1、12.5 12.5 因式分解因式分解 12.5.1 12.5.1 提公因式法提公因式法 故事故事：有一次，司马光跟小伙伴们在后院里玩耍，捉迷藏。院子里有一口大水缸，有个小孩爬到缸沿上玩，一不小心，掉到缸里。缸大水深，眼看那孩子快要没命了。别的孩子们一见出了事，吓得边哭边喊，跑到外面向大人求救。司马光想了想，急中生智，从地上捡起一块大石头，使劲向水缸砸去，“砰！”水缸破了，缸里的水流了出来，里面被淹在水里的小孩也得救了。 一、导入激趣一、导入激趣 ma+mb+mc 因式分解因式分解 整式乘法整式乘法 m(a+b+c) 因式分解与整式乘法是相反方向的因式分解与整式乘法是相反方向的变形变形 整式的乘
2、法与因式分解有什么关系？整式的乘法与因式分解有什么关系？ 类比与比较类比与比较 因式分解因式分解： mambmc把公因式提出来，多项式把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可就可以分解成两个因式以分解成两个因式m和和(a+b+c)的乘积。像这的乘积。像这种因式分解的方法，叫做种因式分解的方法，叫做提取公因式法提取公因式法。 ()mambmcm abc二、自主学习二、自主学习,探索发现探索发现 解解: 公因式公因式 多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式, ,称之为称之为公因式公因式 提公因式法提公因式法 注意注意：各项：各项系数系数都是整数时，因式的系数应取都是整数时，因
3、式的系数应取各项系数的各项系数的 ；字母字母取各项的取各项的 的字母，而且各字母的的字母，而且各字母的指数指数取取 的的. . 1、说出下列多项式各项的公因式、说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； (2)4kx 8ky ； (3)5y3+20y2 ； 最大公约数最大公约数 相同相同 次数最低次数最低 三、合作探究三、合作探究 2、对下列各式因式分解 （1）3x+6 = （2）7x221x = （3）8a3b212ab3c+ab= （4）24x312x2+28x = （5）48mn24m2n3 = （6）2x2y+4xy22xy= 3(x+2) 7x(x-3) ab(8a a2
4、 2b b- -12b12b2 2c+1c+1) -4x(6xx(6x2 2+3x+3x- -7 7 ) ) -24mn(2+mn2) -2xy(x-2y+1) 四、当堂检测： 将下列各式分解因式 (1)8x-72 = (2)a2b-5ab = (3)4m3-6m2 = (4)a2b-5ab+9b = (5)-2x3+4x2-2x= (6)-64x2y2z-32xy3z+48xy2z2 = 8(x-9) ab(a-5) 2m2(m-3) b(a a2 2- -5a+95a+9) -2x2x(x x2 2-2x+1) - -16xy16xy2 2z(4x+2yz(4x+2y- -3z)3z) 总
5、结记忆用提公因式法分解因式的技巧 各项有“公”先提“公”， 首项有负常提负 某项提出莫漏1 括号里面分到“底” 故事二：文化大革命时期,有一个工人生了一个儿子,取名爱国,一年后,老二出生了,这位工人毫不含糊地为他取名爱民,又过了一年,老三出生了,憨厚的工人想了想,给老三取名为爱党,老三满月那天,造反派来了,把这位工人抓走了,工人问:“我犯了什么错误,你们抓我?”造反派头头说:“你的大儿子叫什么?”“爱国。”“二儿子呢?”“爱民。”“爱国爱民,你装得倒挺像的,要不是你的三儿子出生,我们都被你这老奸巨滑的反革命给蒙蔽了。”“我三儿子怎么了?”“你三儿子不是叫爱党吗?爱国爱民爱党,提取公因式,爱国民
6、党。” 兴趣阅读兴趣阅读 m a b c 面积：面积：m(a+b+c) 面积：面积：ma+mb+mc m(a+b+c)=ma+mb+mc a m b c ma+mb+mc m(a+b+c) = 整式乘法m(a+b+c)=ma+mb+mc a m b c NoImage1)2()1(22xxx请把下列多项式写成整式乘积的形式请把下列多项式写成整式乘积的形式 ) 1( xx) 1)(1(xx 把一个多项式化成几个整式积的形式把一个多项式化成几个整式积的形式, ,这种变形叫做把这个多项式这种变形叫做把这个多项式因式分因式分解解（或（或分解因式分解因式）. . m(a+b+c) 想一想想一想:因式分解
7、与整式乘法有何关系因式分解与整式乘法有何关系? 因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法是互逆过程 (x+y)(x-y) x2-y2 整式乘法整式乘法 (x+y)(x-y) x2-y2 因式分解因式分解 (x+y)(x-y) x2-y2 因式分解因式分解 整式乘法整式乘法 判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法? ?哪些是因式分解哪些是因式分解? ? (1) x24y2=(x+2y)(x2y) (2) 2x(x3y)=2x26xy (3) (5a1)2=25a210a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a3)(a+3)=a29 (6) m24=(m+2)(
8、m2) (7) 2R+ 2r= 2(R+r). 练习一练习一 理解概念理解概念 因式分解因式分解 整式乘法整式乘法 整式乘法整式乘法 因式分解因式分解 整式乘法整式乘法 因式分解因式分解 因式分解因式分解 下列从左到右的变形是分解因式的有下列从左到右的变形是分解因式的有( ) A. 6x2y=3xy 2x B. a2b2+1=(a+b)(ab)+1 C. a2ab=a(ab) D. (x+3)(x3)= x29 C 8a3b212ab3c 的的公因式公因式是什么？是什么？ 最大公约数最大公约数 相同相同字母最字母最低低次幂次幂 公因式公因式 4 a b2 一一看系数看系数 二二看字母看字母 三
9、三看指数看指数 步骤步骤 议一议议一议 练一练练一练 找出下列各多项式中的公因式：找出下列各多项式中的公因式： （1） 8x+64 （2） 2ab2+ 4abc （3） m2n3 -3n2m3 ( 4)、a2b-2ab2+ab 8 m2n2 2ab 提示：公因式的系数，字母，字母的指数提示：公因式的系数，字母，字母的指数 例例1 把把8a3b2 + 12ab3c 分解因式分解因式. 分析：找公因式分析：找公因式 1 1、系数的最大公约数、系数的最大公约数 4 4 2 2、找相同字母、找相同字母 a a 3 3、相同字母的最低指数、相同字母的最低指数 a a1 1b b2 2 公因式为：公因式为
10、：4ab2 四、方法运用四、方法运用 解解:8a3b2+12ab3c =4ab22a2+4ab23bc =4ab2(2a2+3bc) 练一练练一练 找出下列各多项式中的公因式：找出下列各多项式中的公因式： （1） 8x+64 （2） 2ab2+ 4abc （3） m2n3 -3n2m3 ( 4)、a2b-2ab2+ab 8 m2n2 2ab 提示：公因式的系数，字母，字母的指数提示：公因式的系数，字母，字母的指数 问问:多项式中的公因式是如何确定的？多项式中的公因式是如何确定的？ 多项式各项系数的最大公约数。多项式各项系数的最大公约数。 （当（当系数是整数时）系数是整数时） 定系数：定系数：
11、多项式各项中都含有的相同的字母。多项式各项中都含有的相同的字母。 相同字母的指数取各项中字母的最低相同字母的指数取各项中字母的最低次幂。次幂。 定字母：定字母： 定指数：定指数： 例例: : 找找 2x2+ 6x 的公因式。的公因式。 定系数定系数 2 定字母定字母 x 定指数定指数 2 3 所以，所以，公因式是公因式是 2 x 2 3262xxxxx321222 )31(22xx 例例2 2 把把 9x9x2 26xy+3xz 6xy+3xz 分解因式分解因式. . = 3x3x - 3x2y + 3xz 解：解： = 3x (3x-2y+z) 9x2 6 x y + 3x z 用提公因式法
12、分解因式的步骤：用提公因式法分解因式的步骤： 第一步第一步. . 找出公因式；找出公因式； 第二步第二步. . 提取公因式提取公因式 ； 第三步第三步. . 将多项式化成两个因式乘积的形式。将多项式化成两个因式乘积的形式。 小冬解的有误吗？小冬解的有误吗？ 把把 8 a 3 b2 12ab 3 c + ab分解因式分解因式. 解：解： 8 a3b2 12ab3c + ab = ab8a2b - ab12b2 c +ab1 = ab(8a2b - 12b2c) 当多项式的某一项和当多项式的某一项和公因式相同时，提公因公因式相同时，提公因式后剩余的项是式后剩余的项是1 1。 错误错误 例例3 3
13、提取公因式后，另一个因式不能再含提取公因式后，另一个因式不能再含有公因式；有公因式； 另一个因式的项数与原多项式的项数一致。另一个因式的项数与原多项式的项数一致。 注意注意 8 a3b2 12ab3c + ab = ab(8a2b - 12b2c+1) 例例4： 24x3 12x2 +28x 解：原式解：原式= (324x212xx28)(26xx3)7= (26xx3)7当多项式第一项系当多项式第一项系数是负数，通常先数是负数，通常先提出“提出“ ”号，使”号，使括号内第一项系数括号内第一项系数变为正数，注意括变为正数，注意括号内各项都要变号。号内各项都要变号。 把下列多项式分解因式：把下列
14、多项式分解因式： （1 1）12x12x2 2y+18xyy+18xy2 2； （2 2）- -x x2 2+xy+xy- -xzxz； （3 3）2x2x3 3+6x+6x2 2+2x+2x 现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下： 甲同学：甲同学： 解解:12x:12x2 2y+18xyy+18xy2 2 =3xy(4x+6y) =3xy(4x+6y) 乙同学：乙同学： 解解: :- -x x2 2+xy+xy- -xzxz = =- -x(x+yx(x+y- -z)z) 丙同学：丙同学： 解解:2x:2x3 3+6x+6x2 2+2
15、x+2x =2x(x=2x(x2 2+3x)+3x) 你认为他们的解法正确吗？试说明理由。你认为他们的解法正确吗？试说明理由。 找找 错错 误误 把下列各式分解因式把下列各式分解因式: : (1) 24x3y-18x2y (2) 7ma+14ma2 (3) -16x4+32x3-56x2 (4) -7ab-14abx+49aby 2 2、确定公因式的方法：、确定公因式的方法： 一看系数一看系数 二看字母二看字母 三看指数三看指数 小小 结结 3 3、提公因式法分解因式步骤提公因式法分解因式步骤( (分三步分三步) )： 第一步，找出公因式；第一步，找出公因式； 第二步，提公因式；第二步，提公因
16、式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。 1、什么叫因式分解？什么叫因式分解？ 4 4、用提公因式法分解因式应注意的问题、用提公因式法分解因式应注意的问题： （1 1）公因式要提尽）公因式要提尽； （2 2）小心漏掉）小心漏掉 （3 3）多项式的首项取正号）多项式的首项取正号 例例5 把把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式分解因式. 分析分析:( b+c)是这个式子的公因式是这个式子的公因式,可以直接提出可以直接提出. 解解:2a(b+c) 3(b+c) =(b+c)(2a-3). 解：解：6（mn）312（nm）2 =6（mn）312（mn
17、）2 =6（mn）312（mn）2 =6（mn）2（mn2）. 6（mn）312（nm）2 例例6 200420042172351775622试一试试一试 能被能被2005整除吗整除吗 计算计算 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因因式分解。式分解。 公因式公因式就是系数取各项式的最大公因数，字母取共就是系数取各项式的最大公因数，字母取共有的字母指数取最低次幂（有的字母指数取最低次幂（三看三看） 因式分解的方法：因式分解的方法：提公因式法提公因式法 . .规律总结规律总结 分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象
18、必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止. D （2）分解分解-4x3+8x2+16x的结果是（的结果是（ ） （A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4） （1）多项式多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（的公因式（ ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C C 1.选择选择 课后练习课后练习 试一试 拓展应用拓展应用 3, 5),7(3)7(412xaxxa其中、先分解因式，再求值(3)若多项式若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是的一个因式是-6ab，那么另一那么另一 个因式是（个因式是（ ） （A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y （C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y D (4)若多项式若多项式(a+b)x2+(a+b)x要分解因式要分解因式,则要提的公因式是则要提的公因式是 . (a+b)x
