1、2021-2022 学年北京市海淀区九校联考八年级上期中数学试卷学年北京市海淀区九校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 1冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届第 24 届冬奥会将于 2022年在北京和张家口举办 下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分， 其中是轴对称图形的为 （ ） A B C D 2已知一个正方形边长为 a+1，则该正方形的面积为（ ） Aa2+2a+1 Ba22a+1 Ca2+1 D2a+1 3已知等腰三角形两边的长分别为 3 和 7，则此等腰三角形的周长为（ ） A10 B15 C1
2、7 D19 4下列各式运算结果为 a9的是（ ） Aa6+a3 Ba3a3 C （a3）3 Da18a2 5如图，在ABC 中，ABAC，AD、CE 分别是ABC 的中线和角平分线若CAD20，则ACE的度数是（ ） A20 B35 C40 D70 6下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） Aa2b2 Bx2+（y）2 C （x）2+（y）2 Dm2+1 7如图，网格中的每个小正方形边长均为 1，ABC 的顶点均落在格点上，若点 A 的坐标为（2，1） ，则到ABC 三个顶点距离相等的点的坐标为（ ） A （0，1） B （1，0） C （0，0） D （1，1） 8如图，等腰ABC 中
3、，ABAC，BAC120，ADDC 于 D，点 O 是线段 AD 上一点，点 P 是 BA延长线上一点，若 OPOC，则下列结论：APO+DCO30；APODCO；POC 是等边三角形；ABOA+AP其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 9若（2x1）01，则 x 10若点 A（m，n）与点 B（3，2）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是 11若（x+m） （x2）的乘积中不含 x 的一次项，则 m 12如图，在ABC 中，ABAC，点 D，E 在边 BC 上，BADCAE，若 BC16，DE6，则 CE 的长为 13若关于
4、x 的代数式 x2+4mx+4 是完全平方式，则常数 m 14已知 a22a5，则代数式（a2）2+2（a+1）的值为 15如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，若 BD5，AD3，P 是直线 MN 上的任意点，则 PA+PC 的最小值是 16一个大正方形和四个全等的小正方形按图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用 a、b 的代数式表示） 三、解答题（共三、解答题（共 52 分）分） 17 （6 分）计算： （1）2x3y （3xy2） ； （2）（x+1） （x+2）2x； （3） （a+b+2c） （a+b2c） 18 （6 分）因
5、式分解： （1）2a3+6ab； （2）5x25y2； （3）3x2+6xy3y2 19 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的中点，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F求证：DEDF 20 （6 分）运用所学乘法公式等进行简便运算： （1） （0.125）11811； （2）9.92； （3） 21 （4 分）已知，求代数式（x1）2+x（x4）+（x+2） （x2）的值 22 （5 分）如图，在 22 的正方形格纸中，ABC 是以格点为顶点的三角形，也称为格点三角形，请你在该正方形格纸中画出与ABC 成轴对称的所有的格点三角形（用阴影表示） 23 （4 分）在等边A
6、BC 中，D 为 BC 上一点，BD2CD，DEAB 于点 E，CE 交 AD 于点 P，求APE的度数 24 （6 分）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说“数缺形时少直观，形缺数时难入微” 例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式 （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ； （2）解决问题：如果 a+b10，ab12，求 a2+b2的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8x）和（x2） ，且（8x）2+（x2）220，求这个长方形的面积 25 （5 分）我们规定：若实数 a 与 b 的
7、平方差等于 80，则称实数对（a，b）在平面直角坐标系中对应的点为“双曲点” ；若实数 a 与 b 的平方差等于 0，则称实数对（a，b）在平面直角坐标系中对应的点为“十字点” （1）若 P（a，b）为“双曲点” ，则 a，b 应满足的等量关系为 ； （2）在点 A（8，4） ，B（12，8） ，C（21，19） ，D（40，4）中，是“双曲点”的有 ； （3）若点 B（9，k）是“双曲点” ，求 k 的值； （4）若点 A（x，y）为“十字点” ，点 B（x+5y，5yx）是“双曲点” ，求 x，y 的值 26 （6 分）如图，点 C 是线段 AB 上一点，ACF 与BCE 都是等边三角形，
8、连接 AE，BF （1）求证：AEBF； （2）若点 M，N 分别是 AE，BF 的中点，连接 CM，MN，NC 依题意补全图形； 判断CMN 的形状，并证明你的结论 四、附加题： （共四、附加题： （共 20 分，每题分，每题 4 分）分） 27 （4 分）已知 a817，b279，c913，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cabc Dbca 28 （4 分）若实数 x 满足 x22x10，则 2x32x26x+2020 29 （4 分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 54，则该等腰三角形的底角的度数为 30 （4 分）如图，已知MON30，点 A1，A2，A3
9、，在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，在射线 OM 上，A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，均为等边三角形，若 OA1a，则A2B2A3的边长为 ，AnBnAn+1的边长为 31 （4 分）如图，在等边ABC 中，点 D 是边 BC 上一点，BAD（030） ，连接 AD作点 C关于直线 AD 的对称点为 E，连接 EB 并延长交直线 AD 于点 F （1）依题意补全图形，直接写出AFE 的度数； （2）直接写出线段 AF，BF，EF 之间的等量关系 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 1冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季
10、综合性运动会，每四年举办一届第 24 届冬奥会将于 2022年在北京和张家口举办 下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分， 其中是轴对称图形的为 （ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 2已知一个正方形边长为 a+1，则该正方形的面积为（ ） Aa2+2a+1 Ba22a+1 Ca2+1 D
11、2a+1 【分析】根据正方形的面积公式可求该正方形的面积，再根据完全平方公式计算即可求解 【解答】解：该正方形的面积为（a+1）2a2+2a+1 故选：A 【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式 3已知等腰三角形两边的长分别为 3 和 7，则此等腰三角形的周长为（ ） A10 B15 C17 D19 【分析】等腰三角形两边的长为 3 和 7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论 【解答】解：当腰是 3，底边是 7 时，3+37，不满足三角形的三边关系，因此舍去 当底边是 3，腰长是 7 时，3+77，能构成三角形，则其周长3+7+717 故选：
12、C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键 4下列各式运算结果为 a9的是（ ） Aa6+a3 Ba3a3 C （a3）3 Da18a2 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则解决此题 【解答】解：A根据合并同类项法则，a6+a3a9，那么 A 不符合题意 B根据同底数幂的乘法，a3a3a6，那么 B 不符合题意 C根据幂的乘方， （a3）3a9，那么 C 符合题意 D根据同底数幂的除法，a18a2a16，那么 D 不符合题意 故选：C 【点评
13、】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则是解决本题的关键 5如图，在ABC 中，ABAC，AD、CE 分别是ABC 的中线和角平分线若CAD20，则ACE的度数是（ ） A20 B35 C40 D70 【分析】根据等腰三角形的性质得到BADCAD20，ABCACB，根据三角形内角和定理求出ACB，根据角平分线的定义计算即可 【解答】解：ABAC，AD 是ABC 的中线， BADCAD20，ABCACB， ACB70， CE 是ABC 的角平分线， ACEACB35， 故选：B 【点评】本题考查的是等
14、腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键 6下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） Aa2b2 Bx2+（y）2 C （x）2+（y）2 Dm2+1 【分析】根据平方差公式的结构特征解决此题 【解答】解：A根据平方差公式的结构特征，a2b2不能用平方差公式进行因式分解，那么 A 不符合题意 B根据平方差公式的结构特征，x2+（y）2x2+y2不能用平方差公式进行因式分解，那么 B 不符合题意 C根据平方差公式的结构特征， （x）2+（y）2x2+y2不能用平方差公式进行因式分解，那么 C 不符合题意 D根据平方差公式的结构特征，m2
15、+1（m21）（m+1） （m1） ，m2+1 能用平方差公式进行因式分解，那么 D 符合题意 故选：D 【点评】本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键 7如图，网格中的每个小正方形边长均为 1，ABC 的顶点均落在格点上，若点 A 的坐标为（2，1） ，则到ABC 三个顶点距离相等的点的坐标为（ ） A （0，1） B （1，0） C （0，0） D （1，1） 【分析】到ABC 三个顶点距离相等的点是 AB 与 AC 的垂直平分线的交点，进而得出其坐标 【解答】解：平面直角坐标系如图所示，AB 与 AC 的垂直平分线的交点为点 O， 到ABC 三个顶点距离相等的
16、点的坐标为（0，0） ， 故选：C 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 8如图，等腰ABC 中，ABAC，BAC120，ADDC 于 D，点 O 是线段 AD 上一点，点 P 是 BA延长线上一点，若 OPOC，则下列结论：APO+DCO30；APODCO；POC 是等边三角形；ABOA+AP其中正确的是（ ） A B C D 【分析】利用等边对等角得：APOABO，DCODBO，则APO+DCOABO+DBOABD，据此即可求解； 因为点 O 是线段 AD 上一点，所以 BO 不一定是ABD 的角平分线，可作判断； 证明POC60且
17、OPOC，即可证得OPC 是等边三角形； 证明OPACPE，则 AOCE，得 ACAE+CEAO+AP 【解答】解：如图 1，连接 OB， ABAC，ADBC， BDCD，BADBAC12060， OBOC，ABC90BAD30 OPOC， OBOCOP， APOABO，DCODBO， APO+DCOABO+DBOABD30，故正确； 由知：APOABO，DCODBO， 点 O 是线段 AD 上一点， ABO 与DBO 不一定相等， 则APO 与DCO 不一定相等，故不正确； APC+DCP+PBC180， APC+DCP150， APO+DCO30， OPC+OCP120， POC180（O
18、PC+OCP）60， OPOC， OPC 是等边三角形，故正确； 如图 2，在 AC 上截取 AEPA， PAE180BAC60， APE 是等边三角形， PEAAPE60，PEPA， APO+OPE60， OPE+CPECPO60， APOCPE， OPCP， 在OPA 和CPE 中， ， OPACPE（SAS） ， AOCE， ACAE+CEAO+AP， ABAO+AP，故正确； 正确的结论有：， 故选：A 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共
19、24 分）分） 9若（2x1）01，则 x 【分析】直接利用零指数幂的定义得出答案 【解答】解：（2x1）01， 2x10， 解得：x 故答案为： 【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握相关定义是解题关键 10若点 A（m，n）与点 B（3，2）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是 5 【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此求出 m、n 的值，代入计算可得 【解答】解：点 A（m，n）与点 B（3，2）关于 y 轴对称， m3、n2， 所以 m+n3+25， 故答案为：5 【点评】 本题主要考查关于 x、 y 轴对称的点的坐标， 解题的关键是掌握两点关
20、于 y 轴对称， 纵坐标不变，横坐标互为相反数 11若（x+m） （x2）的乘积中不含 x 的一次项，则 m 2 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题 【解答】解： （x+m） （x2） x22x+mx2m x2+（m2）x2m （x+m） （x2）的乘积中不含 x 的一次项， m20 m2 故答案为：2 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键 12如图，在ABC 中，ABAC，点 D，E 在边 BC 上，BADCAE，若 BC16，DE6，则 CE 的长为 5 【分析】利用等腰三角形的性质和题目的已知条件 ASA 证得BADCAE 后即可
21、求得 CE 的长 【解答】解：ABAC， BC， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE（ASA） ， BDCE， BC16，DE6， BD+CE10， CE5 故答案为：5 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用已知和隐含条件证得三角形全等 13若关于 x 的代数式 x2+4mx+4 是完全平方式，则常数 m 1 【分析】根据 a22ab+b2（ab）2求出 m 的值 【解答】解：x24x+4（x2）2， x2+4mx+4 是完全平方式， 4x4mx， m1 故答案为：1 【点评】本题考查了完全平方式，掌握 a22ab+b2（ab）2的熟练应用，两种情况是求 m 值得关键
22、14已知 a22a5，则代数式（a2）2+2（a+1）的值为 11 【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则化简代数式，再代入求值 【解答】解： （a2）2+2（a+1） a24a+4+2a+2 a22a+6 a22a5， 原式5+611 故答案为：11 【点评】本题考查了代数式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式法则是解决本题的关键 15如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，若 BD5，AD3，P 是直线 MN 上的任意点，则 PA+PC 的最小值是 8 【分析】如图，连接 PB利用线段的垂直平分线的性质，可知 PCPB，推出 PA+PCPA+PBA
23、B，即可解决问题 【解答】解：如图，连接 PB MN 垂直平分线段 BC， PCPB， PA+PCPA+PB， PA+PBABBD+DA5+38， PA+PC8， PA+PC 的最小值为 8 故答案为：8 【点评】本题考查轴对称最短问题，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型 16一个大正方形和四个全等的小正方形按图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 ab （用 a、b 的代数式表示） 【分析】利用大正方形的面积减去 4 个小正方形的面积即可求解 【解答】解：设大正方形的边长为 x1，小正方形的边长为 x2，由
24、图和列出方程组得， 解得， 的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积（）24（）2ab 故答案为：ab 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键 三、解答题（共三、解答题（共 52 分）分） 17 （6 分）计算： （1）2x3y （3xy2） ； （2）（x+1） （x+2）2x； （3） （a+b+2c） （a+b2c） 【分析】 （1）根据单项式乘单项式的运算法则进行计算； （2）先利用多项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后算括号里面的，最后再算括号外面的； （3）将原式进行整理后利用乘法公式进行计算 【解答】解：原
25、式2（3）x3+1y1+2 6x4y3； （2）原式（x2+2x+x+22）x （x2+3x）x x+3； （3）原式（a+b）+2c（a+b）2c （a+b）2（2c）2 a2+2ab+b24c2 【点评】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（ab）2a22ab+b2和平方差公式（a+b） （ab）a2b2的结构是解题关键 18 （6 分）因式分解： （1）2a3+6ab； （2）5x25y2； （3）3x2+6xy3y2 【分析】 （1）直接提公因式 2a 即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式即可 【解答】解： （1）原式2a（a2+3
26、b） ； （2）原式5（x2y2） 5（x+y） （xy） ； （3）原式3（x22xy+y2） 3（xy）2 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提 19 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的中点，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F求证：DEDF 【分析】连接 AD，D 是 BC 的中点，那么 AD 就是等腰三角形 ABC 底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道 AD 也是BAC 的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么 DEDF 【解答】证明：如图，连接 AD ABAC，点 D
27、是 BC 边上的中点， AD 平分BAC， DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点 E 和 F DEDF 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键 20 （6 分）运用所学乘法公式等进行简便运算： （1） （0.125）11811； （2）9.92； （3） 【分析】 （1）根据积的乘方、有理数的乘方解决此题 （2）根据完全平方公式解决此题 （3）根据平方差公式解决此题 【解答】解： （1） （0.125）11811 （1）11 1 （2）9.92 （100.1）2 1022100.1+0.12 1002+0.01 98.01 （3） 502+1+50
28、21 5000 解法二：原式（512+25149+492）（51+49）250000 【点评】本题主要考查积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键 21 （4 分）已知，求代数式（x1）2+x（x4）+（x+2） （x2）的值 【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可 【解答】解： （x1）2+x（x4）+（x+2） （x2） x22x+1+x24x+x24 3x26x3， 当 x时，原式3（）26（）3+23 【点评】本题考查了整式的化简与求值，能正确根
29、据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序 22 （5 分）如图，在 22 的正方形格纸中，ABC 是以格点为顶点的三角形，也称为格点三角形，请你在该正方形格纸中画出与ABC 成轴对称的所有的格点三角形（用阴影表示） 【分析】根据轴对称图形的概念，结合网格作图即可 【解答】解：如图所示 【点评】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的概念 23 （4 分）在等边ABC 中，D 为 BC 上一点，BD2CD，DEAB 于点 E，CE 交 AD 于点 P，求APE的度数 【分析】如图，根据等边三角形的性质就可以得出BACB60，BCAC，再由直角三角形 BED中，30 度
30、所对的直角边等于斜边的一半得到 BD2BE，由 BD2CD，等量代换得到 BECD，利用 SAS得到三角形 BEC 与三角形 ADC 全等，利用全等三角形对应角相等得到BCEDAC，利用内角和定理及外角性质即可确定出所求角的度数 【解答】解：如图所示， ABC 为等边三角形， ABCACB60，ABACBC， DEAB， DEB90， 在 RtBDE 中，BDE30， BD2BE， BD2DC， BEDC， 在BEC 和CDA 中， ， BECCDA（SAS） ， BCECAD， ADC+BCEADC+CAD180ACB120， APC 为PDC 的外角， APCADC+BCE120， 则AP
31、E60 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 24 （6 分）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说“数缺形时少直观，形缺数时难入微” 例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式 （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： （a+b）2a2+2ab+b2 ； （2）解决问题：如果 a+b10，ab12，求 a2+b2的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8x）和（x2） ，且（8x）2+（x2）220，求这个长方形的面积 【分析】 （1）根据图形的
32、面积的两种不同计算方法得到完全平方公式； （2）根据完全平方公式变形即可求解； （3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论 【解答】解： （1）如图，写出一个我们熟悉的数学公式： （a+b）2a2+2ab+b2 故答案为： （a+b）2a2+2ab+b2； （2）a+b10，ab12， a2+b2（a+b）22ab1002476； （3）设 8xa，x2b， 长方形的两邻边分别是 8x，x2， a+b8x+x26， （8x）2+（x2）2a2+b2（a+b）22ab622ab20， ab8， 这个长方形的面积（8x） （x2）ab8 【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公
33、式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 25 （5 分）我们规定：若实数 a 与 b 的平方差等于 80，则称实数对（a，b）在平面直角坐标系中对应的点为“双曲点” ；若实数 a 与 b 的平方差等于 0，则称实数对（a，b）在平面直角坐标系中对应的点为“十字点” （1）若 P（a，b）为“双曲点” ，则 a，b 应满足的等量关系为 a2b280 ； （2）在点 A（8，4） ，B（12，8） ，C（21，19） ，D（40，4）中，是“双曲点”的有 B（12，8） ，C（21，19） ； （3）若点 B（9，k）是“双曲点” ，求 k 的值； （4）若点 A（x，y）为“十字点” ，点 B（x
34、+5y，5yx）是“双曲点” ，求 x，y 的值 【分析】 （1）根据题意解决此题 （2）根据定义判定 （3）根据“双曲点”定义，列出等式 92k280，从而解决此题 （4）根据“双曲点” 、 “十字点”定义，列出等式 x2y20， （x+5y）2（5yx）280，从而求得 x 与y 【解答】解： （1）由题意得：a2b280 故答案为：a2b280 （2）824248， （12）28280，212192（20+1）2（201）280，402421584， B（12，8） ，C（21，19）是“双曲点” 故答案为：B（12，8） ，C（21，19） （3）点 B（9，k）是“双曲点” ， 92
35、k280 k21 k1 （4）点 A（x，y）为“十字点” ，点 B（x+5y，5yx）是“双曲点” ， x2y20， （x+5y）2（5yx）280 x2y20，xy4 xy2 【点评】本题主要考查有理数的乘方、完全平方公式，熟练掌握有理数的乘方、完全平方公式是解决本题的关键 26 （6 分）如图，点 C 是线段 AB 上一点，ACF 与BCE 都是等边三角形，连接 AE，BF （1）求证：AEBF； （2）若点 M，N 分别是 AE，BF 的中点，连接 CM，MN，NC 依题意补全图形； 判断CMN 的形状，并证明你的结论 【分析】 （1）证明ACEFCB 可得证； （2）根据题干要求作图
36、； 由（1）可得CAMCN，AMFN，进而证明ACMFCN 可得证 【解答】 （1）证明：ACF 和BCE 是等边三角形， ACCF，ACF60，BCE60，BCCE， ACF+FCEBCE+FCE， ACEFCB， ACEFCB（SAS） ， AEBF； （2）如图， CMN 是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ACEFCB，AEBF， CAMCFN， M、N 分别是 AE 和 BF 的中点， AMAE，FNBF， AMFN， ACCF， ACMFCN（SAS） ， CMCN，ACMFCN， ACMFCMFCNFCM， MCNACF60， CMN 是等边三角形 【点评】本题考查了等边三角
37、形的性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是掌握基础知识及第二问的证明用到第一问的结论 四、附加题： （共四、附加题： （共 20 分，每题分，每题 4 分）分） 27 （4 分）已知 a817，b279，c913，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cabc Dbca 【分析】根据幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系解决此题 【解答】解：a817，b279，c913， a（34）7328，b（33）9327，c（32）13326 又328327326， abc 故选：A 【点评】本题主要考查幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方、有理数的乘方
38、、有理数的大小关系是解决本题的关键 28 （4 分）若实数 x 满足 x22x10，则 2x32x26x+2020 2022 【分析】先将 x22x+1，x22x1，再代入计算可求解 【解答】解：x22x10， x22x+1，x22x1， 原式2xx22x26x+2020 2x（2x+1）2x26x+2020 4x2+2x2x26x+2020 2x24x+2020 2（x22x）+2020 21+2020 2022 【点评】本题主要考查因式分解的应用，整体代入是解题的关键 29（4分） 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为54， 则该等腰三角形的底角的度数为 72或18 【分析】在等腰ABC
39、中，ABAC，BD 为腰 AC 上的高，ABD54，讨论：当 BD 在ABC 内部时，如图 1，先计算出BAD36，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出ACB；当 BD在ABC 外部时，如图 2，先计算出BAD36，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出ACB 【解答】解：在等腰ABC 中，ABAC，BD 为腰 AC 上的高，ABD54， 当 BD 在ABC 内部时，如图 1， BD 为高， ADB90， BAD905436， ABAC， ABCACB（18036）72； 当 BD 在ABC 外部时，如图 2， BD 为高， ADB90， BAD905436， ABAC， AB
40、CACB， 而BADABC+ACB， ACBBAD18， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为 72或 18 故答案为：72或 18 【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 30 （4 分）如图，已知MON30，点 A1，A2，A3，在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，在射线 OM 上，A1B1A2， A2B2A3， A3B3A4， 均为等边三角形， 若 OA1a， 则A2B2A3的边长为 4a ， AnBnAn+1的边长为 2n1a 【分析】利用等边三角形的性质得到A1OB1A1B1O3
41、0，OA1A1B1A2B1a，利用同样的方法得到 A2OA2B22a21a，A3B3A3O2A2O422a，利用此规律即可得到 AnBn2n1a 【解答】解：A1B1A2为等边三角形，MON30， A1OB1A1B1O30，OA1A1B1A2B1a， 同理：A2OA2B2221a， A3B3A3O2A2O4a22a， . 以此类推可得AnBnAn+1的边长为 AnBn2n1a 故答案为：4a；2n1a 【点评】 本题考查规律型： 图形的变化类， 等边三角形的性质， 解题关键是掌握三角形边长的变化规律 31 （4 分）如图，在等边ABC 中，点 D 是边 BC 上一点，BAD（030） ，连接
42、AD作点 C关于直线 AD 的对称点为 E，连接 EB 并延长交直线 AD 于点 F （1）依题意补全图形，直接写出AFE 的度数； （2）直接写出线段 AF，BF，EF 之间的等量关系 【分析】 （1）根据要求作出图形，利用轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理求解即可 （2）结论：AFEF+BF如图 2 中，连接 CF，在 FA 上取一点 J，使得 FJFC，连接 CJ，证明BCFACJ（SAS） ，可得结论 【解答】解： （1）图形如图 1 所示： 连接 AE ABC 是等边三角形， BAC60，ABAC， BAD， CAD60， E，C 关于 AD 对称， DAEDAC60，
43、AEACAB EAB602， EABE（18060+2）60+， ABEAFE+BAD， AFE60 （2）结论：AFBF+EF 理由：如图 2 中，连接 CF，在 FA 上取一点 J，使得 FJFC，连接 CJ E，C 关于 AF 对称， AFCAFE60，EFCF， FJFC， CFJ 是等边三角形， CFCJ，FCJ60， ABC 是等边三角形， ACB60，CBCA， ACBFCJ， BCFACJ， 在BCF 和ACJ 中， ， BCFACJ（SAS） ， BFAJ， AFFJ+AJEF+BF 【点评】考查了作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
