1、2021年北京市朝阳区四校联考高二上期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为A30B45C60D1202已知点和点，且，则实数的值是A或 B或 C或 D或3过点且垂直于的直线方程为A B C D4已知双曲线的下、上焦点分别为，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为A B C D5点为圆上的动点，是圆的切线，则点的轨迹方程是A B C D6椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则椭圆的离心率是ABCD7如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，则A BC D8若椭圆：（）满足，则该椭圆的离心率A B C
2、 D9设表示的是椭圆；，则是成立的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10.正方体的棱长为1，则集合中元素的个数为A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，则的周长为_12.已知平面和平面的法向量分别为，且，则=_.13.直线与圆交于点A，B两点，则线段的长_.14.如图，在直三棱柱中，点E是棱上一点，且，则异面直线与AE所成角的余弦值为_.15.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：
3、多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为_16. 如图，在正方体中，分别是棱，的中点，点在对角线上运动当的面积取得最小值时，则_三、解答题（本大题共5个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分15分）已知圆，直线过点.（）求圆的圆心坐标及半径长；（）若直线与圆相切，求直线的方程；（）当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求.1
4、8. (本小题满分13分)已知长轴长为的椭圆的一个焦点为（） 求椭圆C的方程；（）若斜率为l的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程19（本小题满分15分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，E、F分别是棱、的中点.（）求证：平面AEF；（）求二面角的大小；（）求点F到平面的距离.20（本小题满分13分）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆交于点，记直线，的斜率分别为，.（）求椭圆的方程；（）求的值.21（本小题满分14分）等边三角形的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B（）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（）求平面和平面夹角
5、的余弦值；（）在线段BC上是否存在一点P，使？若存在，请指出P点的位置，若存在，请说明理由.参考答案1B【分析】首先根据斜率公式求出斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得；【详解】解：因为，所以，设直线AB的倾斜角为，则，因为，所以故选：B2A【分析】利用空间两点间的距离公式求解.【详解】点和点，且，化简得，解得或，实数的值是或故选：A3B【分析】求出直线l的斜率，再借助垂直关系的条件即可求解作答.【详解】直线的斜率为，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为，于是有：，即，所以所求直线方程为.故选：B4C【分析】求出实半轴的长、虚半轴的长后可得双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的方程为：，半
6、焦距为.则，则，故，所以双曲线的标准方程为故选：C.5B【分析】由圆的切线性质，结合已知有和圆心的距离恒为，设即可写出的轨迹方程.【详解】，点和圆心的距离恒为，又圆心，设， 由两点间的距离公式，得.故选：B6D【分析】设椭圆半焦距为c，根据给定条件可得b=c，再确定a与c的关系即可得解.【详解】设椭圆半焦距为c，因椭圆的中心O与一个焦点F及短轴的一个端点B组成等腰直角三角形FBO，则有b=c，而，于是得，所以椭圆的离心率是.故选：D7A【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为在四棱锥中，底面是正方形，所以故选：A8C【分析】由题意构建齐次式即可得到结果.【详解】由题意知，又，即或（
7、舍），故选:C9A【分析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.【详解】若表示的是椭圆，则且，即成立；反例：当时，表示的是圆，即不成立；即p是成立的充分不必要条件，故选：A.10.D【解析】熟悉向量数量积的几何意义的话，这道题就很简单，在方向上投影始终是1，选D1112【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】因为过点的直线交椭圆于两点，由椭圆的定义得：，所以的周长为,故答案为：1212【分析】根据法向量垂直即可求出的值.【详解】，即，解得.故答案为：.13.【分析】求出圆的圆心和半径，结合点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后结合圆的几何性质即可求出结果.【详解】圆的圆心为，
8、半径为4，则圆心到直线的距离为，所以线段的长为，故答案为：.14【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，所以，设异面直线与所成角为，则故答案为：15【分析】由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合，【详解】解：由图可知四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，所以面角和为，故总曲率为故答案为：16. 【解析】设正方体的棱长为1，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐
9、标系，如图所示：则，的中点，则，设，由与共线，可得，所以，所以，其中，因为，所以，所以，即是动点到直线的距离，由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点17.（本小题满分14分）已知圆，直线过点.（1）求圆的圆心坐标及半径长；（2）若直线与圆相切，求直线的方程；（3）当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求.（1）圆心坐标是（3，4），半径长是2；（2）或；（3）4.【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；（2）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，再利用圆心到直线的距
10、离等于半径，求得斜率，即可得解；（3）由（2）得切线的方程，设圆的圆心是点，求出的长度，在利用勾股定理即可得解.【详解】解：把圆的方程化成标准式方程，为.（1）圆的圆心坐标是（3，4），半径长是2.（2）当直线的斜率不存在即其方程是时，满足题设.当直线的斜率存在时，可设直线的方程是即0.由圆心（3，4）到直线的距离等于圆的半径长2，即，解得，进而可得此时直线的方程是.综上所述，可得直线的方程是或.（3）由（2）的解答可得直线的方程是.设圆的圆心是点，则，所以.18. 已知离心率的椭圆的一个焦点为(1) 求椭圆C的方程；(2) 若斜率为l的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程【答案】（1）；（5
11、分）（2）或（10分）(1)由题意， 1分， 3分； 4分椭圆的方程为 5分(2)设直线的方程为，点， 6分联立方程组化简，得 7分由已知得, 即, 9分且， 11分= 12分= 解得，符合题意 14分直线的方程为或 15分19（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面AEF.（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小.（3）求出平面的法向量1，利用向量法能求出点F到平面的距离.【详解】（1）三棱柱的侧棱垂直于底面，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，E
12、、F分别是棱C、BC的中点，0，0，1，1，AE，平面AEF，平面AEF.（2），0，1，设平面的法向量y，则，取，得1，设平面的法向量b，则，取，得1，设二面角的大小为，则，依图得二面角为锐角，二面角的大小为.（3）解：平面的法向量1，点F到平面的距离：.21（1）平行（2）（3）靠近B的三等分点【解析】试题分析：（1）判定线面关系，可从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质得线线平行，再利用线面平行判定定理确定，（2）求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，再分别计算平面CDF及平面EDF的
13、法向量，其中平面EDF的法向量需列方程组求解，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角得结论（3）确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点P的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直：可设,再转化条件为，解得，即可确定P位置.试题解析：（1）如图，在中，由E、F分别是AC、BC中点，得，又平面DEF，平面DEF，平面DEF. （2）由题知，平面平面BDC，且交线为DC，平面BDC，又已知，两两垂直，以点D为坐标原点，直线DB、DC、DA为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则， 平面CDF的法向量为，设平面EDF的法向量为，则，即，取，二面角E-DF-C的余弦值为.（3）设，则，又，把代入上式得，在线段BC上存在点，即靠近B的三等分点，使. 考点：线面平行判定定理,利用空间向量求二面角、确定点的位置【名师点睛】判断或证明线面平行的常用方法有：（1）利用线面平行的定义（无公共点）；（2）利用线面平行的判定定理（a，b，aba）；（3）利用面面平行的性质定理（，aa）
