1、南充高中高南充高中高 2023 届届高三高三第二次模拟考试数学理科第二次模拟考试数学理科试卷试卷 一一 选择题（共计选择题（共计 1212 道小题，每题道小题，每题 5 5 分，共计分，共计 6060 分）分） 1.设集合 = * 1 2+, = * 3+ ，则集合 和集合 的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 已知 = (2,4),= (,1) , 则 “ 2 ” 是 “ 与 的夹角为钝角” 的（ ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. 若 . +1/ 展开式的二项式系数之和为 64 , 则展开式的常数项为 ( ) A.10 B.20
2、 C.30 D.120 4. 若 = 45,2 2 3 恒成立, 则实数 的取值范围是 ( ) A.(3,6) B.(6,3) C.(,3) (6,+) D.(,6) (3,+) 11. 已知函数 () = 1 2,2 0 ,0 , 方程() = 恰有两个不同的实数根 1 、 2( 1 2) , 则 12+ 2 的最小值与最大值的和 ( ) A.2 + B.2 C. 6 + ;3 D. 4 + ;3 12. 设 =150, = 2 .1100+ 1100/, =65 5150 , 则, 的大小关系正确的是 ( ) A. B. C. D. 0) 只能同时满足以下三个条件中的两个. 函数 () 的
3、最大值是 2 ; 函数 () 的图象可由函数() = 2 2+ 2 2 2 2 2 左右平移得到; 函数 () 的对称中心与() 的对称轴之间的最短距离是4 . (1) 写出这两个条件的序号 (不必说明理由) 并求出函数 = () 的单调递增区间; (2) 已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 , 满足() = 1 , 点 为 的中点, 且 = , 求 的值. 19（本题满分 12 分）如图, 在四棱锥 中, 面 , , / / , =2 = 2 = 2 2, 是 的中点. (I) 求证: ;(II) 若二面角 的余弦值为63 , 求线段 长. 20.（本题满分 12 分） 在平面直角
4、坐标系 中, 椭圆: 2 2+ 2 2= 1( 0) 的左, 右顶点分别为 、 , 点 是椭圆的右焦点, = 3 , = 3 . (I) 求椭圆 的方程; (II) 不过点 的直线 交椭圆 于 、 两点, 记直线 、 、 的斜率分别为 、 1 、 2 . 若( 1+ 2) = 1 , 证明直线 过定点, 并求出定点的坐标. 21.（本题满分 12 分） 已知函数 () = . (其中, 为参数) 在点(0,(0) 处的切线方程为 = . (1) 求实数 , 的值; (2) 求函数 () = () 2 的最小值; (3) 若对任意的 , 不等式 () 3+ 2 恒成立, 求实数 的取值范围. 选
5、做题选做题（本题满分 10 分） 22. 选修 4-4: 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中, 设曲线 1 的参数方程为 = 3 +12 = 1 +32 ( 为参数), 以坐标原点 为极点, 以 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设曲线 2 的极坐标方程为 = ( 0) . (1) 求曲线 1 的普通方程; (2) 若曲线 2 上恰有三个点到曲线 1 的距离为12 , 求实数 的值. 23 选修 4-5: 不等式选讲 已知函数 () = | | 3 , 且() 0 的解集为(,2- ,4,+) . (1) 求 的值; (2) 若正实数 、 、 满足 + + = , 求证: + + 13 . 参
6、考答案及解析参考答案及解析 一一 选择题（共计选择题（共计 1212 道小题，每题道小题，每题 5 5 分，共计分，共计 6060 分）分） 1. 【答案】C 【解析】略 2. 【答案】C 【解析】 与 的夹角为钝角，则要满足1 ,| 0 ，即 | | |=2 ;42 5 2:1 (1,0) ，解得: 2 且 12 因为.,12/ .12,2/ 是(,2) 的真子集 所以 2 是“ 与 的夹角为钝角”的必要不充分条件 3. 【答案】B 【解析】根据题意可得 2= 64 ，解得 = 6 ， 则 . +1/6 展开式的通项为 6 6; .1/= 6 6;2 ， 令6 2 = 0 ，得 = 3 ，
7、所以常数项为: 63 6;3 .1/3= 63=6 5 43 2 1= 20 . 4. 【答案】B 【解析】因为 = 45,2 0 ，排除B ； (2 e12+ e12)2=4e+1e+2 1 ，即.12/ 2 3 恒成立，则 2 3 18 ， 解得 3 6 ， 所以实数 的取值范围是(3,6) . 故选: A. 11. 【答案】C 【解析】 作出函数 = () 的图象如下图所示: 由图象可知, 当 3 1 时, 直线 = 与函数 = () 的图象有两个交点( 1,) 、( 2,) , 1 2 , 则 1 12= 2= , 可得 12= 1 2= ，则 12+ 2= + 1 , 构造函数 ()
8、 = + 1 , 其中3 1 , 则 () = 1 . 当3 0 时, () 0 , 此时函数 = () 单调递减; 当0 0 , 此时函数 = () 单调递增. 所以,( )min = (0) = 2 , (3) = ;3+ 4, (1) = ,显然 (3) (1), ( )= (3) = ;3+ 4 . 因此, 12+ 2 的最大值和最小值之和为 ;3+ 4 + 2 = ;3+ 6 . 故选:C 12. 【答案】D 【解析】 因为 = 150= e0.02 ， = .1100+ 1100/2 ， = .5150/65 ， 所以只要比较 = e0.02, = .1100+ 1100/2= 1
9、 + 150= 1 + 0.02, = .5150/65= ( 1 + 0.02)1.2 的大小即可 ， 令() = e (1 + )( 0) ，则 () = e 0 ，所以() 在(0,+) 上递增， 所以 () (0) ，所以 e 1 + ， 所以 0.02 1 + 0.02 ，即 1 ， 令 () = ( 1 + )1.2 e ，则 () = 1.2( 1 + )0.2 e ， () = 0.24( 1 + );0.8 e 因为 () 在(0 .+) 上为减函数，且 (0) = 0.24 1 0 时， () 0 ， (0.2) = 1.2 1. 20.2 e0.2= 1.21.2 e0.
10、2 ， 要比较 1.21.2 与 e0.2 的大小，只要比较1. 21.2= 1.2 1.2 与 0.2= 0.2 的大小， 令() = (1 +) (1 + ) ( 0) ，则 () = (1 + ) + 1 1 = (1 + ) 0 ， 所以() 在上递增，所以() (0) = 0 ， 所以当 (0,+) 时，(1 + ) (1 + ) ，所以1.2 1.2 0.2 ， 所以 1.21.2 e0.2 ，所以 (0.2) = 1.2 1. 20.2 e0.2= 1.21.2 e0.2 0 ， 所以当 (0,0.2) 时， () 0 ， 所以 () 在(0,0.2) 上递增， 所以 () (0
11、) = 0 ，所以( 1 + )1.2 e ， 所以 ( 1 + 0.02)1.2 e0.02 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 故选: D 二填空题（共计二填空题（共计 4 4 道小题，每题道小题，每题 5 5 分，共计分，共计 2020 分）分） 13 设正项等比数列 * + 的公比为 ， 因为 为正项等比数列* + 的前 项和， 且 3= 14,1= 2 ， 所以 3= 1( 13)1= 14 ， 即(1;)( 1:2:)1;= 7 所以 2+ + 1 = 7 ， 所以 = 2( = 3 (舍去) ， 又 2: 5 1: 4=( 1: 4) 1: 4= ，所以 2: 5 1: 4 的值为 2
12、 . 故答案为: 2 . 14 略 15 由题意得，该正四面体在棱长为 6 的正方体的内切球内，故该四面体内接于球时棱长最大， 因为棱长为 6 的正方体的内切球半径为 = 3 如图， 设正四面体 ， 为底面 的中心， 连接 ，则 底面 ， 则可知 =33 , 正四面体的高 =63 , = = 3 利用勾股定理可知 (63 3)2+ (33 )2= 32 ，解得: = 2 6 故答案为:2 6 16 由题意可知, (0,1) 且直线 倾斜角为 60 , 则 = 3 则直线 方程为 1 = 3( 0) , 即 = 3 + 1 设( 1, 1),( 2, 2) ， 不妨设A 在第一象限，联立 = 3
13、 + 1 2= 4 , 消去 得 2 4 3 4 = 0 解得 1= 2 3 + 4, 2= 2 3 4 代入直线方程, 则 (2 3 + 4,7 + 4 3),(2 3 4,7 4 3) 因为直线 1 与抛物线相切于点A ,即 =14 2 ，则 =12 ， 所以 1=12(2 3 + 4) = 3 + 2 ,同理可得 2= 3 2 ,则可得直线 1 方程为 (7 + 4 3) = (3 + 2), (2 3+ 4)- , 即 = (3+ 2) 7 4 3 , 则 其 与 轴 交 点 , 令(3 + 2) 7 4 3 = 0 , 则 = 3 + 2 所以 (3 + 2,0) 直线 2 的方程为
14、 (7 4 3) = (3 2), (2 3 4)- 即 = (3 2) 7 + 4 3 ,则其与 轴交点, 令(3 2) 7 + 4 3 = 0 , 则 = 3 2 所以 (3 2,0) , 所以| | = 4 联立 1, 2 方程 = (3 + 2) 7 4 3 = (3 2) 7 + 4 3 , 解得 = 2 3 = 1 , 即 点 坐 标 为 (2 3,1) , = + =12 1 | | +12 1 | | = | | = 4 . 故答案为 4 . 三（共计三（共计 6 6 道小题，共道小题，共 7070 分，写出必要的文字说明和演算步骤）分，写出必要的文字说明和演算步骤） 17.
15、【答案】 女性用户评分的平均值为 74.5；由图可得女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大. （2） 2=500 ( 140 12060 180)2200 300 180 320 5.2 2.706 故有 90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关. 【解析】解: (1) 对于女性用户, 评分在 ,50,60) 的频率为20200= 0.1 , 评分在,60,70) 的频率为40200= 0.2 , 评分在,70,80) 的频率为80200= 0.4 , 评分在,80,90) 的频率为50200= 0.25 , 评分在,90,100) 的频率 为10200= 0.05 , 对于男性用户,
16、评分在 ,50,60) 的频率为45300= 0.15 , 评分在,60,70) 的频率为75300= 0.25 , 评分在,70,80) 的频率为90300= 0.3 , 评分在,80,90) 的频率为60300= 0.2 , 评分在,90,100) 的频率为30300= 0.1 所以女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如图所示: 女性用户评分的平均值为 74.5；由图可得女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大. （2）根据打分的频数分布表得列联表如下 2=500 ( 140 12060 180)2200 300 180 320 5.2 2.706 故有 90%的把握认为“评分良好用户
17、”与性别有关. 18. 【答案】(1) , 单调递增区间为 0 3, +61, ; (2)23 【解析】(1) 可得函数 () 只能同时满足(1)(3), 结合最值可求A , 结合周期可求 , 然后结合 正弦函数的性质可求; (2) 由 () = 1 可求 , 然后结合直角三角形性质及正弦定理可求. (1) 由(1)得 = 2 , 由(2)得() = + = 2 . +4/ , 由(3)知 4=14 2 =4 , 则 = 2 , 所以函数() 只能同时满足(1)(3), 故() = 2 .2 +6/ , 由 2 2 2 +6 2 +2 得 3 +6, , 故() 的单调递增区间为0 3, +6
18、1, ; (2) () = 2 .2 +6/ = 1, .2 +6/ =12 , (0,), 2 +6 .6,13 6/, 2 +6=5 6 , 即 =3 , 设线段 的中点为, = , , 3= , 即3 4 =12,=23 , 由正弦定理可得 =23 . 19. 【答案】(1)证明见解析; (2) 2 2 . 【解析】证明 , 得到 面 , 即可得到 . (2) 建立空间直角坐标系, 设 = 2 ( 0) , 求出平面 的法向量与面 的一个法向量, 再由 | , | = 2+1=63 , 即可求出 的值, 即可求出答案. 解: (1) 证明: 面 , 面 又 , / / , = 2 = 2
19、 = 2 2, 2+ 2= 2, 又 = , , 面 , 面 又 面 , ; (2) 如图, 以 为原点, , , 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向, 建立空间直角坐标系, =2 = 2 = 2 2 , 则 = 2 , 不妨设 = 2 ( 0) , 则 (0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2 ) , 则 (1,0,) 易知 = (1,0,0) 为面 的一个法向量 又 = (0,2,0), = (1,0,) , 设 = (,) 为面 的法向量, 则 = = 0 即 22 = 0 + = 0 取 = (,0,1) 依题意, | , | = 2+1=63 = 2 所以线段
20、长为2 2 . 20. 【答案】(1) 24+ 23= 1 ;(2)证明见解析, (5,0) . 【解析】(1)写出 、 、 的坐标, 求出向量坐标, 根据向量的关系即可列出方程组, 求得 、 、 和椭圆的标准方程; (2) 设直线 的方程为 = + ,( 1, 1),( 2, 2) . 联立直线 与椭圆方程, 根据韦达定理 得到根与系数的关系, 求出 1+ 2 , 根据( 1+ 2) = 1 即可求得 和 的关系, 即可证明直线过 定点并求出该定点. 解: (1)由题意, 知 (,0),(,0),(,0) . = 3 , = 3, + = 3( ),( + )( ) = 3, 解得2 = 2
21、, = 1, 从而 2= 2 2= 3 . 梋圆 的方程 24+ 23= 1 ; (2)设直线 的方程为 = + ,( 1, 1),( 2, 2) . 直线 不过点 , 因此2 + 0 . 由 24+ 23= 1 = + 得( 3 + 4 2) 2+ 8 + 4 2 12 = 0 . 0 时, 1+ 2=8 3+4 2, 1 2= 4 212 3+4 2 , 1+ 2= 1 1+2+ 2 2+2= 2 1 2+(2 +)( 1+ 2)+4 1 2+2( 1+ 2)+4 =2 4 212 3+4 2+(2 +) 8 3+4 2+4 4 212 3+4 2+2 8 3+4 2+4 =12(2 )4
22、( 2 4 +4 2)=32 . 由 ( 1+ 2) = 1 , 可得3 = 2 , 即 = 5 , 故 的方程为 = + 5 , 恒过定点(5,0) . 21. 【答案】(1) = = 1 (2) min () = (0) = 1 .(3) 的取值范围为(,1- . 【解析】(1)利用导数的几何意义可得出结果. (2)对 () 求导并讨论单调性, 即可得出() 的最小值. (3) 对 取值范围( 0, 1) 分类讨论() 单调性, 结合零点存在定理即可得出结果. 解:（本题满分 1） () = , () = + 由题意得 (0) = 0 (0) = 1 , 即 = 0 = 1 , 解得 =
23、= 1 (2) () = + 2 , () = + 2 , 则 () = . (1)当 0 时, 由 1, 1 , 则 () = + 2 0 时, 不等式 () 3+ 2 等价于 2+ + , 令() = 2 , 则 () = 2 + = () , (1)当 1 时, 由 (2) 知 () = () (0) = 1 0 , 所以() 单调递增, 所以() (0) = 0 , 满足题意. (2)当 1 时 , 由 (2) 知 () = () = 2 + 在(0,+) 上单调递增 , 令() = 2 , 则 () = 2 , 有 () = 2 , 所以当 (0,2) 时 () 0 , 所以 ( )
24、min = (2) = 2 2 2 0 , 所以 () 在(0,+) 上单调递增, 则() (0) 0 , 即 2 所以 (3 ) = 3 6 + 3 9 2 7 1 0 , 又 (0) = 1 0 , 所以存在唯一 0 (0,3 ) 使得 ( 0) = 0 , 且当 ( 0,0) 时, () 0,() 单调递减, 所以当 ( 0,0) 时,() (0) = 0 , 不满足题意 (ii) 当 0 , 所以() 单调递增, 所以() 1 时, 由 (2) 知 () = () 在(,0) 上单调递减 (2 ) = ;2 + 4 2 3 1 0 , 从而存在唯一 1 (2 ,0) 使得 ( 1) =
25、 0 , 且当 ( 1,0) 时, () (0) = 0 , 不满足题意 (iii) 当 = 0 时, 对任意的 , 原不等式恒成立. 综上得, 的取值范围为(,1- . 22. 【答案】(1) 3 4 = 0 (2) = 10(2 3) 【解析】 (1) 曲线 1 的参数方程消去参数即可求出曲线 1 的普通方程; (2) 首先曲线 2 的极坐标方程转化为普通方程, 可以得到曲线 2 是圆, 要使曲线 2 上恰有三 个点到曲线 1 的距离为12 , 圆心到直线的距离 = 12 , 求解方程即可. 解:（本题满分 1）由已知得 = 2( 3) 代入 = 1 +32 , 消去参数 得 曲线 1 的
26、普通方程为3 4 = 0 . (2) 由曲线 2 的极坐标方程 = 得 2= , 又 2= 2+ 2, = , = , 所以 2+ 2= , 即 . 2/2+ 2= .2/2 , 所以曲线 2 是圆心为.2,0/ , 半径等于2 的圆. 因为曲线 2 上恰有三个点到曲线 1 的距离为12 , 所以圆心 .2,0/ 到直线3 4 = 0 的距离 =212 , 即 212=|3 24|( 3)2+( 1)2 , 解得 = 10(2 3) . 23 【答案】(1) = 1 (2)证明见解析 【解析】(1) 解对值不等式 | | 3 0 , 再根据题意, 即可求出 的值; （2）由（本题满分 1）知 = 1 , 可得 + + = 1 , 对其两边平方, 再根据基本不等式, 即可求证结果. 解: (1)由 () 0 可得:| | 3 0 , 即| | 3 , 即 + 3 或 3 () 0 的解集为(,2- ,4,+) ， + 3 = 4 且 3 = 2 = 1 ; (2) 解: 由（本题满分 1） 知: = 1, + + = 1 ( + + )2= 1, 2+ 2+ 2+ 2 +2 + 2 = 1 2+ 2 2 2+ 2 2 2+ 2 2 2+ 2+ 2+ 2 + 2 + 2 = 1 3( + + ), + + 13 .
