1、2021-2022 学年北京市东城区五校联考高一上期中数学试卷学年北京市东城区五校联考高一上期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题）小题） 1已知全集 U1，0，1，2，3，集合 A0，1，2，B1，0，1，则（UA）B（ ） A1 B0，1 C1，2，3 D1，0，1，3 2命题“xR，使得 x2+2x0”的否定是（ ） AxR，使得 x2+2x0 BxR，使得 x2+2x0 CxR，使得 x2+2x0 DxR，使得 x2+2x0 3如果|a|b|，那么下列不等式一定成立的是（ ） A|a|b| Ba3b3 C Da2b2 4设 xR，则“x22x0”是“1x2”
2、的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5下面四组函数中，f（x）与 g（x）表示同一个函数的是（ ） Af（x）|x|， Bf（x）2x， Cf（x）x， Df（x）x， 6已知函数 f（x）为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）x（x1） ，则 f（2）（ ） A6 B6 C2 D2 7下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（ ） Af（x）3x Bf（x）x23x Cf（x） Df（x）|x| 8若 f（x）是定义在（，+）上的偶函数，x1，x20，+） （x1x2） ，有，则（ ） Af（3）f（1）f（2） Bf（1）f（1）f
3、（3） Cf（2）f（1）f（3） Df（3）f（2）f（1） 9已知函数 f（x）是 R 上的减函数，则 a 的范围是（ ） A （，0） B4，+） C （，4） D4，0） 10设 S，T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 yf（x）满足： （）Tf（x）|xS；（）对任意 x1，x2S，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，那么称这两个集合“保序同构” ，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） AAN*，BN BAx|1x3，Bx|x8 或 0 x10 CAx|0 x1，BR DAZ，BQ 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题）小题） 11
4、已知幂函数 f（x）x的图象经过点（2，4） ，则 f（x） 12函数 y+的定义域为 13函数 yx+（x2）的最小值是 14若 f（x1）x2+1，则 f（x） 15已知 f（x）是奇函数，则 a 16 已知函数 f （x） 若 c0， 则 f （x） 的值域是 ； 若 f （x） 的值域是，则实数 c 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知集合 Ax|3x2，Bx|0 x5，Cx|xm （1）求 AB，AB； （2）若（AB）C，求实数 m 的取值范围 18已知函数
5、 f （x） （1）求 ff（1）的值； （2）判断函数 f（x）在区间（2，+）上的单调性，并用定义加以证明 19设 f（x）x2（a1）x+a2 （1）若不等式 f（x）2 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）解关于 x 的不等式 f（x）0（aR） 202018 年淮安新能源汽车厂计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 2500 万元，若生产 100 x 辆时，需另投入成本 C（x）万元，满足 C（x）由市场调研知，每辆车售价 5 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完（其中 xN*） （1）求出 2018 年的利润 L（x） （万元）的函数关
6、系式（利润销售额成本） ； （2）2018 年产量为多少辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润 21已知二次函数 f（x）x22x+3 （1）当 x2，3时，求 f（x）的最大值和最小值； （2 当 xt，t+1时，求 f（x）的最小值 g（t） 22若非零函数 f（x）对任意实数 a，b 均有 f（a+b）f（a） f（b） ，且当 x0 时，f（x）1； （1）求证：f（x）0； （2）求证：f（x）为减函数； （3）当 f（4）时，解不等式 f（x2+x3） f（5x2） 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题）小题） 1已知全集 U1，0，1，2
7、，3，集合 A0，1，2，B1，0，1，则（UA）B（ ） A1 B0，1 C1，2，3 D1，0，1，3 【分析】由全集 U 以及 A 求 A 的补集，然后根据交集定义得结果 【解答】解：UA1，3， （UA）B 1，31，0，1 1 故选：A 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2命题“xR，使得 x2+2x0”的否定是（ ） AxR，使得 x2+2x0 BxR，使得 x2+2x0 CxR，使得 x2+2x0 DxR，使得 x2+2x0 【分析】直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行否定即可 【解答】解：命题“xR，使得 x2+2x0”的否定是“xR，使得 x2+2x0” 故选
8、：B 【点评】本题考查了命题的否定，要掌握含有一个量词的命题的否定方法：改变量词，然后否定结论 3如果|a|b|，那么下列不等式一定成立的是（ ） A|a|b| Ba3b3 C Da2b2 【分析】利用基本不等式的性质结合特殊值法，逐一判断四个选项即可 【解答】解：因为|a|b|，故选项 A 正确； 当 a2，b1 时，|a|b|，但（2）3（1）3，即 a3b3，故选项 B 错误； 当 a3，b1 时，|a|b|，但，即，故选项 C 错误； 当 a2，b1 时，|a|b|，但（2）2（1）2，即 a2b2，故选项 D 错误 故选：A 【点评】本题考查了不等式基本性质的理解与应用，此类问题经常
9、运用特殊值法进行求解，考查了逻辑推理能力，属于基础题 4设 xR，则“x22x0”是“1x2”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】直接利用不等式的解法，充分条件和必要条件的应用求出结果 【解答】解：x22x0，整理得：0 x2； 所以（1，2）（0，2） ， 故“x22x0”是“1x2”的必要不充分条件 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：不等式的解法，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题 5下面四组函数中，f（x）与 g（x）表示同一个函数的是（ ） Af（x）|x|， Bf（x）2x， Cf（x）x，
10、Df（x）x， 【分析】由函数的定义域及对应关系是否相同分别判断四个选项得答案 【解答】解：函数 f（x）|x|的定义域为 R，的定义域为0，+） ，定义域不同，不是同一函数； 函数 f（x）2x 的定义域为 R，的定义域为x|x0，定义域不同，不是同一函数； f（x）x，x，两函数为同一函数； f（x）x 的定义域为 R，的定义域为x|x0，定义域不同，不是同一函数 故选：C 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了判断函数是否为同一函数的方法，是基础题 6已知函数 f（x）为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）x（x1） ，则 f（2）（ ） A6 B6 C2 D2 【分析】
11、根据题意，由解析式求出 f（2）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案 【解答】解：根据题意，当 x0 时，f（x）x（x1） ，则 f（2）（2） （21）6， 又由 f（x）为奇函数，则 f（2）f（2）6， 故选：A 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题 7下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（ ） Af（x）3x Bf（x）x23x Cf（x） Df（x）|x| 【分析】由题意知 A 和 D 在（0，+）上为减函数；B 在（0，+）上先减后增；c 在（0，+）上为增函数 【解答】解：f（x）3x 在（0，+）上为减函数，A 不正确； f（x）x23
12、x 是开口向上对称轴为 x的抛物线，所以它在（0，+）上先减后增，B 不正确； f（x）在（0，+）上 y 随 x 的增大而增大，所它为增函数，C 正确； f（x）|x|在（0，+）上 y 随 x 的增大而减小，所以它为减函数，D 不正确 故选：C 【点评】本题考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答 8若 f（x）是定义在（，+）上的偶函数，x1，x20，+） （x1x2） ，有，则（ ） Af（3）f（1）f（2） Bf（1）f（1）f（3） Cf（2）f（1）f（3） Df（3）f（2）f（1） 【分析】根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可 【解答】解：
13、x1，x20，+） （x1x2） ，有， 当 x0 时函数 f（x）为减函数， f（x）是定义在（，+）上的偶函数， f（3）f（2）f（1） ， 即 f（3）f（2）f（1） ， 故选：D 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键 9已知函数 f（x）是 R 上的减函数，则 a 的范围是（ ） A （，0） B4，+） C （，4） D4，0） 【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得，解之即可得答案 【解答】解：因为函数 f（x）是 R 上的减函数， 所以，解得4a0，即 a 的取值范围为4，0） 故选：D 【点评】本题
14、考查分段函数的单调性，属于基础题 10设 S，T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 yf（x）满足： （）Tf（x）|xS；（）对任意 x1，x2S，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，那么称这两个集合“保序同构” ，以下集合对不是“保序同构”的是（ ） AAN*，BN BAx|1x3，Bx|x8 或 0 x10 CAx|0 x1，BR DAZ，BQ 【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即 B 是函数的值域，且函数为定义域上的增函数排除掉是“保序同构”的，即可得到
15、要选择的答案 【解答】解：对于 AN*，BN，存在函数 f（x）x1，xN*，满足： （i）Bf（x）|xA； （ii）对任意 x1，x2A，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，所以选项 A 是“保序同构” ； 对于 Ax|1x3，Bx|x8 或 0 x10，存在函数，满足： （i）Bf（x）|xA； （ii）对任意 x1，x2A，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，所以选项 B 是“保序同构” ； 对于 Ax|0 x1，BR，存在函数 f（x）tan（） ，满足： （i）Bf（x）|xA； （ii）对任意 x1，x2A，当 x1x2时，恒有 f（x1）f（x2） ，所以选
16、项 C 是“保序同构” ； 前三个选项中的集合对是“保序同构” ，由排除法可知，不是“保序同构”的只有 D 故选：D 【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题）小题） 11已知幂函数 f（x）x的图象经过点（2，4） ，则 f（x） x2 【分析】把已知点（2，4）代入幂函数 f（x）x中，能求出结果 【解答】解：幂函数 f（x）x的图象经过点（2，4） ， 2a4， 解得 a2 f（x）x2 故答案为：x2 【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，是基础题，解题时要注意待
17、定系数法的合理运用 12函数 y+的定义域为 0，1 【分析】保证两个根式都有意义的自变量 x 的集合为函数的定义域 【解答】解：要使原函数有意义，则需解得 0 x1， 所以，原函数定义域为0，1 故答案为0，1 【点评】本题考查了函数定义域的求法，求解函数的定义域，是求使的构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量 x 的取值集合 13函数 yx+（x2）的最小值是 4 【分析】由 yx+x2+2，利用基本不等式求解最值即可； 【解答】解：x2，x20， yx+x2+22+24， 当且仅当 x2时，即 x3 时取等号， 故 yx+的最小值为 4 故答案为：4 【点评】本题考查了利用基本不等式求
18、解最值问题，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于基础题 14若 f（x1）x2+1，则 f（x） x2+2x+2（xR） 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可 【解答】解：f（x1）x2+1（x1）2+2（x1）+1， f（x）x2+2x+2（xR） 故答案为：x2+2x+2（xR） 【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力 15已知 f（x）是奇函数，则 a 0 【分析】由奇函数在 x0 处有定义，则 f（0）0，可得所求值 【解答】解：f（x）（xR）是奇函数， 可得 f（0）0，即 a0， f（x），f（x）f（x） ，可得 f（x）为奇函数 故答
19、案为：0 【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，考查方程思想和运算能力，属于基础题 16已知函数 f（x）若 c0，则 f（x）的值域是 ，+） ；若 f（x）的值域是，则实数 c 的取值范围是 ，1 【分析】若 c0，分别求出 f（x）在2，0及（0，3上的最值，取并集得答案；求出 f（x）在2，1上的值域以及在（c，3上的值域，注意 c0，运用单调性即可得到 c 的范围 【解答】解：当 c0 时， 当 f（x）x2+x，2x0 时， f（x）在2，上单调递减，在（，0上单调递增， 可得 f（x）的最大值为 f（2）2，最小值为 f（）； 当 f（x），0 x3 时，f（x）为减函数，有最小值
20、为，无最大值 综上所述，f（x）的值域是，+） ； f（x）x2+x 在2，上单调递减，在（，1上单调递增， f（x）在2，1上的最小值为 f（），最大值是 f（2）f（1）2； 由题意可得 c0，而当 cx3 时，f（x）是减函数且值域为，） ， 当 f（x）的值域是时，即c1 故实数 c 的取值范围是，1 故答案为：，+） ；，1 【点评】本题给出分段函数，求函数的值域，并在已知值域的前提下求参数的范围，考查函数的单调性与二次函数的最值情况，是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21、17已知集合 Ax|3x2，Bx|0 x5，Cx|xm （1）求 AB，AB； （2）若（AB）C，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）进行并集、交集的运算即可； （2）求出 AB，根据（AB）C，即可得出 m 的范围 【解答】解： （1）Ax|3x2，Bx|0 x5， ABx|0 x2，ABx|3x5； （2）ABx|3x5， （AB）C，m5， 实数 m 的取值范围为5，+） 【点评】本题考查了交集和并集的运算，根据集合的包含关系求参数的范围，属基础题 18已知函数 f （x） （1）求 ff（1）的值； （2）判断函数 f（x）在区间（2，+）上的单调性，并用定义加以证明 【分析】
22、（1）由函数解析式先计算 f（1） ，再计算 ff（1），即可得解； （2）判断 f（x）在区间（2，+）上单调递增，利用定义法即可证明单调性 【解答】解： （1）f（1）， 则 ff（1）f（） （2）f （x）1在区间（2，+）上单调递增，证明如下： 任取 x1、x2（2，+） ，且 x1x2， 则 f（x1）f（x2）（1）（1）， 因为 x1、x2（2，+） ，且 x1x2， 所以 x1x20，x1+20，x2+20， 所以 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ， 所以 f（x）在区间（2，+）上单调递增 【点评】本题主要考查函数的求值，函数单调性的判断与证明，考查运算求
23、解能力与逻辑推理能力，属于基础题 19设 f（x）x2（a1）x+a2 （1）若不等式 f（x）2 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）解关于 x 的不等式 f（x）0（aR） 【分析】 （1）由已知可得，x2（a1）x+a0 对于一切实数 x 恒成立，结合二次函数的图像和性质，即可求得； （2）不等式 f（x）0 代入化简得 x2（a1）x+a20，左边分解因式后，对两根的大小进行分类讨论，即可得不等式的解集 【解答】解： （1）由题意，不等式 f（x）2 对于一切实数 x 恒成立，等价于 x2（a1）x+a0 对于一切实数 x 恒成立所以0（a1）24a0； （2）不等
24、式 f（x）0 等价于 x2（a1）x+a20 x（a2）（x1）0， 当 a21 即 a3 时，不等式可化为 1xa2，不等式的解集为x|1xa2； 当 a21 即 a3 时，不等式可化为（x1）20，不等式的解集为； 当 a21 即 a3 时，不等式可化为 a2x1，此时x|a2x1； 综上所述：当 a3 时，不等式的解集为x|a2x1； 当 a3 时，不等式的解集为； 当 a3 时，不等式的解集为x|1xa2 【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题 202018 年淮安新能源汽车厂计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投
25、入固定成本 2500 万元，若生产 100 x 辆时，需另投入成本 C（x）万元，满足 C（x）由市场调研知，每辆车售价 5 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完（其中 xN*） （1）求出 2018 年的利润 L（x） （万元）的函数关系式（利润销售额成本） ； （2）2018 年产量为多少辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润 【分析】 （1）根据年利润销售额投入的总成本固定成本，分 0 x40 和当 x40 两种情况得到 L与 x 的分段函数关系式； （2）当 0 x40 时根据二次函数求最大值的方法来求 L 的最大值，当 x40 时，利用基本不等式来求L 的最大值，最后综合即可 【
26、解答】解： （1）当 0 x40 时，L（x）500 x10 x2100 x250010 x2+400 x2500； 当 x40 时，L（x）500 x501x+450025002000（x+） ； L（x） （2）当 0 x40 时，L（x）10（x20）2+1500， 当 x20 时，L（x）maxL（20）1500； 当 x40 时，L（x）2000（x+）2000220002001800； 当且仅当 x，即 x100 时，L（x）maxL（100）18001500； 当 x100 时，即 2018 年生产 100 百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 1800 万元 【点评】本题考
27、查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力 21已知二次函数 f（x）x22x+3 （1）当 x2，3时，求 f（x）的最大值和最小值； （2 当 xt，t+1时，求 f（x）的最小值 g（t） 【分析】 （1）根据题意，分析 f（x）的对称轴，结合二次函数的性质分析可得答案； （2）根据题意，结合二次函数的性质分 3 种情况讨论，求出 g（t）的表达式，综合可得答案 【解答】解： （1）根据题意，f（x）x22x+3（x1）2+2， 其对称轴 x1， 在区间2，3上，f（x）的最小值为 f（1）2，最大值为 f（2）11， 故 f（x）的最大值为 11，最小值为 2； （2
28、）f（x）x22x+3（x1）2+2， 当 t+11，即 t0 时，函数在t，t+1上为减函数，g（t）f（t+1）t2+2； 当 t+11 且 t1，即 0t1 时，g（t）f（1）2； 当 t1 时，函数在t，t+1上为增函数，g（t）f（t）t22t+3； g（t） 【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题 22若非零函数 f（x）对任意实数 a，b 均有 f（a+b）f（a） f（b） ，且当 x0 时，f（x）1； （1）求证：f（x）0； （2）求证：f（x）为减函数； （3）当 f（4）时，解不等式 f（x2+x3） f（5x2） 【分析】 （1）根据
29、f（x）f2（）0 得出结论； （2）设 x1x2，根据 f（x1）f（x1x2+x2）f（x1x2） f（x2） ，再结合已知条件，可得 f（x1）f（x2）0，结论得证； （3）计算 f（2），不等式等价于 f（x+2）f（2） ，于是 x+22 【解答】证明： （1）f（）0， f（x）f（） f（）f2（）0 （2）设 x1x2，则 x1x20， 故 f（x1x2）1， 则 f（x1）f（x1x2+x2）f（x1x2） f（x2） ， f（x1）f（x2）f（x1x2） f（x2）f（x2）f（x2）f（x1x2）1， 由（1）可得 f（x）0，则 f（x2）0，且 f（x1x2）1， f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ， f（x）是减函数 （3）f（4）f2（2），f（2）， f（x2+x3） f（5x2） f（x+2）f（2） ， x+22， 解得 x0 【点评】本题考查了函数单调性的应用，属于中档题
