1、 浙江省宁波市海曙区二校联考八年级上期中数学试卷浙江省宁波市海曙区二校联考八年级上期中数学试卷 一、精心选一选（本题有一、精心选一选（本题有 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列四个手机 APP 图标中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 2如果一个三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长不可能是（ ） A2 B4 C6 D8 3已知ABCDEF，A40，B50，则D 的度数为（ ） A40 B50 C60 D90 4若 ab，则下列不等式一定成立的是（ ） A2ab+2 B3a+13b+1 Cab D|a|b| 5如图，ABC 中的边 BC 上的高是（
2、 ） AAF BDB CCF DBE 6如图，已知ABCDCB，下列所给条件不能证明ABCDCB 的是（ ） AAD BACBD CACBDBC DABDC 7对假命题“若 axa，则 x1”举反例，正确的反例是（ ） Aa1 Ba0 Ca1 Da2 8如图，在ABC 中，B65，C30，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则BAD 的度数为（ ） A45 B55 C60 D65 9如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F若 AC
3、9，AB15，则 CE 的长为（ ） A4 B C D5 10勾股定理是人类最伟大的科学发现之一如图 1，以 RtABC 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为 S1，S2，S3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形 DEFG）的面积为（ ） A2S1+S2+S3 B2S2+2S3 C3S1 DS1+S2+S3 二、细心填一填（本题有二、细心填一填（本题有 8 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 24 分）分） 11命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 12 “x 的 2 倍与 6 的和不小于 1”用不等式
4、表示为 13在ABC 中，A90，B4C，则C 为 度 14如图，课间小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直） 已知DC1.5，CE2则两条凳子的高度之和为 15已知 RtABC 两边长为 5 和 12，则其斜边上的中线为 16若关于 x 的不等式组有且仅有 3 个整数解，则实数 a 的取值范围是 17已知在 RtABC 中，C90，BC，AC3，点 D 是斜边 AB 的中点，点 E 是边 AC 上一点，则 DE+BE 的最小值为 18已知等腰ABC 中，ADBC 于点 D，且 ADBC，则等腰ABC 的底角的度数为 三、耐心做一做（共三、耐心做一做（共 46
5、分）分） 19 （8 分）解下列不等式（组） （1）解不等式 7x28x+3； （2）解不等式组 20 （6 分）在如图所示的 66 的网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位 （1）请你在图 1 中画一个以格点为顶点，面积为 6 个平方单位的等腰三角形： （2）请你在图 2 中画一个以格点为顶点，一条边长为的直角三角形（各边均为无理数） 21 （6 分）如图，E 为 BC 上一点，ACBD，ACBE，BCDB求证：ABED 22 （8 分）深圳文博会期间，某展商展出了 A、B 两种商品，已知用 120 元可购得的 A 种商品比 B 种商品多 2 件，B 种商品的单价是 A 种商品的 1.5
6、 倍 （1）求 A、B 两种商品的单价各是多少元？ （2）小亮用不超过 260 元购买 A、B 两种商品共 10 件，并且 A 种商品的数量不超过 B 种商品数量的 2倍，那么他有哪几种购买方案？并说明哪种是最优方案 23 （8 分）如图，BDBE，DE，ABCDBE90，BFAE，且点 A，C，E 在同一条直线上 （1）求证：DABECB； （2）若 AD3，AF1，求 BE 的长 24 （10 分）如图，ABC 中，BABC，COAB 于点 O，AO2，BO3 （1）求 BC，AC 的长； （2）若点 D 是射线 OB 上的一个动点，作 DEAC 于点 E，连结 OE 当点 D 在线段 O
7、B 上时，若AOE 是以 AO 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 OD 的长； 设 DE 交直线 BC 于点 F，连结 OF，CD，若 SOBF：SOCF1：4，则 CD 的长为 （直接写出结果） 四、附加题（四、附加题（10 分）分） 25 （5 分）如图，长方形 ABCD 中，AB12，BC15，E 是 BC 上一点，且 BE3，F 为 AB 上一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45，到 EG 的位置，连接 CG，则 CG 的最小值为 26 （5 分）如图，点 P 为ABC 内部一点，使得PBC30，PBA6，且PABPAC24，求APC 的度数 参考答案解析参
8、考答案解析 一、精心选一选（本题有一、精心选一选（本题有 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列四个手机 APP 图标中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：B 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 2如果一个三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长不可能是（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】
9、根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数不在这个范围内即可 【解答】解：设第三边长 x 根据三角形的三边关系，得 1x7 8 不在第三边长的取值范围内，所以不能取 故选：D 【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 3已知ABCDEF，A40，B50，则D 的度数为（ ） A40 B50 C60 D90 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解：ABCDEF，A40， DA40， 故选：A 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键 4若 ab，则下列不等式一定成立的是（ ）
10、A2ab+2 B3a+13b+1 Cab D|a|b| 【分析】 根据不等式的性质逐个判断即可 不等式的性质 1： 不等式的两边都加或减同一个数 （或式子） ， 不等号的方向不变；不等式的性质 2：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质 3：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变 【解答】解：A不妨设 a1，b0， 则 2ab+2，故本选项不符合题意； Bab， 3a3b， 3a+13b+1，故本选项符合题意； Cab， ab，故本选项不符合题意； D不妨设 a1，b2， 则|a|b|，故本选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查了不等式的性质，能灵活
11、运用不等式的性质进行变形是解此题的关键 5如图，ABC 中的边 BC 上的高是（ ） AAF BDB CCF DBE 【分析】根据三角形高的定义即可解答 【解答】解：ABC 中的边 BC 上的高是 AF， 故选：A 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高 6如图，已知ABCDCB，下列所给条件不能证明ABCDCB 的是（ ） AAD BACBD CACBDBC DABDC 【分析】利用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 进行分析即可 【解答】解：A、添加AD 可利用 AAS 判定ABCDCB，故此选项错误； B、添加
12、ACBD 不能判定ABCDCB，故此选项正确； C、添加ACBDBC 可利用 ASA 判定ABCDCB，故此选项错误； D、添加 ABCD 可利用 SAS 判定ABCDCB，故此选项错误； 故选：B 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 7对假命题“若 axa，则 x1”举反例，正确的反例是（ ） Aa1 Ba0 Ca1 Da2 【分析】利用不等式的性质直接写出答案即可 【解答】解：根据不等式的两边
13、同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变可知： 当 a1 时，若 axa，则 x1， 故选：A 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的基本性质，难度不大 8如图，在ABC 中，B65，C30，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则BAD 的度数为（ ） A45 B55 C60 D65 【分析】根据内角和定理求得BAC85，由中垂线性质知 DADC，即DACC30，从而得出答案 【解答】解：在ABC 中， B65，C30， BAC180BC85， 由作图可知 MN 为 AC 的中垂线， DA
14、DC， DACC30， BADBACDAC55， 故选：B 【点评】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键 9如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F若 AC9，AB15，则 CE 的长为（ ） A4 B C D5 【分析】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA90，FAD+AED90，根据角平分线和对顶角相等得出CEFCFE，即可得出 ECFC，再证明 RtACFRtAGF 得 AG，最后利用勾股定理列出方程进行解答 【解答】解：过点 F 作 FGAB 于点 G， ACB90，CDAB，
15、CDA90， CAF+CFA90，FAD+AED90， AF 平分CAB， CAFFAD， CFAAEDCEF， CECF， AF 平分CAB，ACFAGF90， FCFG， ACB90，AC9，AB15， BC， 在 RtACF 和 RtAGF 中， ， RtACFRtAGF（HL） ， ACAG9， 设 CEx，则 FCFGx，BF12x，BG1596， FG2+BG2BF2，即 x2+62（12x）2， 解得 x， 即 CE， 故选：B 【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及勾股定理的应用等知识，关键是推出CEFCFE 和由勾股定理列出方程，体现
16、了方程思想 10勾股定理是人类最伟大的科学发现之一如图 1，以 RtABC 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为 S1，S2，S3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形 DEFG）的面积为（ ） A2S1+S2+S3 B2S2+2S3 C3S1 DS1+S2+S3 【分析】根据勾股定理得到 a2c2+b2，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形 DEFG）的面积 【解答】解：设直角三角形的斜边长为 a，较长直角边为 c，较短直角边为 b， 由勾股定理得，a2c2+b2，
17、 a2c2b20， S阴影a2c2（b2S四边形DEFG）a2c2b2+S四边形DEFGS四边形DEFG S四边形DEFGS1+S2+S3， 故选：D 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2c2关键是弄清阴影部分与两小正方形重叠部分面积相等 二、细心填一填（本题有二、细心填一填（本题有 8 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 24 分）分） 11命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 两直线平行，同旁内角互补 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两
18、直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补 【解答】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补 【点评】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命 题称为另一个命题的逆命题 12 “x 的 2 倍与 6 的和不小于 1”用不等式表示为 2x+61 【分析】根据“x 的 2 倍”即 2x，再利用“与 6 的和”得出 2x+6，结合不小于即大于等于得出不等式即可 【解答】解：由题意可得：2x+61 故
19、答案为：2x+61 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解不小于即大于等于是解题关键 13在ABC 中，A90，B4C，则C 为 18 度 【分析】根据直角三角形的两锐角互余、结合题意列出方程组，解方程组得到答案 【解答】解：A90， B+C90， 则， 解得：， 则C 为 18， 故答案为：18 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键 14如图，课间小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直） 已知DC1.5，CE2则两条凳子的高度之和为 3.5 【分析】利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出
20、即可 【解答】解：由题意可得：ACD+BCE90，ACD+DAC90， 则DACBCE， 在ACD 和CBE 中， ， ACDCBE（AAS） ， 故 DCBE1.5，ADCE2， 则两条凳子的高度之和为：1.5+23.5 故答案为：3.5 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，得出ACDCBE 是解题关键 15已知 RtABC 两边长为 5 和 12，则其斜边上的中线为 6.5 或 6 【分析】分为两种情况当 AC5，BC12 时，由勾股定理求出 AB，根据直角三角形斜边上中线得出CDAB，求出即可； 当 AC5，AB12 时，根据直角三角形斜边上中线得出 CDAB，求出即可 【解答】解：
21、分为两种情况：当 AC5，BC12 时， 由勾股定理得：AB13， CD 是斜边 AB 上的中线， CDAB6.5； 当 AC5，AB12 时， CD 是斜边 AB 上的中线， CDAB6； 即 CD6.5 或 6， 故答案为：6.5 或 6 【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，要进行分类讨论 16若关于 x 的不等式组有且仅有 3 个整数解，则实数 a 的取值范围是 1a0 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案 【解答】解：解不等式 2x50 得：x2.5， 解不等式 xa0 得：xa， 关于 x 的不
22、等式组有且仅有 3 个整数解， 1a0， 故答案为：1a0 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键 17已知在 RtABC 中，C90，BC，AC3，点 D 是斜边 AB 的中点，点 E 是边 AC 上一点， 则 DE+BE 的最小值为 3 【分析】作 B 关于 AC 的对称点 B，连接 BD，易求BAB30，则 ABAB，且ABB为等边三角形，证明 BDAC，当 B、E、D 三点共线时，BE+DE 的值最小为 BD，由此便可得结果 【解答】解：作 B 关于 AC 的对称点 B，连接 BD，AB，如图， ACB90，BC
23、，AC3， tanBAC， BAC30， ABC60， ABAB， ABB为等边三角形， ABBBAB， D 是 AB 的中点， BDAB， ， BBAC3， BEBE， BE+DEDE+EBBD， 当 B、E、D 三点共线时，BE+DE 的值最小为 BD3， 故答案为：3 【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键 18已知等腰ABC 中，ADBC 于点 D，且 ADBC，则等腰ABC 的底角的度数为 15或 45或 75 【分析】 分三种情况讨论， 先根据题意分别画出图形， 当 ABAC 时， 根据已知条件得出 ADBDCD，从而得出AB
24、C 底角的度数； 当 ABBC 时， 先求出ABD 的度数， 再根据 ABBC， 求出底角的度数，当 ABBC 时，根据 ABBC，求出底角的度数 【解答】解：如图 1，当 ABAC 时， ADBC， BDCD， ADBC， ADBDCD， 底角为 45； 如图 2，当 ABBC 时， ADBC， ADAB， ABD30， BACBCA75， 底角为 75 如图 3，当 ABBC 时， ADBC， ADAB， ABD30， BACBCA15， 底角为 15 综上所述，ABC 底角的度数为 15或 45或 75， 故答案为：15或 45或 75 【点评】此题考查了含 30 度角的直角三角形和等腰
25、三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解 三、耐心做一做（共三、耐心做一做（共 46 分）分） 19 （8 分）解下列不等式（组） （1）解不等式 7x28x+3； （2）解不等式组 【分析】 （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为 1 可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【解答】解： （1）移项，得：7x8x3+2， 合并同类项，得：x5， 系数化为 1，得：x5； （2）， 解不等式得：x2， 解不等式得：x3， 则不等式组的解集为 x2 【点评】本题考查的是解一元一次不
26、等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 20 （6 分）在如图所示的 66 的网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位 （1）请你在图 1 中画一个以格点为顶点，面积为 6 个平方单位的等腰三角形： （2）请你在图 2 中画一个以格点为顶点，一条边长为的直角三角形（各边均为无理数） 【分析】 （1）画一个底为 6，高为 2 的等腰三角形即可； （2）画一个斜边为的等腰直角三角形即可 【解答】解： （1）如图 1 中，ABC 即为所求（答案不唯一） ； （2）如图 2 中，DEF 即为所求（答案不唯一） 【点评】
27、本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型 21 （6 分）如图，E 为 BC 上一点，ACBD，ACBE，BCDB求证：ABED 【分析】根据全等三角形的判定与性质即可求出答案 【解答】解：ACBE， CEBD， 在ABC 与EDB 中， ， ABCEDB（SAS） ， ABED 【点评】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于基础题型 22 （8 分）深圳文博会期间，某展商展出了 A、B 两种商品，已知用 120 元可购得的 A 种商品比 B 种商品多 2 件，B 种商品
28、的单价是 A 种商品的 1.5 倍 （1）求 A、B 两种商品的单价各是多少元？ （2）小亮用不超过 260 元购买 A、B 两种商品共 10 件，并且 A 种商品的数量不超过 B 种商品数量的 2倍，那么他有哪几种购买方案？并说明哪种是最优方案 【分析】 （1）设 A 种商品的单价为 x 元，则 B 种商品的单价为 2x 元，由题意：用 120 元购买 A 种商品的数量比用 150 元购买 B 种商品的数量多 9 件，列出方程，解方程即可； （2）设购买 A 商品的件数为 m 件，则购买 B 商品的件数为（10m）件，根据不等关系：购买 A 种商品的数量不超过 B 种商品数量的 2 倍，购买
29、的 A、B 两种商品的总费用不超过 260 元可分别列出不等式，联立求解可得出 m 的取值范围，进而讨论各方案即可 【解答】解： （1）设 A 种商品的单价为 x 元，则 B 种商品的单价为 1.5x 元， 由题意得：2+， 解得：x20， 经检验，x20 是原方程的解， 则 1.5x30， 答：A、B 两种商品的单价分别为 20 元、30 元； （2）设购买 A 种商品的件数为 m 件，则购买 B 种商品的件数为（10m）件， ， 解得：4m， m 是整数， m4、5、6， 故有如下三种方案： 方案 （1） ： m4， 10m6， 即购买 A 商品的件数为 4 件， 购买 B 商品的件数为
30、6 件， 总费用为 420+630260； 方案 （2） ： m5， 10m5， 即购买 A 商品的件数为 5 件， 购买 B 商品的件数为 5 件， 总费用为 520+530250； 方案 （3） ： m6， 30m4， 即购买 A 商品的件数为 6 件， 购买 B 商品的件数为 4 件， 总费用为 620+430240； 答：三种购买方案，当购买 A 商品的件数为 6 件，购买 B 商品的件数为 4 件，总费用为 620+430240 是最优方案 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识；解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式 23 （8 分）如图，BDBE
31、，DE，ABCDBE90，BFAE，且点 A，C，E 在同一条直线上 （1）求证：DABECB； （2）若 AD3，AF1，求 BE 的长 【分析】 （1）根据角的和差得到ABDCBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2） 根据全等三角形的性质得到 ABBC， ADCE， 根据等腰直角三角形的性质得到 CFBFAF1，BFE90，根据勾股定理即可得到结论 【解答】 （1）证明：ABCDBE90， ABDCBE， BDBE，DE， DABECB（ASA） ； （2）解：DABECB； ABBC，ADCE， ABC90，BFAE， CFBFAF1，BFE90， EFCF+CE4， BE
32、【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 24 （10 分）如图，ABC 中，BABC，COAB 于点 O，AO2，BO3 （1）求 BC，AC 的长； （2）若点 D 是射线 OB 上的一个动点，作 DEAC 于点 E，连结 OE 当点 D 在线段 OB 上时，若AOE 是以 AO 为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的 OD 的长； 设 DE 交直线 BC 于点 F， 连结 OF， CD， 若 SOBF： SOCF1： 4， 则 CD 的长为 或 4 （直接写出结果） 【分析】 （1）根据 BABC 可得 B
33、C 的长，分别根据勾股定理可得 OC 和 AC 的长； （2）分两种情况：AOOE 和 AOAE 时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题； 分两种情况： i）当 D 在线段 OB 上时，如图 3，过 B 作 BGEF 于 G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得 ，可得 BF，证明BDF 是等腰三角形，得 BDBF，最后利用勾股定理可得结论； ii）当 D 在线段 OB 的延长线上时，过 B 作 BGDE 于 G，同 i）计算可得结论 【解答】解： （1）AO2，BO3， AB5， BABC， BC5， COAB， AOCBOC90， 由勾股定理得：CO4， AC
34、2； （2）分两种情况： i）当 AOOE4 时，过 O 作 ONAC 于 N，如图 1 所示： ANEN， DEAC， ONDE， ON 是ADE 的中位线， ODAO2； ii）当 AOAE4 时，如图 2 所示： 在CAO 和DAE 中， ， CAODAE（ASA） ， ADAC2， ODADAO22； 综上所述，OD 的长为 2 或 22； 分两种情况： i）当 D 在线段 OB 上时，过 B 作 BGEF 于 G，如图 3 所示： SOBF：SOCF1：4， ， ， CB5， BF， EFAC， BGAC， GBFACB， AEBG， ADBG， ABBC， AACB， DBGGBF
35、， BGDF， BDF 是等腰三角形， BDBF， ODOBBD3， CD； ii）当 D 在线段 OB 的延长线上时，过 B 作 BGDE 于 G，如图 4 所示： 同理得：， BC5， BF1， 同理得：BDF 是等腰三角形， BDBF1， ODBO+BD3+14， RtCOD 中，CD4； 综上所述，CD 的长为或 4， 故答案为：或 4 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明BDF 是等腰三角形是解题的关键 四、附加题（四、附加题（10 分）分） 25 （5 分）如图，长方形 ABC
36、D 中，AB12，BC15，E 是 BC 上一点，且 BE3，F 为 AB 上一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45，到 EG 的位置，连接 CG，则 CG 的最小值为 3+6 【分析】 将线段 BE 绕点 E 顺时针旋转 45得到线段 ET， 连接 DE 交 CG 于点 J， 首先证明ETG90，推出点 G 在射线 TG 上运动，推出当 CGTG 时，CG 的值最小 【解答】解：如图，将线段 BE 绕点 E 顺时针旋转 45得到线段 ET，连接 DE 交 CG 于点 J， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD12，BBCD90， BETFEG45， BETTEG， EB
37、ET，EFEG， EBFETG（SAS） ， BETG90， 点 G 在射线 TG 上运动， 当 CGTG 时，CG 的值最小， BC15，BE3，CD12， CECD12，DE12， CEDBET45， TEJ90ETGJGT90， 四边形 ETGJ 是矩形， DEGT，GJTEBE3， CJDE， JEJD， CJDE6， CGCJ+GJ3+6， CG 的最小值为 3+6， 故答案为：3+6 【点评】本题考查旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题 26 （5 分）如图，点 P 为AB
38、C 内部一点，使得PBC30，PBA6，且PABPAC24，求APC 的度数 【分析】作辅助线，在 AC 的延长线上截取 AFAB，连 BF，PF，延长 AP 交 BC 于 D，交 BF 于 E，则可证得APBAPF， 则 AP 为 BF 的垂直平分线， 结合PBA8可得CBF30CBP， BFP60BPF，可得 BC 平分 PF，进一步可求出APC 的度数 【解答】解：在 AC 的延长线上截取 AFAB，连 BF，PF，延长 AP 交 BC 于 D，交 BF 于 E， BPEBAP+ABP24+630PBC， 在ABP 和AFP 中， ， 则APBAPF， AP 垂直平分 BF，AFPABP6， FPEBPE30， CBF30CBP，BFP60BPF， BC 垂直平分 PF， CPFCFP6， DPC36， APC18036144
