1、四川省南充高中高四川省南充高中高 2023 届高三第二次模拟考试数学文科试卷届高三第二次模拟考试数学文科试卷 一一 选择题（共计选择题（共计 1212 道小题，每题道小题，每题 5 5 分，共计分，共计 6060 分）分） 1. 集合 = * 1 2+, = * 3+ , 则集合 和集合 的关系是 （ ） A. B. C. D. 2.已知 = (2,4),= (,1) , 则 “ 2 ” 是 “ 与 的夹角为钝角” 的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.复数 满足(1 i) + 1 = 0 , 则| = （ ） A.1 B.2 C.12
2、D.22 4.若 = 45,2 2 3 恒成立, 则实数 的取值范围是 （ ） A.(3,6) B.(6,3) C.(,3) (6,+) D.(,6) (3,+) 11.已知函数 () = 1 2,2 0 ,0 , 方程() = 恰有两个不同的实数根 1 、 2( 1 B. C. D. 二填空题（共计二填空题（共计 4 4 道小题，每题道小题，每题 5 5 分，共计分，共计 2020 分）分） 13.记 为正项等比数列* + 的前 项和, 若 3= 14,1= 2 , 则 2: 5 1: 4 的值为_。 14 已知向量 = (2,),= (,3) , 若 = 2 , 则 + = _ 15 棱长
3、为 6 的正方体内有一个棱长为 a 的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动， 则 a 的最大值为_ 16 已知函数 () = , 关于 的方程() 1()= 有三个不等的实根, 则实数 的取值范围是_. 三（共计三（共计 6 6 道小题，共道小题，共 7070 分，写出必要的文字说明和演算步骤）分，写出必要的文字说明和演算步骤） 17. （本题满分 12 分）随着飞盘运动在网络上火爆起来后，一些年轻人的热情被点燃正值暑假期间，飞盘运动迎来了众多的青少年. 某飞盘运动倶乐部为了解中学生对飞盘运动是否有兴趣，从某中学随机抽取 男生和女生各 50 人进行调查， 对飞盘运动有兴趣的人数占总人数的
4、34 ， 女生中有 5 人对飞盘运动没有兴趣. （1）完成下面 22 列联表，并判断是否有 99.9%把握认为对飞盘运动是否有兴趣与性别有关？ （2）按性别用分层抽样的方法从对飞盘运动有兴趣的学生中抽取 5 人，若从这 5 人中随机选出 2 人作为飞盘运动的宣传员，求选出的 2 人中至少有一位是女生的概率. 附: 2=( )2(+)(+)(+)(+) , 其中 = + + + . 18. （本题满分 12 分）已知向量 = (3 ,),= (,) , 函数() = . （1）求 () 的最小正周期及() 图象的对称轴方程; （2）若 04,41 , 求() 的值域. 19 （本题满分 12 分
5、）如图, 在直三棱柱 1 1 1 中, 点 为 的中点, 点 在 上, 且 = = 3 . （1）证明: 平面 1 1 平面 1 ; （2）若 = 60, 1= 2 , 且三棱锥 1 1 的体积为4 39 , 求 . 20. （本题满分 12 分） 已知椭圆 : 2 2+ 2 2= 1( 0) 的长轴长是短轴长的两倍, 且过点.3,12/ .（1）求椭圆 的方程.（2）设椭圆 的下顶点为点A , 若不过点A 且不垂直于坐标轴的直线 交椭圆 于, 两点, 直线 , 分别与 轴交于, 两点. 若, 的横坐标之积是 2, 证明: 直线 过定点. 21. （本题满分 12 分）已知函数 () = e,
6、() = + （1）已知 () + 1 恒成立, 求 的值; （2）当 0 时,() + () 2 0( R) , 求 的取值范围. 选做题选做题（本题满分（本题满分 1010 分）分） 22. 在平面直角坐标系 中, 设曲线 1 的参数方程为 = 3 +12 = 1 +32 ( 为参数), 以坐标原点 为极点, 以 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设曲线 2 的极坐标方程为 = ( 0) . （1）求曲线 1 的普通方程; （2）若曲线 2 上恰有三个点到曲线 1 的距离为12 , 求实数 的值. 23.已知函数 () = | | 3 , 且() 0 的解集为(,2- ,4,+) . （1）求
7、 的值; （2）若正实数 、 、 满足 + + = , 求证: + + 13 . 参考答案及解析参考答案及解析 一一 选择题（共计选择题（共计 1212 道小题，每题道小题，每题 5 5 分，共计分，共计 6060 分）分） 1. 【答案】C 【解析】可通过数轴判断两集合元素之间存在的关系, 再确认 、 集合之间的关系 将 、 集合呈现在数轴中, 可观察出 集合元素都在 集合中, 或 , 注意元素与集合之间的关系为属于或不属于 集合间的关系不能用属于。 结合题目选项, 故选 C。 2. 【答案】C 【解析】 = (2,4),= (,1) , 设 与 的夹角为 , 则 = | |=2 42 5
8、2+1 若 2 , 则 0 , 当 = 12 时, = 1 , 当 2 且 12 时, 与 的夹角为钝角. 故 “ 2 ” 是 “ 与 的夹角为钝角” 的必要不充分条件. 故选: . 3. 【答案】D 【解析】由题得： = 11= 1+(1)(1+)= 1+2= 1212 . 所以 | = .12/2+ .12/2=22 . 故选: . 4. 【答案】B 【解析】由已知可得 = 1 2 =35 , 所以 = 43 , 则. +4/ =1+1=1431(43)= 17 . 故选: . 5. 【答案】B 【解析】 因为 0= 3.07, = 6,0= 1 + , 所以 =3.0716= 0.345
9、 , 所以() = = 0.345 , 设在新冠肺炎疫情初始阶段, 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 1 天, 则 0.345( :1)= 2 0.345 , 所以 0.345 1= 2 , 所以 0.345 1= 2 , 所以 1=20.345 0.690.345= 2 天. 故选: B. 6. 【答案】A 【解析】因为 () =(2 )|= 2 = () , 所以() 为奇函数, 所以排除B,D , 又 .6/ =36 2 3 恒成立, 则 2 3 18 解得 3 6 , 所以实数 的取值范围是(3,6) . 故选: . 11. 【答案】C 【解析】作出函数 = () 的图象如下图所
10、示: 由图象可知, 当 3 1 时, 直线 = 与函数 = () 的图象有两个交点( 1,) 、( 2,) , 1 2 , 则 1 12= 2= , 可得 12= 1 2= , 则 12+ 2= + 1 , 构造函数 () = + 1 , 其中3 1 , 则 () = 1 . 当 3 0 时, () 0 , 此时函数 = () 单调递减; 当 0 0 , 此时函数 = () 单调递增. 所以,( )min = (0) = 2 , (3) =;3+ 4, (1) = , 显然(3) (1), ( )= (3) = ;3+ 4 . 因此, 12+ 2 的最大值和最小值之和为 ;3+ 4 + 2 =
11、 ;3+ 6 . 故选: C. 12. 【答案】C 【解析】对 , 5 6 6 7 =6576= 2 65 75 6 因为 5 7 (5+72)2= .12 35/2= 2 35 0 , 所以 5 6 6 7 0 , 即 ; 对 , , 又 30.2 e0.2 , 令() = e 1 , 则 () = e 1 , 所以当 0 时, () 0 , 当 0 时, () e0.2 1 + 0.2 = 1.2 , 令() =5 5 , 则 () =151 5= 555 5 , 所以当 55 时， () 0 , 所以() 在.55,+/ 上单调递增, 显然5 55 , 又 (5) = 0 , 即(6)
12、=65 5 6 (5) = 0 , 即65 5 6 , 所以 30.2 e0.265 5 6 , 即 . 故选: C 二填空题（共计二填空题（共计 4 4 道小题，每题道小题，每题 5 5 分，共计分，共计 2020 分）分） 13 设正项等比数列 * + 的公比为 0 , 3= 14,1= 2 , 2( 1 + + 2) = 14 , 解得 = 2 .则 2: 5 1: 4=( 1: 4) 1: 4= = 2 . 14 因为向量 = (2,),= (,3) , 且 = 2 , 所以(2,) = 2(,3) = (2 ,6) 所以22 = 2 = 6 , 解得 = 6, = 1 ,则 + =
13、6 + 1 = 7 . 15 由题意得： 该四面体在棱长为 6 的正方体的内切球内, 该四面体内接于球时棱长最大, 棱长为 6 的正方体的内切球半径 = 3 , (23 2 .12 /2)2+ ( 2 (23 2 .12 /2)2 3)2= 32 解得 = 2 6 . 16 由题意得 () =1 2, 0 ,当0 0,() 递增; 当 e 时, () 0,() 递减,且( )max = (e) =1e ; 可知函数() 的图象如图所示,令 = () , 则方程() 1()= 有三个不等的实根, 即为 2 + 1 = 0 有两个不等的实根,令() = 2 1 , 则() = 2 1 = 0 有两
14、个不等的实根,则 1 2= 1 0 , 所以不妨令 1 0 21e ,则(0) = 1 0 ,解得 10.828 , 所以有 99.9 % 的把握认为对飞盘运动是否有兴趣与性别有关. （2）用分层抽样的方法从对飞盘运动有兴趣的学生中抽取 5 人, 其中男生有 3075 5 = 2 人, 记为, , 女生有 3 人, 记为, , 从这 5 人中随机选出 2 人的不同结果有: , , , , , , , , , ，共 10 个， 其中, 至少有一位是女生的结果有: , , , , , , , , , 共 9 个, 所以选出的 2 人中至少有一位是女生的概率 =910 . 18. 【答案】 （1）最
15、小正周期 , 对称轴方程为 =6+12 , （2）132,32 【解析】 （1）因为 = (3 ,),= (,) 且() = , 所以 () =32 2 + 2 =32 2 +1+2 2= .2 +6/ +12 , 即() = .2 +6/ +12 , () 的最小正周期 =2 2= , 令2 +6=2+ , , 解得 =6+12 , , 即 () 图象的对称轴方程为 =6+12 , . （2） 04,41, 2 +6 03,2 31, .2 +6/ 32,1 , 所以 () = .2 +6/ +12 132,32 . 19 【答案】 （1）证明见解析； （2） = 2 . 【解析】 （1）证
16、明: 在直三棱柱 1 1 1 中, 1 平面 1 1 1, 1 1 1 , 点 为 的中点, = , , / / 1 1, 1 1 , 1= , , 1 平面 1 , 1 1 平面 1 , 1 1 平面 1 1 , 平面 1 1 平面 1 . （2） = 60, 为正三角形, 设 = , 则 1= 2 = 2 , 由 (1) 可得, 平面 1 1 , 依题意得 =13 , 故点 到平面 1 1 的距离为：13 =13 32 =36 , 1 1=12 1=12 2 = 2 ， ;1 1= ;1 1=13 1 1 36 =13 2 36 =318 3 , 三棱锥 1 1 的体积为4 39, 318
17、 3=4 39, = 2, = 2 . 20. 【答案】 （1） 24 +2= 1 ; （2）证明见解析. 【解析】 （1）依题意, = 2 , 椭圆 方程为: 2 4 2+ 2 2= 1 , 又椭圆 过.3,12/ , 于是有 3 4 2+14 2= 1 , 解得 2= 1,2= 4 , 所以椭圆 的方程为 24 +2= 1 . （2）由（1） 知 (0,1) , 依题意, 设直线 的方程为 = + ( 0, 1),( 1, 1) ,( 2, 2) , 直线 的方程为 = 1+1 1 1 , 令 = 0 , 得点 的横坐标为 = 1 1+1 , 同理得点 的横坐标为 = 2 2+1 , 由
18、= + 2+ 4 2= 4 消去 并整理得,( 4 2+ 1) 2+ 8 + 4 2 4 = 0 , = 6 4 2 2 4( 4 2+ 1)( 4 2 4) 0 , 即 2 0 , 函数() 在 上单调递增, 当 0 时,() 0 时, 当 时, () 时, () 0 , 即函数() 在(,) 上递减, 在(,+) 上递增, 于是得 ( )= () = 1 , 因此 1 0 , 令 () = 1,() = , 当 0 0 , 当 1 时, () 2 时, 则存在 0 (0,+) , 使得 ( 0) = 0 , 显然函数 () 在,0,+) 上单调递增, 即当 0 0 时, () 0 , 则函
19、数() 在( 0,0) 上单调递减, 当 ( 0,0) 时,() (0) = 0 , 与已知矛盾, 所以 的取值范围是 2 . 22 【答案】 （1）3 4 = 0 （2） = 10(2 3) 【解析】 （1）由已知得 = 2( 3) 代入 = 1 +32 , 消去参数 得曲线 1 的普通方程为3 4 = 0 . （2）由曲线 2 的极坐标方程 = 得 2= , 又 2= 2+ 2, = , = , 所以 2+ 2= , 即 . 2/2+ 2= .2/2 , 所以曲线 2 是圆心为.2,0/ , 半径等于2 的圆. 因为曲线 2 上恰有三个点到曲线 1 的距离为12 , 所以圆心 .2,0/
20、到直线3 4 = 0 的距离 =212 , 即 212=|3 24|( 3)2+( 1)2 , 解得 = 10(2 3) . 23 【答案】 （1） = 1 （2）证明见解析 【解析】 （1）由 () 0 可得:| | 3 0 , 即| | 3 , 即 + 3 或 3 () 0 的解集为(,2- ,4,+), + 3 = 4 且 3 = 2 = 1 ； （2）由 (1) 知: = 1, + + = 1 ( + + )2= 1 ， 2+ 2+ 2+ 2 + 2 + 2 = 1 2+ 2 2 2+ 2 2 2+ 2 2 2+ 2+ 2+ 2 + 2 + 2 = 1 3( + + ) , + + 13
