1、2021-2022 学年北京市海淀区七校联考八年级上期中数学试卷学年北京市海淀区七校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 16 分）分） 1现实生活中，对称现象无处不在，中国的汉字中有些也具有对称性，下列字是轴对称图形的是（ ） A诚 B信 C友 D善 2下列运算正确的是（ ） Ax2x3x6 Bx2+x22x4 Cx6x2x3 D （2x）24x2 3已知：如图，D、E 分别在 AB、AC 上，若 ABAC，ADAE，A60，B25，则BDC 的度数是（ ） A95 B90 C85 D80 4下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） Ax（x2）
2、x22x B （x+1）2x2+2x+1 Cx24（x+2） （x2） Dx+2x（1+） 5 如图， 在ABC 中， ABAC， A40， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D， 则DBC 的度数是 （ ） A20 B30 C40 D50 6小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知：AOB 求作：AOB，使AOBAOB 作法： （1）如图，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； （2）画一条射线 OA，以点 O为圆心，OC 长为半径画弧，交 OA于点 C； （3）以点 C为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点
3、 D； （4）过点 D画射线 OB，则AOBAOB 小聪作法正确的理由是（ ） A由 SSS 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB B由 SAS 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB C由 ASA 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB D由“等边对等角”可得AOBAOB 7如果 m2+m5，那么代数式 m（m2）+（m+2）2的值为（ ） A14 B9 C1 D6 8已知长方形 ABCD 可以按图示方式分成九部分，在 a，b 变化的过程中，下面说法正确的有（ ） 长方形 ABCD 的长宽之比可能为 2； 图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形 ABCD 的周长； 当长方形 ABCD 为正
4、方形时，九部分都为正方形； 当长方形 ABCD 的周长为 60 时，它的面积可能为 100 A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，共分，共 16 分）分） 9直接写出计算结果： （2ab2）3 10点 M（1，3）关于 x 轴对称的点的坐标是 11如果等腰三角形的一个底角是 80，那么顶角是 度 12分解因式：x26x+9 13如图，在ABC 中，C90，AD 平分CAB，CD1，AB4，则ABD 的面积是 14已知（a+b）232，ab2，则 ab 15如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 上（不与点 B，C 重合） 只需添加一个条件即可证明ABDACD，这个条
5、件可以是 （写出一个即可） 16如图，已知MON，在边 ON 上顺次取点 P1，P3，P5，在边 OM 上顺次取点 P2，P4，P6，使得OP1P1P2P2P3P3P4P4P5，得到等腰OP1P2，P1P2P3，P2P3P4，P3P4P5 （1）若MON30，可以得到的最后一个等腰三角形是 ； （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是P3P4P5，则MON 的度数 的取值范围是 三、解答题（三、解答题（17，18 题每小题题每小题 12 分，分，19、20 题每题题每题 4 分，分，21 题题 5 分，分，22 题题 4 分，分，23 题题 3 分，分，24 题题 5 分，分，25
6、 题题 4 分，分，26 题题 6 分，分，27 题题 7 分，共分，共 60 分）分） 17 （12 分）计算： （1）6x23xy （2） （3x+1） （x2） （3） （6x49x3）3x2 （4） （x+2y）2 18 （6 分）分解因式： （1）12xyz9x2y2； （2）a2m25m 19 （4 分）如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF，求证：ABDE 20 （4 分）先化简，再求值： （2a+b） （2ab）4a（a3b） ，其中 a1，b2 21 （5 分）在直角坐标系中，ABC 的三个顶点的位置如图所示 （1）请画出ABC 关于 y 轴对
7、称的ABC（其中 A，B，C分别是 A，B，C 的对应点，不写画法） ； （2）直接写出 A，B，C三点的坐标： （ ） ，B（ ） ，C（ ） （3）点 Q 在坐标轴上，且满足BCQ 是等腰三角形，则所有符合条件的 Q 点有 个 22 （4 分）如图，点 D、E 在ABC 的 BC 边上，ABAC，ADAE求证：BDCE 23如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 24 （
8、5 分）如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，D 是 AC 边上一点，连接 BD，ECAC，且 AEBD，AE 与 BC 交于点 F （1）求证：CEAD； （2）当 ADCF 时，求证：BD 平分ABC 25 （4 分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于 x 的多项式 x22x+3，由于 x22x+3（x1）2+2，所以当 x1 取任意一对互为相反数的数时，多项式 x22x+3 的值是相等的例如，当 x11，即 x2 或 0 时，x22x+3 的值均为 3；当 x12，即 x3 或1 时，x22x+3的值均为 6于是小明给出一个定义： 对于关于 x 的多项式，若当
9、xt 取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于xt 对称例如 x22x+3 关于 x1 对称 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式 x24x+6 关于 x 对称； （2）若关于 x 的多项式 x2+2ax+3 关于 x4 对称，求 a 的值； （3）整式（x2+8x+16） （x26x+9）关于 x 对称 26 （6 分）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图 1，在ABC 中，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，且 AB+BDAC 求证：ABC2ACB 小明的方法是：如图 2，在 AC 上截取 AE，使 AEAB，连接 DE，构造全等三角形来证
10、明结论 （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法” ，那么还可以用“补短法”通过延长线段 AB 构造全等三角形进行证明辅助线的画法是：延长 AB 至 F，使 BF ，连接 DF 请补全小天提出的辅助线的画法，并在图 1 中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图 3，点 D 在ABC 的内部，AD，BD，CD 分别平分BAC，ABC，ACB，且 AB+BDAC求证：ABC2ACB 请你解答小芸提出的这个问题； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在ABC 中，ABC2ACB，点 D 在边
11、 BC 上，AB+BDAC，那么 AD 平分BAC 小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的请你利用图 4 对这个命题进行证明 27 （7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M（3，0） ，且平行于 y 轴给出如下定义：点P（x，y）先关于 y 轴对称得点 P1，再将点 P1关于直线 l 对称得点 P，则称点 P是点 P 关于 y 轴和直线 l 的二次反射点 （1）已知 A（4，0） ，B（2，0） ，C（3，1） ，则它们关于 y 轴和直线 l 的二次反射点 A，B，C的坐标分别是 ； （2）若点 D 的坐标是（a，0） ，其中 a0，点 D 关于 y 轴
12、和直线 l 的二次反射点是点 D，求线段 DD的长； （3）已知点 E（4，0） ，点 F（6，0） ，以线段 EF 为边在 x 轴上方作正方形 EFGH，若点 P（a，1） ，Q（a+1，1）关于 y 轴和直线 l 的二次反射点分别为 P，Q，且线段 PQ与正方形 EFGH 的边有公共点，求 a 的取值范围 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 16 分）分） 1现实生活中，对称现象无处不在，中国的汉字中有些也具有对称性，下列字是轴对称图形的是（ ） A诚 B信 C友 D善 【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的
13、部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 【解答】解： “诚” 、 “信” ， “友”都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； “善”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 2下列运算正确的是（ ） Ax2x3x6 Bx2+x22x4 Cx6x2x3 D （2x）24x2 【分析】选项 A 根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 选项 B
14、根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变； 选项 C 根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减； 选项 D 根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 【解答】解：Ax2x3x5，故本选项不合题意； Bx2+x22x2，故本选项不合题意； Cx6x2x4，故本选项不合题意； D （2x）24x2，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本
15、题的关键 3已知：如图，D、E 分别在 AB、AC 上，若 ABAC，ADAE，A60，B25，则BDC 的度数是（ ） A95 B90 C85 D80 【分析】根据 SAS 证ABEACD，推出CB，求出C 的度数，根据三角形的外角性质得出BDCA+C，代入求出即可 【解答】解：在ABE 和ACD 中， ， ABEACD（SAS） ， CB， B25， C25， A60， BDCA+C85， 故选：C 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出C 的度数和得出BDCA+C 4下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） Ax（x2）x22x B （
16、x+1）2x2+2x+1 Cx24（x+2） （x2） Dx+2x（1+） 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案 【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意 故选：C 【点评】 本题考查了因式分解的意义 严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键 5 如图， 在ABC 中， ABAC， A40， AB 的垂直平分线 MN 交
17、 AC 于点 D， 则DBC 的度数是 （ ） A20 B30 C40 D50 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出ABC，根据线段垂直平分线的性质得到 DADB，得到DBAA40，计算即可 【解答】解：ABAC，A40， ABCC70， MN 是 AB 的垂直平分线， DADB， DBAA40， DBCABCABD30， 故选：B 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 6小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知：AOB 求作：AOB，使AOBAOB 作法： （1）如
18、图，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； （2）画一条射线 OA，以点 O为圆心，OC 长为半径画弧，交 OA于点 C； （3）以点 C为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点 D； （4）过点 D画射线 OB，则AOBAOB 小聪作法正确的理由是（ ） A由 SSS 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB B由 SAS 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB C由 ASA 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB D由“等边对等角”可得AOBAOB 【分析】先利用作法得到 ODOCODOC，CDCD，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判
19、断 【解答】解：由作图得 ODOCODOC，CDCD， 则根据“SSS”可判断CODCOD 故选：A 【点评】本题考查了作图基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法也考查了全等三角形的判定 7如果 m2+m5，那么代数式 m（m2）+（m+2）2的值为（ ） A14 B9 C1 D6 【分析】直接利用单项式乘多项式计算，再把已知代入得出答案 【解答】解：m（m2）+（m+2）2 m22m+m2+4m+4 2m2+2m+4 当 m2+m5 时，原式2（m2+m）+425+410+414 故选：A 【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，完全平方公
20、式，正确将原式变形是解题关键 8已知长方形 ABCD 可以按图示方式分成九部分，在 a，b 变化的过程中，下面说法正确的有（ ） 长方形 ABCD 的长宽之比可能为 2； 图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形 ABCD 的周长； 当长方形 ABCD 为正方形时，九部分都为正方形； 当长方形 ABCD 的周长为 60 时，它的面积可能为 100 A B C D 【分析】假设长方形的长宽比是 2，推导出与已知的矛盾，排除，根据正方形定义和长方形的周长公式判断，根据长方形的周长为 60，推导出该长方形的面积大于 100，从而说明错误 【解答】解：如图： 长方形的长为 a+2b，宽为 2a+b，若该
21、长方形的长宽之比为 2，则 a+2b2（2a+b） ， 解得 a0这与题意不符，故的说法不正确； 四边形 AEFG、FHKM、SKWC 的周长之和等于长方形 ABCD 的周长，故正确； 当长方形 ABCD 为正方形时，2a+ba+2b， 所以 ab，所以九部分都为正方形，故的说法正确； 当长方形 ABCD 的周长为 60 时，即 2（2a+b+a+2b）60， 整理，得 a+b10， 四边形 GHWD 的面积为 100，长方形 ABCD 的面积大于 100，故的说法不正确 综上所述，正确的是： 故选：A 【点评】本题考查了长方形、正方形的周长和面积即等式的性质等知识点，掌握正方形的判定、长方形
22、的周长公式和正方形的面积公式是解决本题的关键 二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，共分，共 16 分）分） 9直接写出计算结果： （2ab2）3 8a3b6 【分析】利用积的乘方的法则对式子进行运算即可 【解答】解： （2ab2）3 23a3（b2）3 8a3b6 故答案为：8a3b6 【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握 10点 M（1，3）关于 x 轴对称的点的坐标是 （1，3） 【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答 【解答】解：点 M（1，3）关于 x 轴对称的点的坐标是（1，3） 故答案为： （1，3） 【点评】本题考
23、查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 11如果等腰三角形的一个底角是 80，那么顶角是 20 度 【分析】由已知等腰三角形的一个底角是 80，利用等腰三角形的性质得另一个底角也是 80，结合三角形内角和定理可求顶角的度数 【解答】解：三角形是等腰三角形， 两个底角相等， 等腰三角形的一个底角是 80， 另一个底角也是 80， 顶角的度数为 180808020 故填 20 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；借助三角形
24、的内角定理求解有关角的度数问题是一种很重要的方法，要熟练掌握 12分解因式：x26x+9 （x3）2 【分析】原式利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式（x3）2 故答案为： （x3）2 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 13如图，在ABC 中，C90，AD 平分CAB，CD1，AB4，则ABD 的面积是 2 【分析】直接利用角平分线的性质得出 D 到 AB 的距离，进而利用三角形面积求法得出答案 【解答】解：过点 D 作 DEAB 于点 E C90，AD 平分CAB，DEAB， DCDE1， AB4， SABDDEAB142 故答案为：2 【点评】
25、此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确得出 D 到 AB 的距离是解题关键 14已知（a+b）232，ab2，则 ab 7 【分析】由 ab2，得（ab）2a2+b22ab4由（a+b）232，得 a2+b2+2ab32，那么（a+b）2（ab）24ab28，从而解决此题 【解答】解：ab2， （ab）2a2+b22ab4 （a+b）232， a2+b2+2ab32 （a+b）2（ab）24ab28 ab7 故答案为：7 【点评】本题主要考查完全平方公式以及整式的加减运算，熟练掌握完全平方公式以及整式的加减运算法则是解决本题的关键 15如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 B
26、C 上（不与点 B，C 重合） 只需添加一个条件即可证明ABDACD，这个条件可以是 BDCD （写出一个即可） 【分析】由题意可得ABCACD，ABAC，即添加一组边对应相等，可证ABD 与ACD 全等 【解答】解：ABAC， ABDACD， 添加 BDCD， 在ABD 与ACD 中 ， ABDACD（SAS） ， 故答案为：BDCD 【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键 16如图，已知MON，在边 ON 上顺次取点 P1，P3，P5，在边 OM 上顺次取点 P2，P4，P6，使得OP1P1P2P2P3P3P4P4P5，得到等腰OP1P2，P1P2P3，P
27、2P3P4，P3P4P5 （1）若MON30，可以得到的最后一个等腰三角形是 P1P2P3 ； （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是P3P4P5，则MON 的度数 的取值范围是 1822.5 【分析】 （1）利用等腰三角形的性质求出OP2P3即可判断 （2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是P3P4P5，需要满足：P4P3P5490且MP4P5590，解不等式即可解决问题 【解答】解： （1）OP1P1P2P2P3， OP2P1O30， P2P1P3P2P3P160， OP2P390， P2P3P4不存在， 得到的最后一个等腰三角形是P1P2P3 故答案为P1P2P3 （2
28、）由题意要使得到的最后一个等腰三角形是P3P4P5， 需要满足：P4P3P5490且MP4P5590， 1822.5， 故答案为 1822.5 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 三、解答题（三、解答题（17，18 题每小题题每小题 12 分，分，19、20 题每题题每题 4 分，分，21 题题 5 分，分，22 题题 4 分，分，23 题题 3 分，分，24 题题 5 分，分，25 题题 4 分，分，26 题题 6 分，分，27 题题 7 分，共分，共 60 分）分） 17 （12 分）计算： （1）6x23xy （2） （3x+1） （x
29、2） （3） （6x49x3）3x2 （4） （x+2y）2 【分析】 （1）利用单项式乘以单项式计算法则进行计算； （2）利用多项式乘以多项式计算法则，再算加减即可； （3）多项式除以单项式计算法则进行计算，然后再计算减法即可； （4）利用完全平方公式计算即可 【解答】解： （1）6x23xy18x3y （2） （3x+1） （x2） 3x26x+x2 3x25x2 （3） （6x49x3）3x2 6x43x29x33x2 2x23x （4） （x+2y）2 x2+4y2+4xy 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺
30、序和有理数的混合运算顺序相似 18 （6 分）分解因式： （1）12xyz9x2y2； （2）a2m25m 【分析】 （1）直接提公因式 3xy 即可； （2）先提公因式 m，再应用平方差公式 【解答】解： （1）原式3xy（4z3xy） ； （2）原式m（a225）m（a+5） （a5） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键 19 （4 分）如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF，求证：ABDE 【分析】 证明它们所在的三角形全等即可 根据等式的性质可得 BCEF 运用 SSS 证明ABC 与DEF全等 【解答】证明
31、：BECF， BCEF， 在ABC 与DEF 中， ， ABCDEF（SSS） ， ABCDEF， ABDE 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等 20 （4 分）先化简，再求值： （2a+b） （2ab）4a（a3b） ，其中 a1，b2 【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，合并同类项，再把已知数据代入得出答案 【解答】解： （2a+b） （2ab）4a（a3b） ， 4a2b24a2+12ab b2+12ab， 当 a1，b2 时， 原式22+12（1）2 424 28 【点评】此题主要考
32、查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键 21 （5 分）在直角坐标系中，ABC 的三个顶点的位置如图所示 （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的ABC（其中 A，B，C分别是 A，B，C 的对应点，不写画法） ； （2）直接写出 A，B，C三点的坐标： （ 4，1 ） ，B（ 2，4 ） ，C（ 1，2 ） （3）点 Q 在坐标轴上，且满足BCQ 是等腰三角形，则所有符合条件的 Q 点有 10 个 【分析】 （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）关于 y 轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解
33、【解答】解： （1）如图 1： （2）由图可知 A（4，1） ，B（2，3） ，C（1，2） ， A 点关于 y 轴对称的点为（4，1） ，B 点关于 y 轴对称的点为（2，4） ，C 点关于 y 轴对称的点为（1，2） ， 故答案为： （4，1） ， （2，4） ， （1，2） ； （3）如图：以 B 为圆心，BC 长为半径做圆，此圆与坐标轴有 4 个交点， 以 C 为圆心，BC 长为半径做圆，此圆与坐标轴有 4 个交点， 作线段 BC 的垂直平分线，此线与坐标轴有 2 个交点， BCQ 是等腰三角形时，Q 点坐标有 10 个， 故答案为 10 【点评】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性
34、质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键 22 （4 分）如图，点 D、E 在ABC 的 BC 边上，ABAC，ADAE求证：BDCE 【分析】要证明线段相等，只要过点 A 作 BC 的垂线，利用三线合一得到 P 为 DE 及 BC 的中点，线段相减即可得证 【解答】证明：如图，过点 A 作 APBC 于 P ABAC， BPPC； ADAE， DPPE， BPDPPCPE， BDCE 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键 23如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点 M，N 表示大学，OA，OB
35、表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置 【解答】解： 则点 P 为所求 【点评】用到的知识点为：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 24 （5 分）如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，D 是 AC 边上一点，连接 BD，
36、ECAC，且 AEBD，AE 与 BC 交于点 F （1）求证：CEAD； （2）当 ADCF 时，求证：BD 平分ABC 【分析】 （1）根据 HL 证明 RtCAE 与 RtABD 全等，进而解答即可； （2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可 【解答】证明： （1）ECAC，BAC90， ACEBAC90， 在 RtCAE 与 RtABD 中， ， RtCAERtABD（HL） ， CEAD （2）由（1）得 RtCAERtABD， EACABD，EADB 由（1）得 CEAD， ADCF， CECF CFEE， CFEAFB， AFBE EADB， AFBADB， AGBEAC
37、+ADB，AGBDBC+AFB， EACDBC EACDBA， DBADBC， BD 平分ABC 【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据 HL 证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答 25 （4 分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于 x 的多项式 x22x+3，由于 x22x+3（x1）2+2，所以当 x1 取任意一对互为相反数的数时，多项式 x22x+3 的值是相等的例如，当 x11，即 x2 或 0 时，x22x+3 的值均为 3；当 x12，即 x3 或1 时，x22x+3的值均为 6于是小明给出一个定义： 对于关于 x 的多项式，若当 xt 取任意一对互
38、为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于xt 对称例如 x22x+3 关于 x1 对称 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式 x24x+6 关于 x 2 对称； （2）若关于 x 的多项式 x2+2ax+3 关于 x4 对称，求 a 的值； （3）整式（x2+8x+16） （x26x+9）关于 x 对称 【分析】 （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出 x2+2bx+3 的对称轴，令对称轴 x4 即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可 【解答】解： （1）x24x+6（x2）2+2， 则多项式关于 x2 对称， 故答案为：2； （
39、2）x2+2ax+3（x+a）2+3a2， 关于 x 的多项式 x2+2ax+3 关于 xa 对称， a4， a4； （3）原式（x+4）2（x3）2 （x+4） （x3）2 （x2+x12）2 （x+）22， 故关于 x对称， 故答案为： 【点评】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键 26 （6 分）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图 1，在ABC 中，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，且 AB+BDAC 求证：ABC2ACB 小明的方法是：如图 2，在 AC 上截取 AE，使 AEAB，连接 DE，构造全等三角形来证明结论 （1）小天提出
40、，如果把小明的方法叫做“截长法” ，那么还可以用“补短法”通过延长线段 AB 构造全等三角形进行证明辅助线的画法是：延长 AB 至 F，使 BF BD ，连接 DF 请补全小天提出的辅助线的画法，并在图 1 中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图 3，点 D 在ABC 的内部，AD，BD，CD 分别平分BAC，ABC，ACB，且 AB+BDAC求证：ABC2ACB 请你解答小芸提出的这个问题； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在ABC 中，ABC2ACB，点 D 在边 BC 上，AB
41、+BDAC，那么 AD 平分BAC 小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的请你利用图 4 对这个命题进行证明 【分析】 （1）延长 AB 至 F，使 BFBD，连接 DF，根据三角形的外角性质得到ABC2F，证明ADFADC，根据全等三角形的性质证明结论； （2）在 AC 上截取 AE，使 AEAB，连接 DE，证明ADBADE，根据全等三角形的性质证明结论； （3）延长 AB 至 G，使 BGBD，连接 DG，证明ADGADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明 【解答】证明： （1）延长 AB 至 F，使 BFBD，连接 DF， 则BDFF， ABCBDF+F2F， A
42、D 平分BAC BADCAD， AB+BDAC，BFBD， AFAC， 在ADF 和ADC 中， ， ADFADC（SAS） ， ACBF， ABC2ACB； （2）如图 3，在 AC 上截取 AE，使 AEAB，连接 DE， AD，BD，CD 分别平分BAC，ABC，ACB， DABDAE，DBADBC，DCADCB， AB+BDAC，AEAB， DBCE， 在ADB 和ADE 中， ， ADBADE（SAS） ， BDDE，ABDAED， DECE， EDCECD， AED2ECD， ABD2ECD， ABC2ACB； （3）如图 4，延长 AB 至 G，使 BGBD，连接 DG， 则BD
43、GAGD， ABCBDG+G2AGD， ABC2ACB， AGDACB， AB+BDAC，BGBD， AGAC， AGCACG， DGCDCG， DGDC， 在ADG 和ADC 中， ， ADGADC（SSS） ， DAGDAC，即 AD 平分BAC 【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 27 （7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M（3，0） ，且平行于 y 轴给出如下定义：点P（x，y）先关于 y 轴对称得点 P1，再将点 P1关于直线 l 对称得点 P，则称点 P是点 P 关于 y 轴和直线
44、l 的二次反射点 （1）已知 A（4，0） ，B（2，0） ，C（3，1） ，则它们关于 y 轴和直线 l 的二次反射点 A，B，C的坐标分别是 A（2，0） ，B（4，0） ，C（3，1） ； （2）若点 D 的坐标是（a，0） ，其中 a0，点 D 关于 y 轴和直线 l 的二次反射点是点 D，求线段 DD的长； （3）已知点 E（4，0） ，点 F（6，0） ，以线段 EF 为边在 x 轴上方作正方形 EFGH，若点 P（a，1） ，Q（a+1，1）关于 y 轴和直线 l 的二次反射点分别为 P，Q，且线段 PQ与正方形 EFGH 的边有公共点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据二
45、次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出 D（6+a，0） ，则可得出答案 （3）根据二次反射点的定义得出 P（6+a，1） ，Q（7+a，1） ，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案 【解答】解： （1）A（4，0） ， 点 A 关于 y 轴点的对称的坐标为（4，0） ， （4，0）关于直线 l 对称得点 A（2，0） ， 点 A（4，0）关于 y 轴和直线 l 的二次反射点 A（2，0） ； B（2，0） ， 点 B 关于 y 轴点的对称的坐标为（2，0） ， （2，0）关于直线 l 对称得点 B（4，0） ， 点 B（2，0）关于 y 轴和直线 l 的二
46、次反射点 B（4，0） ； C（3，1） ， 点 C 关于 y 轴点的对称的坐标为（3，1） ， （3，1）关于直线 l 对称得点 C（3，1） ， 点 C（3，1）关于 y 轴和直线 l 的二次反射点 C（3，1） ； 故答案为：A（2，0） ，B（4，0） ，C（3，1） ； （2）点 D 的坐标是（a，0） ，a0， 点 D 关于 y 轴对称的点的坐标为（a，0） ， （a，0）关于直线 l 对称得点 D（6+a，0） ， DD6+aa6 （3）点 P（a，1） ， 点 P（a，1）关于 y 轴和直线 l 的二次反射点为 P（6+a，1） ， Q（a+1，1） ， Q（a+1，1）关于 y 轴和直线 l 的二次反射点为 Q（7+a，1） ， 当 PQ与 EH 有公共点时， ， 3a2， 当 PQ与 FG 有公共点时， ， 1a0， 3a2 或1a0， 【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解
