1、2021-2022 学年北京市东城区东三校联考高一上期中数学试卷学年北京市东城区东三校联考高一上期中数学试卷 一、单项选择题：共一、单项选择题：共 17 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 68 分分 1已知 a，b，cR，且 ab，则下列不等式中一定成立的是（ ） Aacbc Ba+cb+c C Dac2bc2 2命题“xR，都有 x2+x+10”的否定是（ ） A不存在 xR，x2+x+10 B存在 x0R，x02+x0+10 C存在 x0R，x02+x0+10 D对任意的 xR，x2+x+10 3对于实数 x， “1x0”是“x1”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要
2、 D既不充分也不必要 4已知 x1，函数 yx+的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 5不等式0 的解集为（ ） A （1，5） B1，5 C （，1）（5，+） D （，15，+） 6若幂函数 yf（x）的图象经过点（2，4） ，则该幂函数的解析式为（ ） Ay2x By2x Cy4x1 Dyx2 7已知函数 f（x1）2x3，则 f（3）（ ） A1 B2 C4 D5 8定义域均为 R 的两个函数 f（x） ，g（x） ， “f（x）+g（x）为偶函数”是“f（x） ，g（x）均为偶函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9若偶函数
3、f（x）在1，3上为增函数，且有最小值 0，则它在3，1上（ ） A是减函数，有最小值 0 B是增函数，有最小值 0 C是减函数，有最大值 0 D是增函数，有最大值 0 10函数 f（x）2x（ ） A有最小值 2，无最大值 B有最大值 2，无最小值 C有最小值，有最大值 2 D无最大值，也无最小值 11若函数 f（x）为奇函数，则 a（ ） A B C D1 12已知函数 f（x）x5+ax3bx8 且 f（2）10，则 f（2）（ ） A18 B26 C10 D无法计算 13若函数 f（x）的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ） A0，4） B0，2） C （0，4） D （2，4
4、 14已知函数 f（x），则该函数的单调递增区间为（ ） A （，1 B3，+） C （，1 D1，+） 15为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体 A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区 ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成规划核心喷泉区的 ABCD 面积为 1000m2，绿化带的宽分别为 2m 和 5m（如图所示） 当整个项目占地面积 A1B1C1D1最小时，则核心喷泉区 BC 的长度为（ ） A20m B50m C D100m 16若 f（
5、x）是定义在（，+）上的减函数，则 a 的取值范围是（ ） A，） B （， C （0，） D （， 17已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，且满足 f（x+1）为偶函数，若 f（1）1，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2021）（ ） A2019 B1 C0 D2021 二、填空题：共二、填空题：共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分。分。 18已知集合 A0，m，m23m+2，且 2A，求实数 m 的值 19若不等式 x2ax+b0 的解集是x|2x3，则 a+b 的值是 20设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x2x则 f（1）
6、 21若函数 f（x）的定义域为1，4，则函数 f（2x1）的定义域为 22设函数 yf（x）是定义在1，1上的偶函数，且 f（x）在0，1上单调递减，若 f（1a）f（a） ，则实数 a 的取值范围是 23已知函数 f（x），若 f（m）5，则实数 m 的取值范围是 24若x1，4，axx24 恒成立，则实数 a 的取值范围为 25 已知函数f （x） 若c0， 则f （x） 的值域是 ； 若f （x） 的值域是，则实数 c 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 5 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 50 分。分。 26 （10 分）已知集合 Ax|12x17，函数 f（x
7、）的定义域为集合 B （1）求 AB； （2）求R（AB） ； （3）若 Mx|xm，求 MBR 时 m 的取值范围 27 （10 分）已知函数 f（x）x22|x| （1）用分段函数的形式表示函数 f（x） ，并作出函数 f（x）的草图 （2）结合图象列出它的单调递增区间； （3）若方程 f（x）m 有 4 个不等的实数根，求实数 m 的取值范围 28 （10 分）已知函数 f（x），且 f（1）2 （1）判断并证明函数 f（x）在其定义域上的奇偶性； （2）证明函数 f（x）在（1，+）上是增函数； （3）求函数 f（x）在区间2，5上的最大值与最小值 29 （10 分）解关于 x 的不等
8、式 mx2+（1m）x+m2m1（mR） 30 （10 分）已知定义在（，0）（0，+）上的函数 f（x）满足：x，y（，0）（0，+） ，f（xy）f（x）+f（y） ；当 x1 时，f（x0） ，且 f（2）1 （1）试判断函数 f（x）的奇偶性； （2）判断函数 f（x）在（0，+）上的单调性； （3）求函数 f（x）在区间4，0）（0，4上的最大值； （4）求不等式 f（3x2）+f（x）4 的解集 参考答案解析参考答案解析 一、单项选择题：共一、单项选择题：共 17 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 68 分分 1已知 a，b，cR，且 ab，则下列不等式中一定成立的是（
9、） Aacbc Ba+cb+c C Dac2bc2 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解 【解答】解：对于 A，当 c0 时，acbc，故 A 错误， 对于 B，ab， a+cb+c，故 B 正确， 对于 C，令 a1，b1，满足 ab，但，故 C 错误， 对于 D，当 c0 时，ac2bc2，故 D 错误 故选：B 【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题 2命题“xR，都有 x2+x+10”的否定是（ ） A不存在 xR，x2+x+10 B存在 x0R，x02+x0+10 C存在 x0R，x02+x0+10 D对任意的 xR，x2
10、+x+10 【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可 【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 则命题“xR，都有 x2+x+10”的否定是：存在 x0R，x02+x0+10 故选：C 【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题 3对于实数 x， “1x0”是“x1”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 【分析】利用充要条件的定义即可判断 【解答】解：由1x0，能推出 x1，所以1x0 是 x1 的充分条件， 由 x1，不能推出1x0，所以1x0
11、是 x1 的不必要条件， 故1x0 是 x1 的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题考查了充要条件的判断，属于基础题 4已知 x1，函数 yx+的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】由 x1 可得 x10，从而 yx+x1+1，进一步即可利用基本不等式进行求解 【解答】解：由 x1，得 x10，所以 yx+x1+12+13， 当且仅当 x1，即 x2 时等号成立， 所以 yx+的最小值为 3 故选：A 【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题 5不等式0 的解集为（ ） A （1，5） B1，5 C （，1）（5，+） D （，15，+）
12、 【分析】根据题意，不等式变形可得（x5） （x+1）0，解可得答案 【解答】解：根据题意，0（x5） （x+1）0， 解可得：x1 或 x5， 即不等式的解集为（，1）（5，+） ； 故选：C 【点评】本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式变形为整式不等式，属于基础题 6若幂函数 yf（x）的图象经过点（2，4） ，则该幂函数的解析式为（ ） Ay2x By2x Cy4x1 Dyx2 【分析】设幂函数 yf（x）x，代入点的坐标求出函数的解析式 【解答】解：设幂函数 yf（x）x，R， 其图象过点（2，4） ，则 24，解得 2， 所以该幂函数的解析式为 yf（x）x2 故选：D 【点评
13、】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题 7已知函数 f（x1）2x3，则 f（3）（ ） A1 B2 C4 D5 【分析】由 f（3）f（41） ，利用函数 f（x1）2x3 能求出结果 【解答】解：函数 f（x1）2x3， f（3）f（41）2435 故选：D 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 8定义域均为 R 的两个函数 f（x） ，g（x） ， “f（x）+g（x）为偶函数”是“f（x） ，g（x）均为偶函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行
14、结合函数奇偶性的定义进行判断即可 【解答】解：若“f（x） ，g（x）均为偶函数“，则有 f（x）f（x） ，g（x）g（x） ， 所以 h（x）f（x）+g（x）f（x）+g（x）h（x） ， 所以“h（x）为偶函数“， 反之取 f（x）x2+x，g（x）2x，h（x）x2+2 是偶函数，而 f（x） ，g（x）均不是偶函数， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数的奇偶性的性质是解决本题的关键 9若偶函数 f（x）在1，3上为增函数，且有最小值 0，则它在3，1上（ ） A是减函数，有最小值 0 B是增函数，有最小值 0 C是减函数，有最大值 0 D是增函数，有最
15、大值 0 【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论 【解答】解：偶函数 f（x）在1，3上为增函数，且有最小值 0， 函数 f（x）在3，1上为减函数，且有最小值 0， 故选：A 【点评】本题主要考查函数单调性和最值的判断，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键 10函数 f（x）2x（ ） A有最小值 2，无最大值 B有最大值 2，无最小值 C有最小值，有最大值 2 D无最大值，也无最小值 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最值即可 【解答】解：令 t，可得 xt2+1，t0， 函数 f（x）2x，y2t2+t+22（t+）2+，t0， t0，+） ，
16、函数是增函数， 所以函数有最小值：2没有最大值， 故选：A 【点评】本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，二次函数的性质的应用，是基础题 11若函数 f（x）为奇函数，则 a（ ） A B C D1 【分析】由奇函数的定义和一次方程的解法，可得所求值 【解答】解：由函数 f（x）（x0）为奇函数， 可得 f（x）+f（x）+0， 解得 a 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题 12已知函数 f（x）x5+ax3bx8 且 f（2）10，则 f（2）（ ） A18 B26 C10 D无法计算 【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f（x）的解析
17、式，分析可得 f（x）+f（x）16，进而可得 f（2）+f（2）16，结合 f（2）的值，计算可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）x5+ax3bx8， f（x）（x）5+a（x）3b（x）8x5ax3+bx8， 则 f（x）+f（x）16， 则有 f（2）+f（2）16， 若 f（2）10，则 f（2）26； 故选：B 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意分析 f（x）+f（x）的值，属于基础题 13若函数 f（x）的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ） A0，4） B0，2） C （0，4） D （2，4 【分析】根据函数的定义域为 R 得出 x2+ax+a0
18、恒成立，利用0 求出 a 的取值范围 【解答】解：因为函数 f（x）的定义域为 R， 所以 x2+ax+a0 恒成立， 所以a24a0， 0a4， 所以实数 a 的取值范围是（0，4） 故选：C 【点评】本题考查了利用函数解析式求定义域的应用问题，是基础题 14已知函数 f（x），则该函数的单调递增区间为（ ） A （，1 B3，+） C （，1 D1，+） 【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可 【解答】解：由 x22x30 得 x3 或 x1， 当 x3 时，函数 tx22x3 为增函数，y为增函数， 此时函数 f（x）为增函数， 即函数的单调递增区间为3，+） ， 故选：B 【
19、点评】本题主要考查函数单调递增区间的求解，根据一元二次函数的性质结合复合函数单调性的关系是解决本题的关键 15为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体 A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区 ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成规划核心喷泉区的 ABCD 面积为 1000m2，绿化带的宽分别为 2m 和 5m（如图所示） 当整个项目占地面积 A1B1C1D1最小时，则核心喷泉区 BC 的长度为（ ） A20m B50m C D100m 【分析】设
20、BCxm（x0） ，则 ABm，可得矩形 A1B1C1D1的面积 S 的表达式，再由基本不等式求最值 【解答】解：设 BCxm（x0） ，则 ABm， 矩形 A1B1C1D1的面积 S（x+10） （） 1000+40+4x+1040+21440 当且仅当 4x，即 x50 时上式取等号 当整个项目占地 A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区 BC 的长度为 50m 故选：B 【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题 16若 f（x）是定义在（，+）上的减函数，则 a 的取值范围是（ ） A，） B （， C （0，） D （， 【分析】由已知结合分段函数的
21、单调性，结合一次函数单调性的性质可求 【解答】解：由题意可知， 解可得， 故选：A 【点评】本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础试题 17已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，且满足 f（x+1）为偶函数，若 f（1）1，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2021）（ ） A2019 B1 C0 D2021 【分析】由奇函数和偶函数的定义，推得 f（x+4）f（x） ，即 f（x）是最小正周期为 4 的函数，求得一个周期内的函数值的和，即可得到所求和 【解答】解：由 f（x）是定义域为（，+）的奇函数， 可得 f（x）f（x） ， 又 f（x+1）为偶函数，可得 f（x+1）f
22、（x+1） ， 即为 f（x）f（2+x） ， 所以 f（x+2）f（x） ， 可得 f（x+4）f（x+2）f（x） ， 即 f（x）是最小正周期为 4 的函数， 则 f（1）1，f（2）f（0）0，f（3）f（1）f（1）1，f（4）f（0）0， 可得一个周期内的函数值和为 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）0， 所以 f（1）+f（2）+f（3）+f（2021）505f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1）0+11 故选：B 【点评】本题函数的奇偶性和周期性的判断和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题 二、填空题：共二、填空题：共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共
23、分，共 32 分。分。 18已知集合 A0，m，m23m+2，且 2A，求实数 m 的值 3 【分析】利用 2A，推出 m2 或 m23m+22，求出 m 的值，然后验证集合 A 是否成立，即可得到 m的值 【解答】解：因 A0，m，m23m+2，且 2A 所以 m2 或 m23m+22 即 m2 或 m0 或 m3 当 m2 时，A0，2，0与元素的互异性相矛盾，舍去； 当 m0 时，A0，0，2与元素的互异性相矛盾，舍去； 当 m3 时，A0，3，2满足题意 m3 故答案是：3 【点评】本题考查集合中元素与集合的关系，注意集合中元素的互异性的应用，考查计算能力 19若不等式 x2ax+b0
24、 的解集是x|2x3，则 a+b 的值是 5 【分析】不等式 x2ax+b0 的解集是x|2x3，故2、3 是方程 x2ax+b0 的两个根，由根与系数的关系求出 a，b 可得 【解答】解：不等式 x2ax+b0 的解集是x|2x3， 2、3 是方程 x2ax+b0 的两个根， 32a，3（2）b， a1，b6， a+b165 故答案为：5 【点评】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系 20设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x2x则 f
25、（1） 3 【分析】将 x0 的解析式中的 x 用1 代替，求出 f（1） ；利用奇函数的定义得到 f（1）与 f（1）的关系，求出 f（1） 【解答】解：f（1）2+13 f（x）是定义在 R 上的奇函数 f（1）f（1） f（1）3 故答案为：3 【点评】本题考查奇函数的定义：对任意的 x 都有 f（x）f（x） 21若函数 f（x）的定义域为1，4，则函数 f（2x1）的定义域为 【分析】根据 f（x）的定义域即可得出函数 f（2x1）需满足：12x14，解出 x 的范围即可 【解答】解：f（x）的定义域为1，4； f（2x1）满足：12x14； ； f（2x1）的定义域为 故答案为：
26、【点评】考查函数定义域的概念及求法，已知 f（x）的定义域求 fg（x）定义域的方法 22设函数 yf（x）是定义在1，1上的偶函数，且 f（x）在0，1上单调递减，若 f（1a）f（a） ，则实数 a 的取值范围是 【分析】根据 f（x）为定义在1，1上的偶函数，以及 f（x）在0，1上单调递减，便可由 f（1a）f（a）得到，从而解该不等式组便可得出 a 的取值范围 【解答】解：f（x）为定义在1，1上的偶函数， 由 f（1a）f（a）得，f（|1a|）f（|a|） ， 又 f（x）在0，1上单调递减， ， 解得 0a a 的取值范围为 故答案为： 【点评】本题考查偶函数的定义，函数定义域
27、的概念，以及根据函数单调性解不等式的方法 23已知函数 f（x），若 f（m）5，则实数 m 的取值范围是 （，5 【分析】利用分段函数，结合不等式，转化求解即可 【解答】解：函数 f（x），f（m）5， 可得：，解得 m5； 解得 m， 综上实数 m 的取值范围是： （，5 故答案为： （，5 【点评】本题考查分段函数的应用，不等式的解法，是中档题 24若x1，4，axx24 恒成立，则实数 a 的取值范围为 3，+） 【分析】依题意，可分离参数 a，得到 ax（1x4）恒成立，再构造函数 g（x）x（1x4） ，分析其单调性，求得最大值，可得答案 【解答】解：x1，4，axx24 恒成立a
28、x（1x4）恒成立 令 g（x）x（1x4） ， 则 g（x）在1，4上单调递增， 所以 g（x）maxg（4）3， 所以 a3， 故答案为：3，+） 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查转化与化归思想，考查分离参数法与运算求解能力，属于中档题 25已知函数 f（x）若 c0，则 f（x）的值域是 ，+） ；若 f（x）的值域是，则实数 c 的取值范围是 ，1 【分析】若 c0，分别求出 f（x）在2，0及（0，3上的最值，取并集得答案；求出 f（x）在2，1上的值域以及在（c，3上的值域，注意 c0，运用单调性即可得到 c 的范围 【解答】解：当 c0 时， 当 f（x）x2+x，2x0 时
29、， f（x）在2，上单调递减，在（，0上单调递增， 可得 f（x）的最大值为 f（2）2，最小值为 f（）； 当 f（x），0 x3 时，f（x）为减函数，有最小值为，无最大值 综上所述，f（x）的值域是，+） ； f（x）x2+x 在2，上单调递减，在（，1上单调递增， f（x）在2，1上的最小值为 f（），最大值是 f（2）f（1）2； 由题意可得 c0，而当 cx3 时，f（x）是减函数且值域为，） ， 当 f（x）的值域是时，即c1 故实数 c 的取值范围是，1 故答案为：，+） ；，1 【点评】本题给出分段函数，求函数的值域，并在已知值域的前提下求参数的范围，考查函数的单调性与二次函
30、数的最值情况，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 5 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 50 分。分。 26 （10 分）已知集合 Ax|12x17，函数 f（x）的定义域为集合 B （1）求 AB； （2）求R（AB） ； （3）若 Mx|xm，求 MBR 时 m 的取值范围 【分析】 （1）求出集合 A，B，由此能求出 AB （2）先求出 AB，由此能求出R（AB） （3）由 Mx|xm，MBR，能求出 m 的取值范围 【解答】解： （1）集合 Ax|12x17x|1x4， 函数 f（x）的定义域为集合 B Bx|x1 或 x3， ABx|3x4 （2）由（1）得 ABx|
31、x1 或 x1， R（AB）x|1x1 （3）Mx|xm，MBR， m3， m 的取值范围是3，+） 【点评】本题考查并集补集、交集和实数的取值范围的求法，考查并集、补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 27 （10 分）已知函数 f（x）x22|x| （1）用分段函数的形式表示函数 f（x） ，并作出函数 f（x）的草图 （2）结合图象列出它的单调递增区间； （3）若方程 f（x）m 有 4 个不等的实数根，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）去掉绝对值将函数 f（x）表示为分段函数，再作图即可； （2）根据图象直接可以得到单调递增区间； （3）依题意，函数 yf（x）
32、与直线 ym 的图象有 4 个不同的交点，由此可得到实数 m 的取值范围 【解答】解： （1），其草图如下： （2）由图可知，单调递区间为（1，0）和（1，+） ； （3） 要使方程 f （x） m 有 4 个不等的实数根， 即函数 yf （x） 与直线 ym 的图象有 4 个不同的交点，由图可知，1m0， 故实数 m 的取值范围为（1，0） 【点评】本题考查分段函数的图象及性质，考查通过函数图象判断函数单调性及函数零点问题，考查数形结合思想，属于基础题 28 （10 分）已知函数 f（x），且 f（1）2 （1）判断并证明函数 f（x）在其定义域上的奇偶性； （2）证明函数 f（x）在（1，
33、+）上是增函数； （3）求函数 f（x）在区间2，5上的最大值与最小值 【分析】 （1）先将 f（1）2 代入，求出 a 的值代入后再判断函数的奇偶性，并用定义证明； （2）利用定义法求函数的单调性； （3）结合第（2）问单调性的结果，判断该函数在2，5上的单调性，再求最值 【解答】解：f（1）21+a2a1， （1）f（x）， 定义域为x|xR 且 x0，关于原点对称，为奇函数x2x11； （2）由（1）知， 任取x2x11， 则， 1x1x2+x1x21且 x1x20 f（x1）f（x2）0 f（x）在（1，+）上是增函数 （3）由（2）知函数 f（x）在2，5上递增， 所以， 【点评】本
34、题属于基础题难度不大，主要是考查了利用定义证明函数的单调性、利用单调性求最值的问题 29 （10 分）解关于 x 的不等式 mx2+（1m）x+m2m1（mR） 【分析】讨论 m0、m0 以及 m0 时，对应的不等式解集的情况，求出解集即可 【解答】解：原不等式可化为 mx2+（1m）x10， 等价于（x1） （mx+1）0， 当 m0 时，解得 x1，其解集为（，1） ， 当 m0 时，不等式等价于（x1） （x+）0，解得x1，故其解集为（，1） ， 当 m0 时，不等式等价于（x1） （x+）0， 当1m0 时，1，解得 x1 或 x，故其解集为（，1）（，+） ， 当 m1 时，解得
35、x1，故不等式的解集为（，1）（1，+） ， 当 m1 时，1，解得 x1 或 x，故其解集为（，）（1，+） ， 综上所述：当 m0 时，不等式的解集为（，1） ， 当 m0 时，不等式的解集为（，1） ， 当1m0 时，不等式的解集为（，1）（，+） ， 当 m1 时，不等式的解集为（，1）（1，+） ， 当 m1 时，不等式的解集为（，）（1，+） 【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题目 30 （10 分）已知定义在（，0）（0，+）上的函数 f（x）满足：x，y（，0）（0，+） ，f（xy）f（x）+f（y） ；当 x1 时
36、，f（x0） ，且 f（2）1 （1）试判断函数 f（x）的奇偶性； （2）判断函数 f（x）在（0，+）上的单调性； （3）求函数 f（x）在区间4，0）（0，4上的最大值； （4）求不等式 f（3x2）+f（x）4 的解集 【分析】 （1）先求 f（1）的值，令 y1，推出 f（x）f（x）+f（1） ，f（x）f（x） 结合函数奇偶性的定义，判断函数 f（x）的奇偶性； （2）利用函数单调性的定义，直接判断函数 f（x）在（0，+）上的单调性； （3）通过（1） ， （2）奇偶性，单调性，直接求函数 f（x）在区间4，0）（0，4上的最大值； （4）利用函数单调性，奇偶性，不等式 f（3
37、x2）+f（x）4，转化为|x（3x2）|16，然后求出不等式的解集 【解答】解： （1）令 xy1，则 f（11）f（1）+f（1） ，得 f（1）0； 再令 xy1，则 f（1）（1）f（1）+f（1） ，得 f（1）0 对于条件 f（xy）f（x）+f（y） ，令 y1， 则 f（x）f（x）+f（1） ，所以 f（x）f（x） 又函数 f（x）的定义域关于原点对称，所以函数 f（x）为偶函数 （3 分） （2）任取 x1，x2（0，+） ，且 x1x2，则有 又当 x1 时，f（x）0， 而， 所以函数 f（x）在（0，+）上是增函数 （6 分） （3）f（4）f（22）f（2）+f（
38、2） ，又 f（2）1， f（4）2 又由（1）知函数 f（x）在区间4，0）（0，4上是偶函数且在（0，4上是增函数， 函数 f（x）在区间4，0）（0，4上的最大值为 f（4）f（4）2（9 分） （4）f（3x2）+f（x）fx（3x2），42+2f（4）+f（4）f（16） 原不等式等价于 fx（3x2）f（16） 又函数 f（x）为偶函数，且函数 f（x）在（0，+）上是增函数， 原不等式又等价于|x（3x2）|16， 即 x（3x2）16 或 x（3x2）16， 不等式 f（3x2）+f（x）4 的解集为（12 分） 【点评】本题考查函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，函数的最值及其几何意义，抽象函数及其应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题
