1、2021-2022 学年北京市朝阳区五校联考高一上期中数学试卷学年北京市朝阳区五校联考高一上期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知集合 A1，0，1，集合 BxN|x21，那么 AB（ ） A1 B0，1 C1，1 D1，0，1 2若 p：x（0，+） ，x+2，则p 为（ ） A B C D 3已知 a，b，cR，且 ab，则下列不等式一定成立的是（ ） Aa2b2 B Ca|c|b|c| Dcacb 4下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） Ayx+1 Byx3 C Dyx|x| 5已知正数 a、b 满足 a
2、+b1，则有（ ） A最小值 B最小值 C最大值 D最大值 6若 a20.5，b20.6，c0.62，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Cacb Dcab 7已知函数 f（x）x22ax，则“a0”是“函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ） A B C D 9手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比” ，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0，
3、1） 之间 设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量， 升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化（ ） A “屏占比”不变 B “屏占比”变小 C “屏占比”变大 D变化不确定 10对实数 a 与 b，定义新运算“” ：设函数 f（x）（x22）（xx2） ，xR若函数 yf（x）c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11幂函数 yf（x）的图象过点，则 f（9） 12计算 13已知 f（x）是定义在 R 上的减函数，那么
4、 a 的取值范围是 14 已知函数 yf （x） ， xR， 且 f （0） 3，2， ，则 f（2） ；f（x）的一个解析式可以是 15设定义在 R 上的函数 f（x）满足： （1）当 m，nR 时，f（m+n）f（m） f（n） ； （2）f（0）0； （3）当 x0 时，f（x）1 则在下列结论中： f（a） f（a）1； f（x）在 R 上是递减函数； 存在 x0，使 f（x0）1； 若，则， 其中正确结论的命题为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分）分） 16 （14 分）已知集合 Ax|x25x60，Bx|m2xm （）若 m0，全集 UAB，求UB； （
5、）从条件和条件选择一个作为已知，求实数 m 的取值范围 条件：若 ABA； 条件：若 AB 17 （14 分）已知函数 （）用函数单调性的定义证明 f（x）在区间（0，+）上是增函数； （）解不等式 18 （14 分）已知函数 f（x）ax2+x 定义在区间0，2上，其中 a2，0 （）若 a1，求 f（x）的最小值； （）求 f（x）的最大值 19 （14 分）已知定义域为 R 的单调减函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）2x （）求 f（0）的值； （）求 f（x）的解析式； （）若对任意的 tR，不等式 f（t22t）+f（2t2k）0 恒成立，求实数 k 的取值范围 20 （
6、14 分）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价 2 万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支 3600 元后，逐步偿还转让费（不计息） 在甲提供的资料中，有：这种消费品进价每件 14 元；该店月销量 Q（百件）与销售价格 p（元）的关系如图；每月需要各种开支 2000 元 （）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？ （）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额 （）若乙只依靠该店，能否在 3 年内脱贫（偿还完转让费）？ 21 （15 分）已知 f（x）的定义域为 R，且满足对于任意
7、 x，yR，都有 f（x+y）f（x）+f（y） ，且当 x0时，f（x）0，且 f（1）3； （1）求 f（0）与 f（3） ； （2）判断 f（x）的奇偶性； （3）判断 f（x）的单调性； （4）解不等式 f（x2+1）+f（x）9 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知集合 A1，0，1，集合 BxN|x21，那么 AB（ ） A1 B0，1 C1，1 D1，0，1 【分析】可求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：A1，0，1，B1， AB1 故选：A 【点评】本题考查了列
8、举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题 2若 p：x（0，+） ，x+2，则p 为（ ） A B C D 【分析】根据含有量词的命题的否定进行分析求解，即可得到答案 【解答】解：因为 p：x（0，+） ，x+2， 所以p 为 故选：A 【点评】本题考查了命题的否定，主要考查的是含有一个量词的命题的否定，要注意改变量词，然后再否定结论 3已知 a，b，cR，且 ab，则下列不等式一定成立的是（ ） Aa2b2 B Ca|c|b|c| Dcacb 【分析】根据条件取 a1，b1，c0，即可排除错误选项；由不等式的基本性质，即可判断 D 【解答】解：由 a，b，cR，且 ab，
9、取 a1，b1，c0，则选项 ABC 错误 由 ab，得ab，cacb 成立，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题 4下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） Ayx+1 Byx3 C Dyx|x| 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论 【解答】解：由于函数 yx+1 是非奇非偶函数，故排除 A； 由于 yx3是奇函数，且在 R 上是减函数，故排除 B； 由于 y在（，0）（0，+）上不具有单调性，故排除 C； A，B，C 都不对， 对于 D，y，故函数在 R 上递增且为奇函数； 故选：D 【点评】本题主要考查函数的单
10、调性和奇偶性，属于基础题 5已知正数 a、b 满足 a+b1，则有（ ） A最小值 B最小值 C最大值 D最大值 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解 【解答】解：因为正数 a、b 满足 a+b1， 则，当且仅当 ab 时取等号，即有最大值， 故选：C 【点评】本题主要考查了基本不等式的简单应用，属于基础试题 6若 a20.5，b20.6，c0.62，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Cacb Dcab 【分析】根据指数函数的单调性，判断 a、b、c 与 1 的大小 【解答】解：因为函数 y2x是单调增函数，且 00.50.6， 所以 12020.520.6，即 1a
11、b； 又函数 y0.6x是单调减函数，且 20， 所以 0.620.601，即 c1； 所以 cab 故选：D 【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题 7已知函数 f（x）x22ax，则“a0”是“函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，该函数开口向上，在对称轴右侧单调递增，结合充分条件必要条件的定义进行判定即可 【解答】解：f（x）x22ax（xa）2a2，开口向上，对称轴为 xa， 函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增，则 a0，
12、“a0”能推出“函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增” ， 但“函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增”不能推出 a0，a 有可能等于 0， 故“a0”是“函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，解题的关键是弄清二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关 8如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ） A B C D 【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧
13、，结合所给的选项得出结论 【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图， 可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧， 结合所给的选项， 故选：C 【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题 9手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比” ，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0， 1） 之间 设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量， 升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化（ ） A “屏占比”不变 B “屏占比”变小 C “屏占比”变大 D变化不确定
14、 【分析】设原来手机屏幕面积为 b，整机面积为 a，则屏占比（ab） ，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为 m（0m1） ，升级后屏占比，作差得答案 【解答】解：设原来手机屏幕面积为 b，整机面积为 a，则屏占比（ab） ， 设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为 m（0m1） ， 升级后屏占比， ab，0， 即该手机“屏占比”和升级前比变大 故选：C 【点评】 本题考查合情推理和不等式知识的联系 本题考查函数模型的选择及应用， 考查不等式的性质，属于基础题 10对实数 a 与 b，定义新运算“” ：设函数 f（x）（x22）（xx2） ，xR若函数 yf（x）c 的图象与
15、 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】根据定义的运算法则化简函数 f（x）（x22）（xx2）的解析式，并求出 f（x）的取值范围，函数 yf（x）c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 yf（x） ，yc 图象的交点问题，结合图象求得实数 c 的取值范围 【解答】解：， 函数 f（x）（x22）（xx2）， 由图可知，当 c 函数 f（x） 与 yc 的图象有两个公共点， c 的取值范围是 ， 故选：B 【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想属于基础题 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题
16、5 分，共分，共 25 分）分） 11幂函数 yf（x）的图象过点，则 f（9） 3 【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案 【解答】解：设幂函数 f（x）x（ 为常数） ， 幂函数 yf（x）的图象过点（8，2） ， 28，解得 ， f（x） f（9）3 故答案为：3 【点评】正确理解幂函数的定义是解题的关键，本题是一道基础题 12计算 【分析】利用分数指数幂的运算性质求解即可 【解答】解：原式 故答案为： 【点评】本题考查了分数指数幂的化简求值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题 13已知 f（x）是定义在 R 上的减函数，那么 a 的取值范围是 ，） 【分析】由题
17、意可得 ，由此求得 a 的取值范围 【解答】解：由于 f（x）是定义在 R 上的减函数， 求得a， 故答案为：，） 【点评】本题主要求函数的单调性的性质，属于基础题 14 已知函数 yf （x） ， xR， 且 f （0） 3，2， ，则 f（2） 48 ；f（x）的一个解析式可以是 f（x）34x 【分析】由题可知2n，从而推出 f（0.5n）32n，再根据换元法，即可求得 f（x）解析式及 f（2） 【解答】解：由2， 可得2n， 因为 f（0）3， 所以 f（0.5n）32n， 令 x0.5n，则 n2x， 所以 f（x）322x34x， 所以 f（2）48 故答案为：48；f（x）34
18、x 【点评】本题考查函数解析式的求法，熟练掌握换元法和指数的运算法则是解题的关键，考查学生的分析能力和运算求解能力，属于中档题 15设定义在 R 上的函数 f（x）满足： （1）当 m，nR 时，f（m+n）f（m） f（n） ； （2）f（0）0； （3）当 x0 时，f（x）1 则在下列结论中： f（a） f（a）1； f（x）在 R 上是递减函数； 存在 x0，使 f（x0）1； 若，则， 其中正确结论的命题为 【分析】令 xy0，结合 f（0）0 可得 f（0）1，由此可计算；用单调性的定义可证明；因为f（0）1，当 x0 时，f（x）1，又由可知 f（x）在 R 上是递减函数；所以存
19、在 x0，使 f（x0）1，故正确；中结合函数单调性可发现矛盾，故可判断错误 【解答】解：令 xy0，则 f（0+0）f（0） f（0）f（0） ， 因为 f（0）0，所以 f（0）1， 当 mn 时，f（2m）f（m） f（m）f（m）20 因为 f（a） f（a）f（aa）f（0）1，所以正确； 设 x1x2， 则 f（x1）f（x2）f（x1x2+x2）f（x2）f（x1x2）f（x2）f（x2）f（x2）f（x1x2）1， 因为 x1x2， 所以 x1x20， 所以 f（x1x2）1， 所以 f（x2）0，f（x1x2）10 所以 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ，
20、所以 f（x）在 R 上是递减函数，所以正确； ，因为 f（0）1，当 x0 时，f（x）1， 又由可知 f（x）在 R 上是递减函数； 所以存在 x0，使 f（x0）1，故正确； 由可知，f（x）在 R 上是递减函数， 所以 f（2）应该小于 f（） ，故错误， 故答案为： 【点评】本题考查了抽象函数及其应用，命题的真假判断，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分）分） 16 （14 分）已知集合 Ax|x25x60，Bx|m2xm （）若 m0，全集 UAB，求UB； （）从条件和条件选择一个作为已知，求实数 m 的取值范围 条件：若 ABA； 条件：若
21、AB 【分析】 （）先求出集合 A，B，然后由并集的定义求出 U，再利用补集的定义求解即可； （）若选条件：利用 ABA，可得 BA，然后由集合子集的定义求解即可； 若选条件：AB，由集合交集以及空集的定义列式求解即可 【解答】解： （）当 m0 时，Bx|m2xm2x0， 又 Ax|x25x60 x|1x6， 所以 UABx|2x6， 故UBx|0 x6； （）若选条件：由 ABA，可得 BA， 则，解得 1m6， 故 m 的取值范围为1，6 若选条件： 由 AB，则 m1 或 m26， 解得 m1 或 m8， 故 m 的取值范围为（，18，+） 【点评】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌
22、握集合交集、补集、并集、子集的定义，属于基础题 17 （14 分）已知函数 （）用函数单调性的定义证明 f（x）在区间（0，+）上是增函数； （）解不等式 【分析】 （）任取 x1，x2（0，+） ，令 x1x2，作差 f（x1）f（x2）整理，只需得到 f（x1）f（x2）0，即可得证； （）将不等式整理为 t（2t2t2）0，序轴标根法可得不等式解集 【解答】 （）证明：任取 x1，x2（0，+） ，令 x1x2， 则 f（x1）f（x2）（x1）（x2）（x1x2） （1+） ， 因为 x1，x2（0，+） ，且 x1x2， 所以 x1x20，1+0， 所以 f（x1）f（x2）0， 即
23、 f（x1）f（x2） ， 所以 f（x）在区间（0，+）上是增函数； （）因为 f（x）x， 所以 f（t）， 即 t， 整理得， 等价于 t（2t2t2）0， 解得或 t， 所以不等式的解集为（，0）（，+） 【点评】本题考查了定义法证明函数单调性，高次不等式的解法，属于中档题 18 （14 分）已知函数 f（x）ax2+x 定义在区间0，2上，其中 a2，0 （）若 a1，求 f（x）的最小值； （）求 f（x）的最大值 【分析】 （）根据题意，将 a1 代入函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得 f（x）在区间上单调递增，在上 f（x）单调递减，分析可得答案； （）根据题意，按 a
24、的取值范围分情况讨论，求出函数的最大值，综合即可得答案 【解答】解： （）根据题意，当 a1 时，； 所以 f（x）在区间上单调递增，在上 f（x）单调递减 因为 f（0）0，f（2）2， 所以 f（x）的最小值为2 （）当 a0 时，f（x）x 所以 f（x）在区间0，2上单调递增， 所以 f（x）的最大值为 f（2）2 当2a0 时，函数 f（x）ax2+x 图象的对称轴方程是 当，即时，f（x）的最大值为 当时，f（x）在区间0，2上单调递增， 所以 f（x）的最大值为 f（2）4a+2 综上，当时，f（x）的最大值为； 当时，f（x）的最大值为 4a+2 【点评】本题考查二次函数的性质
25、以及函数的最值，注意结合函数的单调性进行讨论 19 （14 分）已知定义域为 R 的单调减函数 f（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）2x （）求 f（0）的值； （）求 f（x）的解析式； （）若对任意的 tR，不等式 f（t22t）+f（2t2k）0 恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （）利用定义域为 R 的函数 f（x）是奇函数，求 f（0）的值； （）求出 x0 的解析式，即可求 f（x）的解析式； （）若对任意的 tR，不等式 f（t22t）+f（2t2k）0 恒成立，f（x）在 R 上是减函数，所以 t22tk2t2即 3t22tk0 对任意 tR 恒成立，即可求实数 k
26、 的取值范围 【解答】解： （）因为定义域为 R 的函数 f（x）是奇函数， 所以 f（0）0 （2 分） （）因为当 x0 时，x0， 所以 又因为函数 f（x）是奇函数，所以 f（x）f（x） 所以 综上，（6 分） （）由 f（t22t）+f（2t2k）0 得 f（t22t）f（2t2k） 因为 f（x）是奇函数，所以 f（t22t）f（k2t2） 又 f（x）在 R 上是减函数，所以 t22tk2t2 即 3t22tk0 对任意 tR 恒成立 方法一令 3t22tk0，则4+12k0由0，解得 方法二即 k3t22t 对任意 tR 恒成立令 g（t）3t22t，tR 则 故实数 k 的
27、取值范围为 （10 分） 【点评】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题 20 （14 分）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价 2 万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支 3600 元后，逐步偿还转让费（不计息） 在甲提供的资料中，有：这种消费品进价每件 14 元；该店月销量 Q（百件）与销售价格 p（元）的关系如图；每月需要各种开支 2000 元 （）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？ （）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生
28、活费的余额最大，并求最大余额 （）若乙只依靠该店，能否在 3 年内脱贫（偿还完转让费）？ 【分析】 （） 利用该店经营的利润只能保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支以及每月所需的各种开支，据此列出方程，即可确定商品的价格； （）设月利润和除职工最低生活费的余额为 L，列出 L 与售价 P 的函数关系式，根据函数的性质求出L 取最大值时自变量 P 的值，即可确定商品的价格； （）企业乙脱贫即还清 2 万元的转让价格，要求最早脱贫时间，由（2）中 P 的值，根据题意设可在 n年后脱贫，则此 n 年经营的利润20000，求出 n 的最小值即可 【解答】解： （）根据图象，当 14P20 时，
29、设 QkP+b， 将点（14，22）和（20，10）代入， 则有，解得， 则 Q2P+50； 当 20P26 时，设 QmP+n， 将点（20，10）和（26，1）代入， 则有，解得， 所以 Q1.5P+40； 则， 若商品的价格应定为 P 元时，该店刚好能够维持职工生活， 则有 100（P14）Q3600+2000，分两种情况： 第一种：当 14P20 时，即 100（P14） （2P+50）3600+2000，解得 P118，P221（舍） ； 第二种：当 20P26 时，即 100（P14） （1.5P+40）3600+2000，解得 P122，（舍） ， 故为使该店至少能够维持乙的生活
30、，商品价格应控制在18，22元范围内； （）设月利润和除职工最低生活费的余额为 L， 则 L100（P14）Q2000，分两种情况： 第一种：当 14P20 时，即 100（P14） （2P+50）2000200P2+7800P72000， 则当时，L 有最大值， 此时 L4050； 第二种：当 20P26 时，即 100（P14） （1.5P+40）2000150P2+6100P58000， 则当时，L 有最大值， 此时 L4016， 因为 40504016， 所以当 P19.5 元时，月利润扣除最低生活费的余额最大为 4050 元； （）可设在 n 年后脱贫， 由题意可得 12n（4050
31、3600）20000，解得 n3.7， 故乙只依靠该店，不能在 3 年内脱贫 【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，要求学生能够从图象上准确地获取信息，解题的关键是正确理解题意，构建数学模型，属于中档题 21 （15 分）已知 f（x）的定义域为 R，且满足对于任意 x，yR，都有 f（x+y）f（x）+f（y） ，且当 x0时，f（x）0，且 f（1）3； （1）求 f（0）与 f（3） ； （2）判断 f（x）的奇偶性； （3）判断 f（x）的单调性； （4）解不等式 f（x2+1）+f（x）9 【分析】 （1）利用赋值法即可求 f（0）与
32、 f（3） ； （2）根据函数 f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论； （3）根据函数单调性的定义即可判断 f（x）的单调性； （4） 将不等式 f （x2+1） +f （x） 9 进行等价转化， 结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论 【解答】解： （1）令 y0，则由条件得 f（x+0）f（x）+f（0） ，即 f（0）0， 当 xy1 时，f（2）f（1）+f（1）2f（1）2（3）6， f（3）f（1+2）f（1）+f（2）369； （2）f（0）0，令 yx，得 f（xx）f（x）+f（x）f（0）0， 即 f（x）f（x） ，则 f（x）是奇函数； （3）设 x1x2，则设 x2x10，此时 f（x2x1）0， 即 f（x2x1）f（x2）+f（x1）0， 即 f（x2）f（x1）0，则 f（x2）f（x1） ， 即 f（x）的单调递减； （4）不等式 f（x2+1）+f（x）9 等价为 f（x2+1）+f（x）f（3） ， 即 f（x2+1+x）f（3） ， 函数 f（x）的单调递减， x2+1+x3，即 x2+x20， 解得 x1 或 x2， 即不等式的解集为x|x1 或 x2 【点评】 本题主要考查抽象函数的应用， 利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键
