,则 sinB 的值是( ) A B C D 【分析】首先利用勾股定理计算出 AB,再根据正弦定义进行计算 【解答】解:C90,AC3,BC4, AB5, sinB, 故选:C 2下列投影是平行投影的是( ) A太阳光下窗户的影子 B

12、台灯下书本的影子 C在手电筒照射下纸片的影子 D路灯下行人的影子 【分析】可根据平行投影的特点分析求解,或根据常识直接确定答案即可 【解答】解:A、太阳光下窗户的影子,是平行投影,故本选项正确; B、台灯下书本的影子是中心投影,故本选项错误; C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影,故本选项错误; D、路灯下行人的影子是中心投影,故本选项错误; 故选:A 3将二次函数 yx22x+3 化为 y(xh)2+k 的形式,结果为( ) Ay(x+1)2+4 By(x1)2+4 Cy(x+1)2+2 Dy(x1)2+2 【分析】本题是将一般式化为顶点式,由于二次项系数是 1,只需加上一次项系数的一半的

13、平方来凑成 完全平方式即可 【解答】解:yx22x+3x22x+11+3(x1)2+2 故选:D 4如图,O 的直径 AB4,点 C 在O 上,ABC30,则 AC 的长是( ) A1 B C D2 【分析】先根据圆周角定理证得ABC 是直角三角形,然后根据直角三角形的性质求出 AC 的长 【解答】解:AB 是O 的直径, ACB90; RtABC 中,ABC30,AB4; ACAB2 故选:D 5反比例函数 y的图象经过点 A(1,2) ,则当 x1 时,函数值 y 的取值范围是( ) Ay1 B0y1 Cy2 D0y2 【分析】把 A(1,2)代入反比例函数 y可得 k2,而当 x1,y2

14、,根据反比例图象分布在 第一、第三象限,在每一象限,y 随 x 的增大而减小,得到当 x1 时,函数值的范围为 0y2 【解答】解:反比例函数 y的图象经过点 A(1,2) , 2, k2, y, 当 x1,y2, 当 x1 时,函数值的范围为 0y2 故选:D 6如图,在ABC 中,ACB90,A30,AB4,以点 B 为圆心,BC 长为半径画弧,交边 AB 于点 D,则的长为( ) A B C D 【分析】先根据 ACB90,AB4,A30,得圆心角和半径的长,再根据弧长公式可得到弧 CD 的长 【解答】解:ACB90,AB4,A30, B60,BC2 的长为, 故选:C 7 中国美食讲究

15、色香味美, 优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花 图中的摆盘, 其形状是扇形的一部分, 图是其几何示意图 (阴影部分为摆盘) , 通过测量得到 ACBD12cm, C, D 两点之间的距离为 4cm, 圆心角为 60,则图中摆盘的面积是( ) A80cm2 B40cm2 C24cm2 D2cm2 【分析】首先证明OCD 是等边三角形,求出 OCODCD4cm,再根据 S阴S扇形OABS扇形OCD, 求解即可 【解答】解:如图,连接 CD OCOD,O60, COD 是等边三角形, OCODCD4cm, S阴S扇形OABS扇形OCD40(cm2) , 故选:B 8如图,斜面 AC 的坡度(CD 与

16、AD 的比)为 1:2,AC3米,坡顶有旗杆 BC,旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连若 AB10 米,则旗杆 BC 的高度为( ) A5 米 B6 米 C8 米 D (3+)米 【分析】设 CDx,则 AD2x,根据勾股定理求出 AC 的长,从而求出 CD、AC 的长,然后根据勾股定 理求出 BD 的长,即可求出 BC 的长 【解答】解:设 CDx,则 AD2x, 由勾股定理可得,ACx, AC3米, x3, x3 米, CD3 米, AD236 米, 在 RtABD 中,BD8 米, BC835 米 故选:A 9在ABC 中,已知ABC90,BAC30,BC1如图所示,将ABC 绕点

17、 A 按逆时针方向旋 转 90后得到ABC则图中阴影部分面积为( ) A B C D 【分析】解直角三角形得到 ABBC,AC2BC2,然后根据扇形的面积公式即可得到结论 【解答】解:ABC90,BAC30,BC1, ABBC,AC2BC2, 图中阴影部分面积S扇形ACCS扇形ADB SABC1, 故选:B 10如图,已知抛物线 yx2+px+q 的对称轴为 x3,过其顶点 M 的一条直线 ykx+b 与该抛物线的另 一个交点为 N(1,1) 要在坐标轴上找一点 P,使得PMN 的周长最小,则点 P 的坐标为( ) A (0,2) B (,0) C (0,2)或(,0) D以上都不正确 【分析

18、】首先,求得抛物线的解析式,根据抛物线解析式求得 M 的坐标;欲使PMN 的周长最小,MN 的长度一定,所以只需(PM+PN)取最小值即可 然后,过点 M 作关于 y 轴对称的点 M,连接 MN,MN 与 y 轴的交点即为所求的点 P(如图 1) ; 过点 M 作关于 x 轴对称的点 M,连接 MN,则只需 MN 与 x 轴的交点即为所求的点 P(如图 2) 【解答】解:如图,抛物线 yx2+px+q 的对称轴为 x3,点 N(1,1)是抛物线上的一点, , 解得 该抛物线的解析式为 yx26x4(x+3)2+5, M(3,5) PMN 的周长MN+PM+PN,且 MN 是定值,所以只需(PM

19、+PN)最小 如图 1, 过点 M 作关于 y 轴对称的点 M, 连接 MN, MN 与 y 轴的交点即为所求的点 P 则 M (3, 5) 设直线 MN 的解析式为:yax+t(a0) ,则, 解得, 故该直线的解析式为 yx+2 当 x0 时,y2,即 P(0,2) 同理,如图 2,过点 M 作关于 x 轴对称的点 M,连接 MN,则只需 MN 与 x 轴的交点即为所求的 点 P(,0) 如果点 P 在 y 轴上,则三角形 PMN 的周长;如果点 P 在 x 轴上,则三角形 PMN 的周长 ; 所以点 P 在(0,2)时,三角形 PMN 的周长最小 综上所述,符合条件的点 P 的坐标是(0

20、,2) 故选:A 二填空题(共二填空题(共 8 小题)小题) 11在 RtABC 中,C90,AB2,BC,则 sinA 【分析】直接画出图形进而利用锐角三角函数关系得出答案 【解答】解:在 RtABC 中,C90,AB2,BC, sinA 故答案为: 12已知扇形的弧长为 10cm,面积为 30cm2,则扇形的圆心角为 300 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式解答 【解答】解:设扇形弧长为 l,面积为 S,圆心角为 n,半径为 r lr30, 10r30, r6, , 30, n300, 故答案为 300 13一元二次方程 2x2x+10 的根的情况是 无实数根 【分析】求出 b24ac

21、 的值即可判断 【解答】解:2x2x+10, b24ac(1)24210, 方程 2x2+x+10 无实数根 故答案为:无实数根 14 已知抛物线 yx24x+m 与 x 轴交于 A、 B 两点, 若 A 的坐标是 (1, 0) , 则 B 的坐标是 (5, 0) 【分析】首先求出抛物线的对称轴方程,然后根据点 A 和点 B 关于对称轴对称,即可求出点 B 的坐标 【解答】解:yx24x+m, 抛物线的对称轴方程为 x2, 点 A(1,0)和点 B 关于对称轴 x2 对称, 点 B 的坐标为(5,0) , 故答案为(5,0) 15如图,在扇形 AOB 中,AC 为弦,AOB140,CAO60,

22、OA4,则的长为 【分析】 连接 OC, 根据等边三角形的判定得出AOC 是等边三角形, 根据等边三角形的性质得出AOC 60,求出BOC 的度数,再根据弧长公式求出答案即可 【解答】解:连接 OC, OAOC,OAC60, AOC 是等边三角形, AOC60, AOB140, BOCAOBAOC80, OCOA4, 的长是, 故答案为: 16 如图, 点 A、 B、 C 在直径为 2的O 上, BAC45, 则图中阴影部分的面积等于 (结 果中保留 ) 【分析】首先连接 OB,OC,即可求得BOC90,然后求得扇形 OBC 的面积与OBC 的面积,求 其差即是图中阴影部分的面积 【解答】解:

23、连接 OB,OC, BAC45, BOC90, O 的直径为 2, OBOC, S扇形OBC,SOBC, S阴影S扇形OBCSOBC 故答案为: 17如图,圆锥的母线长 OA 为 8,底面圆的半径为 4若一只蚂蚁在底面上点 A 处,在相对母线 OC 的中 点 B 处有一只小虫,蚂蚁要捉到小虫,需要爬行的最短距离为 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果 【解答】解:由题意知,底面圆的直径 AC8,故底面周长等于 8 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n, 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得,8, 解得 n180,所以展开图中AOB90, 根据勾

24、股定理求得 AB, 所以蚂蚁爬行的最短距离为 18二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,对称轴为 x1,给出下列结论:abc0;b2 4ac;4a+2b+c0;3a+c0,其中正确的结论是 (写出正确命题的序号) 【分析】根据抛物线开口方向,对称轴的位置,与 x 轴交点个数,以及 x1,x2 对应 y 值的正负判 断即可 【解答】解:由二次函数图象开口向上,得到 a0;与 y 轴交于负半轴,得到 c0, 对称轴在 y 轴右侧,且1,即 2a+b0, a 与 b 异号,即 b0, abc0,选项正确; 二次函数图象与 x 轴有两个交点, b24ac0,即 b24ac,选项错误; 原

25、点 O 与对称轴的对应点为(2,0) , x2 时,y0,即 4a+2b+c0,选项错误; x1 时,y0, ab+c0, 把 b2a 代入得:3a+c0,选项正确, 故答案是: 三解答题三解答题 19在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字2,1,1,4 的小球,它们的形状、大小、质地等 完全相同,小强先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为 a;放回盒子摇匀后,再由小华随机取出一 个小球,记下数字为 b (1)用列表法或画树状图表示出(a,b)的所有可能出现的结果; (2)求小强、小华各取一次小球所确定的点(a,b)落在二次函数 yx2的图象上的概率; (3)求小强、小华各取一次小球所确定

26、的数 a,b 满足直线 yax+b 经过一、二、三象限的概率 【分析】 (1)利用树状图展示所有 16 种等可能的结果; (2)根据二次函数图象上点的坐标特征得到点(2,4) , (1,1) , (1,1)落在二次函数 yx2的图 象上,然后根据概率公式求解; (3)根据一次函数图象与系数的关系可得到 a0,b0,则点(1,1) , (1,4) , (4,1) , (4,4)满 足直线 yax+b 经过一、二、三象限,然后根据概率公式求解 【解答】解: (1)画树状图如下: 共有 16 种等可能的结果,它们为(2,2) 、 (2,1) 、 (2,1) 、 (2,4) 、 (1,2) 、 (1,

27、 1) 、 (1,1) 、 (1,4) 、 (1,2) 、 (1,1) 、 (1,1) 、 (1,4) 、 (4,2) 、 (4,1) 、 (4,1) 、 (4,4) ; (2)落在二次函数 yx2的图象上的点有(2,4) , (1,1) , (1,1) , 所以落在二次函数 yx2的图象上的概率; (3)满足直线 yax+b 经过一、二、三象限的点有(1,1) , (1,4) , (4,1) , (4,4) , 所以满足直线 yax+b 经过一、二、三象限的概率 20在同一平面直角坐标系中有 5 个点:A(1,1) ,B(3,1) ,C(3,1) ,D(22) (1)画出ABC 的外接圆P,

28、并指出点 D 与P 相的位置关系; (2)E 点是 y 轴上的一点,若直线 DE 与P 相切,求点 E 的坐标 【分析】 (1)在直角坐标系内描出各点,画出ABC 的外接圆,并指出点 D 与P 的位置关系即可; (2)连接 PD,用待定系数法求出直线 DE 的关系式进而得出 E 点坐标 【解答】解: (1)如图所示: ABC 外接圆的圆心为(1,0) ,点 D 在P 上; (2)连接 PD, 直线 DE 与P 相切, PDPE, 利用网格过点 D 做直线的 DFPD,则 F(6,0) , 设过点 D,E 的直线解析式为:ykx+b, D(2,2) ,F(6,0) , , 解得:, 直线 DE

29、解析式为:yx3, x0 时,y3, E(0,3) 21如图,在ABC 中,ACB90,D 为 AC 上一点,DEAB 于点 E,AC12,BC5 (1)求 cosADE 的值; (2)当 DEDC 时,求 AD 的长 【分析】 (1)根据三角形的内角和得到A+ADE90,A+B90,根据余角的性质得到ADE B,根据勾股定理得到 AB13,由三角函数的定义即可得到结论; (2)由(1)得,设 AD 为 x,则,由于 ACAD+CD12,列方程即 可得到结论 【解答】解: (1)DEAB, DEA90, A+ADE90, ACB90, A+B90, ADEB, 在 RtABC 中,AC12,B

30、C5, AB13, , ; (2)由(1)得, 设 AD 为 x,则, ACAD+CD12, , 解得, 22如图,在 RtABC 中,A90,O 是 BC 边上一点,以 O 为圆心的半圆与 AB 边相切于点 D,与 AC、BC 边分别交于点 E、F、G,连接 OD,已知 BD2,AE3,tanBOD (1)求O 的半径 OD; (2)求证:AE 是O 的切线; (3)求图中两部分阴影面积的和 【分析】 (1)由 AB 为圆 O 的切线,利用切线的性质得到 OD 垂直于 AB,在直角三角形 BDO 中,利用 锐角三角函数定义,根据 tanBOD 及 BD 的值,求出 OD 的值即可; (2)连

31、接 OE,由 AEOD3,且 OD 与 AE 平行,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形, 根据平行四边形的对边平行得到 OE 与 AD 平行,再由 DA 与 AE 垂直得到 OE 与 AC 垂直,即可得证; (3) 阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积扇形DOF的面积扇形EOG的面积, 求出即可 【解答】解: (1)AB 与圆 O 相切, ODAB, 在 RtBDO 中,BD2,tanBOD, OD3; (2)连接 OE, AEOD3,AEOD, 四边形 AEOD 为平行四边形, ADEO, DAAE, OEAC, 又OE 为圆的半径, AE 为圆 O 的切线; (3

32、)ODAC, ,即, AC7.5, ECACAE7.534.5, S阴影SBDO+SOECS扇形FODS扇形EOG 23+34.5 3+ 23如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后,选定测量小河对岸一幢建筑物 BC 的高 度,他们先在斜坡上的 D 处,测得建筑物顶端 B 的仰角为 30且 D 离地面的高度 DE5m坡底 EA 30m, 然后在 A 处测得建筑物顶端 B 的仰角是 60, 点 E, A, C 在同一水平线上, 求建筑物 BC 的高(结 果用含有根号的式子表示) 【分析】过点 D 作 DHBC 于点 H,则四边形 DHCE 是矩形,DHEC,DEHC,设建筑物 BC

33、 的高 度为 xm,则 BH(x5)m,由三角函数得出 DH(x5) ,ACECEA(x5)30,得 出 xtan60(x5)10,解方程即可 【解答】解:过点 D 作 DHBC 于点 H,如图所示: 则四边形 DHCE 是矩形,DHEC,DEHC5, 设建筑物 BC 的高度为 xm,则 BH(x5)m, 在 RtDHB 中,BDH30, DH(x5) ,ACECEA(x5)30, 在 RtACB 中,BAC60,tanBAC, 解得:x, 答:建筑物 BC 的高为m 24某网店打出促销广告:最潮新款服装 30 件,每件售价 300 元若一次性购买不超过 10 件时,售价不 变;若一次性购买超

34、过 10 件时,每多买 1 件,所买的每件服装的售价均降低 3 元已知该服装成本是每 件 200 元,设顾客一次性购买服装 x 件时,该网店从中获利 y 元 (1)求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多? 【分析】 (1)根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润,进而得出答案; (2)根据销量乘以每台利润进而得出总利润,即可求出即可 【解答】解: (1)y, (2)在 0 x10 时,y100 x,当 x10 时,y 有最大值 1000; 在 10 x时,y3x2+130 x, 当 x21时,y 取得最大值, x 为整

35、数,根据抛物线的对称性得 x22 时,y 有最大值 1408 14081000, 顾客一次购买 22 件时,该网站从中获利最多 25如图,在直角坐标系 xOy 中,O 是坐标原点,点 A 在 x 正半轴上,OA12cm,点 B 在 y 轴的正半 轴上,OB12cm,动点 P 从点 O 开始沿 OA 以cm/s 的速度向点 A 移动,动点 Q 从点 A 开始沿 AB 以 4cm/s 的速度向点 B 移动,动点 R 从点 B 开始沿 BO 以 2cm/s 的速度向点 O 移动如果 P、Q、R 分别 从 O、A、B 同时移动,移动时间为 t(0t6)s (1)求OAB 的度数 (2)以 OB 为直径

36、的O与 AB 交于点 M,当 t 为何值时,PM 与O相切? (3)是否存在APQ 为等腰三角形?若存在,求出相应的 t 值;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)在 RtOAB 中,已知 OA、OB 的长,即可求出OAB 的正切值,由此可得到OAB 的度 数; (2)连接 OM,当 PM 与O相切时,PM、PO 同为O的切线,由“HL”可证得 RtOOP RtMOP,则OOPMOP;在(1)中易得OBA60,即OBM 是等边三角形,由此 可得到BOMPOMPOO60;在 RtOPO中,根据POO 的度数及 OO的长 即可求得 OP 的长,已知 P 点的运动速度,即可根据时间路程速度求得 t

37、的值 【解答】解: (1)在 RtAOB 中:tanOAB, OAB30; (2)如图,连接 OP,OM, 当 PM 与O相切时, PMOPOO90, OMOO,OPOP, RtPMORtPOO(HL) , 由(1)知OBA60, OMOB, OBM 是等边三角形, BOM60, 可得OOPMOP60, OPOOtanOOP, 6tan606, 又OP2t, 2t6, t3, 即:t3 时,PM 与O相切; (3)分三种情况:如图, 当 APAQ14t 时, OP+AP12, 2t+4t12 t1218; 当 PQ2AQ24t 时, 过 Q2点作 Q2Ex 轴于点 E PA2AE2AQ2cos

38、A4t, 即 2t+4t12, t2; 当 PAPQ3时,过点 P 作 PHAB 于点 H AHPAcos30(122t) 183t, AQ32AH366t, 得 366t4t, t3.6 综上所述,当 t2 或 t3.6 或 t1218 时,APQ 是等腰三角形 26已知抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1,其图象与 x 轴相交于 A,B 两点,与 y 轴相交于点 C (0,3) (1)求 b,c 的值; (2)直线 l 与 x 轴相交于点 P 如图 1, 若 ly 轴, 且与线段 AC 及抛物线分别相交于点 E, F, 点 C 关于直线 x1 的对称点为点 D, 求四边形 CED

39、F 面积的最大值; 如 图 2 , 若 直 线 l 与 线 段 BC 相 交 于 点 Q , 当 PCQ CAP 时 , 求 点 P 的 坐 标 【分析】 (1)根据抛物线的对称轴及抛物线与 y 轴的交点坐标可求出 b、c 的值; (2)由题意先求出 D 点坐标为(2,3) ,求出直线 AC 的解析式,设 F(a,a2+2a+3) ,E(a, a+3) ,则 EFa2+3a,四边形 CEDF 的面积可表示为EFCD,利用二次函数的性质可求出面积的最 大值; 当PCQCAP 时,可得PCACPQ,PACPCQOCA45,则 PQAC,BCO PCA,过点 P 作 PMAC 交 AC 于点 M,可

40、求出 PM、PA、OP 的长,即可求解 【解答】解: (1)由题意得:,解得; 故 b2,c3; (2)如图 1,点 C 关于直线 x1 的对称点为点 D, CDOA, 3x2+2x+3, 解得:x10,x22, D(2,3) , 抛物线的解析式为 yx2+2x+3, 令 y0,解得 x11,x23, B(1,0) ,A(3,0) , 设直线 AC 的解析式为 ykx+b, ,解得:, 直线 AC 的解析式为 yx+3, 设 F(a,a2+2a+3) ,E(a,a+3) , EFa2+2a+3+a3a2+3a, 四边形 CEDF 的面积SEFC+SEFDEFCD(a2+3a)2(a)2+, 当 a时,四边形 CEDF 的面积有最大值,最大值为; 当PCQCAP 时, PCACPQ,PACPCQ, PQAC, C(0,3) ,A(3,0) , OAOC, OCAOACPCB45, BCOPCA, 如图 2,过点 P 作 PMAC 交 AC 于点 M, tanPCAtanBCO, 设 PMb,则 CM3b,AMb, AC3, b+3b3,解得 b, 则 PA, OPOAPA3, 点 P 的坐标为(,0)