1、2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（面积问题）1一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，你能求出APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将PBC绕点B逆时针旋转90，得到BA，连接P，求出APB的度数思路二：将APB绕点B顺时针旋转90，得到CB，连接P，求出APB的度数请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程2如图，已知在ABC中，ABAC，D、E是BC边上的点，将ABD绕点A旋转，得到AC，连接E(1)当BAC120，DAE60时，求证：DEE；(2)当DEE时，DAE与BAC有怎样的数量
2、关系？请写出，并说明理由(3)在（2）的结论下，当BAC90，BD与DE满足怎样的数量关系时，EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）3如图，平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F(1)证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明4如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为(1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为
3、_，旋转角_；(2)如图2，G为的中点，且，求证：；(3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由5将两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，现将绕A点按逆时针方向旋转如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P(1)若是等腰三角形，则旋转角的度数为_(2)在旋转过程中，连接AP，CE，求证：AP所在的直线是线段CE的垂直平分线(3)在旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由6旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题
4、如图，在四边形ABCD中，【问题提出】(1)如图，在图的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60，得到，则的形状是_；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；【类比应用】(3)如图，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长7如图1，在等腰三角形ABC中，A120，ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，ADAE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点(1)观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是 ，MNP的大小为 ；(2)探究证明：把ADE绕点A顺时针方向旋转到如图
5、2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断MNP的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：当BAC90，ABAC10，ADAE6时，把ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请求出MNP面积的最大值8如图1，在平面直角坐标系中，ABO为直角三角形，ABO90，AOB30，OB3，点C为OB上一动点(1)点A的坐标为 ；(2)连接AC，并延长交y轴于点D，若OAD的面积恰好被x轴分成12两部分，求点C的坐标；(3)如图2，若OAC30，将OAB绕点O顺时针旋转，得到OAB，如图2所示，OA所在直线交直线AC于点P，当OAP为直角三角形时，直接写出点的坐标9如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，点P为射线的
6、交点(1)如图，将绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接、，求证：且(2)若，把绕点A旋转，当时，求的长；旋转过程中线段长的最小值是_10（1）模型探究：如图1，已知ABC，以A为旋转中心将边AB顺时针旋转至AD，将边AC逆时针旋转至AE，旋转角均为（0180），连接BE，CD请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；ABE可以认为是由ADC经过怎样的变换得到的？（2）创新应用：如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P为坐标平面内一动点，且，连接PA，以点A为旋转中心，将线段PA顺时针旋转60至BA，连接OB，请直接写出的最大值及此时点P的坐标11如图，在平行四边形ABCD中，点G
7、是线段AB上一点，连接CG、DG，满足CGCD(1)如图1，过点G作GHCD于点H，若AB8，GH2，求DG；(2)如图2，若DAB60，DAB的角平分线交CD于点E，过点E作EFAD，满足EF+AGAD，连接DF、CF，求证：DCFGCF拓展：如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，直接写出CG的最小值. 12菱形的对角线，交于点O(1)如图1，过菱形的顶点A作于点E，交于点H，若，求的长；(2)如图2，过菱形的顶点A作，且，线段交于点H，交于点E当D，C，F三点在同一直线上时，求证：；(3)如图3，菱
8、形中，点P为直线上的动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转60得到线段，连接，当线段的长度最小时，直接写出的度数13如图1，把一块含30的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上(1)填空：1 ，2 ；(2)现把三角板绕B点逆时针旋转n如图2，当0n90，且点C恰好落在DG边上时，请直接写出2 （结果用含n的代数式表示）；若1与2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值(3)若把三角板绕B点顺时针旋转n当0n180时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行？如果存在，请直接写出所有n的值；如果不存在，请说明理由14【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形
9、中，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60得到，连接当B，E，F，D四个点满足_时，的值最小，最小值为_【解法探索】(2)如图2，在中，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值（提示：分别将绕点C顺时针旋转60得到，连接）【拓展应用】(3)在中，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值15【问题背景】如图1，点、分别在正方形的边、上，连接，我们可以通过把绕点逆时针旋转90到，容易证得： (1)【迁移应用】如图2，四边形中，点、分别在边、上，若、都不是直角，且，试探究、之间的数量关系，并说明理由(2)【联系拓展】如图3，在中，点、均在边BC上，且猜想、满足的
10、等量关系（直接写出结论，不需要证明）16（1）问题发现如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，求的度数针对此问题，数学王老师给出了下面的思路：如图2，将绕点A逆时针旋转60得到，连结，得到等边三角形，在中，根据三角形三边关系以及勾股定理请根据王老师的思路提示，完成本题的解答；（2）类比延伸如图3，在正方形ABCD内部有一点P，若，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由17如图，正方形ABCD中分别交BC，CD于点E，F，连接EF(1)如图，若，试求的度数；(2)如图，以点A为旋转中心，旋转，旋转时保持当点E，F分别在边BC，CD上时，AE和AF是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个
11、角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理由；(3)如图，在的条件下，当点E，F分别在BC，CD的延长线上时，中的结论是否成立？只需回答结论，不需说明理由18如图，在中，分别是边，的中点，连接将绕点顺时针旋转（）得到，点的对应点是点，连接，(1)求证：；(2)若，求的值19把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：，(1)如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，求出此图中的度数；(2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当平分时，求为多少度；(3)如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周
12、，当旋转多少度时，两条斜边，请直接写出答案20如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转(1)旋转至如图位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L已知旋转开始时，即图位置CDG37，求正方形EFGH从图位置旋转至图位置时，旋转角的度数(2)旋转至如图位置，DE交BC于点L延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明答案1APB =135，2 (2)DAEBAC，(3)DEBD3(3)454(1)1，30(3)能，为或5(1)60或15(3)能，或6(1)等边三角
13、形(2)(3)7(1)MNNP，MNP60；(2)MNP是等边三角形， (3)MNP面积的最大值是328(1)(2)点C的坐标为或(3)点的坐标或或 或 9 (2)或；10（1），以点A为旋转中心，逆时针旋转角得到的；（2）90；11(1)4(2)拓展：12(1)(3)13(1)120，90(2)或(3)14(1)四点共线，(2)的值最小时，此时(3)15(1)， (2)16（1）；（2） 17(1)62(2)AE是FEB的平分线，AF是EFD的平分线， (3)AE仍然是FEB的平分线，AF不是EFD的平分线18 (2)19(1)；(2)；(3)当旋转的角度为或，两条斜边20(1)16(2)DLEN+GM，
