1、第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 （一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例 一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 （一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例 引入引入 空间曲线空间曲线 的参数方程
2、的参数方程 ),(tx ),(ty ),(tz , tzkyjxir ktjtittf)()()()( )(tfr 映射映射 3, :Rf 一元向量值函数一元向量值函数 定义定义 设数集设数集 ,RD 则称映射则称映射 nRDf:为一元向量值函数，为一元向量值函数， 通常记为：通常记为： 因变量因变量 自变量自变量 定义域定义域 Dttfr ),(注注 (1) 一元向量值函数是一元函数的推广一元向量值函数是一元函数的推广 一元函数一元函数 一元向量值函数一元向量值函数 自变量自变量 因变量因变量 实数值实数值 实数值实数值 实数值实数值 n维向量维向量 (2) 这里只研究这里只研究n=3的情形
3、的情形 表示法表示法 在在 3R中中, 若向量值函数若向量值函数 Dttf ),(的三个分量函数依次为的三个分量函数依次为 ,),(),(),(321Dttftftf 则向量值函数则向量值函数 f可表示为可表示为 Dtktfjtfitftf ,)()()()(321或或 Dttftftftf ),(),(),()(321图形图形 x y z O M r 设设 ,OMr 当当t 改变时改变时,终点终点M的轨迹的轨迹 (记作曲线记作曲线 )称为向量值函数称为向量值函数 Dttfr ),(的的终端曲线终端曲线， 曲线曲线 也称为向量值函数也称为向量值函数 Dttfr ),(的的图形图形 一、一元向量
4、值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 （一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例 一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 （一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例 定义定义 设向量值函数设向量值函数 )(tf在点在点 0t的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义, 如果如果 存在一个常向量存在一个常向量 ,0r对于任意给定的正数对于任意给定的正数 , 总存在正数总存在正数 , 使得当使得当t 满足满足 |00tt时时,对应的函数值对应的函数值 )(tf都满足都满足: ,|)(|0
5、 rtf那么那么,常向量常向量 0r就叫做向量值函数就叫做向量值函数 )(tf当当 0tt 时的极限，记作时的极限，记作 ,)(lim00rtftt 或或 00,)(ttrtf注注 向量值函数向量值函数 )(tf当当 0tt 时的极限存在的充要条件时的极限存在的充要条件: )(tf的三个分量函数的三个分量函数 )(),(),(321tftftf当当 0tt 时的时的 极限存在极限存在,且有且有: )(lim),(lim),(lim)(lim3210000tftftftftttttttt定义定义 注注 向量值函数向量值函数 )(tf在在 0t连续的充要条件连续的充要条件: 设向量值函数设向量值函
6、数 )(tf在点在点 0t的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, 若若 )()(lim00tftftt 则称向量值函数则称向量值函数 )(tf在在 0t连续连续. )(tf的三个分量函数的三个分量函数 )(),(),(321tftftf都在都在 0t连续连续. 定义定义 设向量值函数设向量值函数 .),(Dttf 若若 ,1DD )(tf在在 1D中的每一点中的每一点 都连续，则称都连续，则称 )(tf在在 1D上连续上连续, 并称并称 )(tf1D为为 上的连续函数上的连续函数. 一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 （一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三
7、）向量值函数的导数 （四）举例 一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 （一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例 定义定义 .|dd0tttr 设向量值函数设向量值函数 )(tf在点在点 0t的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, 如果如果 ttfttftrtt )()(limlim0000存在存在,那么就称这个极限向量为向量值函数那么就称这个极限向量为向量值函数 )(tfr 在在 0t处的导数或导向量处的导数或导向量,记作记作 )(0tf 或或 注注 )(tf的三个分量函数的三个分量函数 )(),(),(321tftftf都在都在
8、 0t可导可导. 0t向量值函数向量值函数 )(tf在在 可导的充要条件可导的充要条件: 当当 )(tf在在 0t可导时可导时, .)()()()(321ktfjtfitftf )(tf1D),(0tf 设向量值函数设向量值函数 .),(Dttf 若若 ,1DD )(tf在在 1D中的每一点中的每一点 都存在导向量都存在导向量 在在 上可导上可导. 那么就称那么就称 运算法则运算法则 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 0dd Ct)()(ddtuctcut )()()()(ddtvtutvtut )()()()()()(ddtuttuttutt )()()()()()(d
9、dtvtutvtutvtut )()()(ddtuttut )()()()()()(ddtvtutvtutvtut 设设 )(),(),(ttvtu 可导可导, C是常向量是常向量, c是任一常数，则是任一常数，则 几何意义几何意义 x y z O r 割向量割向量 0 t向量向量 向量值函数向量值函数 Dttfr ),(的终端曲线的终端曲线 ,为空间曲线为空间曲线 割向量割向量 切向量切向量 与与t 的增长方向一致的增长方向一致 0 t与与t 的增长方向相反的增长方向相反 与与t 的增长方向一致的增长方向一致 与与t 的增长方向一致的增长方向一致 向量值函数向量值函数 Dttfr ),(的终
10、端曲线的终端曲线 在点在点M处的一个切向量处的一个切向量,其指向与其指向与t 的增长方向一致的增长方向一致. M N r tr trt 0lim: )(0tf ),(0tfOM )(0ttfON 指向指向 , 0)(0 tf设设 一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 （一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例 一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 （一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例 例例1 ).(lim4tft 设设 ,)(sin)(cos)(tkjtittf 求
11、求 例例2 例例3 (1) 滑翔机在任意时刻滑翔机在任意时刻t 的速度向量和加速度向量的速度向量和加速度向量; (2) 滑翔机在任意时刻滑翔机在任意时刻t 的速率的速率; (3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻滑翔机的加速度与速度正交的时刻. 设空间曲线设空间曲线 的向量方程为的向量方程为 ,),62 , 34 , 1()(22Rttttttfr 求曲线求曲线 在与在与 20 t相应的点处的单位切向量相应的点处的单位切向量. 一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而位置一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而位置 向量为向量为 ktjtittfr2)sin3()cos3()( 的路径螺旋的路径
12、螺旋 式向上式向上. 求求 复习复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 ),(00yx切线方程 0yy法线方程 0yy若平面光滑曲线方程为 ),(),(ddyxFyxFxyyx故在点 切线方程 法线方程 )(0yy),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点 有 有 因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法 位置. TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限 平面平面. 1. 曲线方程为参数方程的情
13、况曲线方程为参数方程的情况 切线方程切线方程 000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设 ),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0tTM:的方程割线MM)(00 xxt此处要求 )(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量切向量 . )( )(00yyt0)(00zzt如个别为0, 则理解为分子为 0 . M不全为0, )(, )(, )(000tttT因此得法平面方程法平面方程 说明说明: 若引进向量函数 ) )(, )(, )()(ttttr, 则 为 r (t) 的矢端曲线, 0t而在处的导向量 )(, )(, )(
14、)(0000ttttr就是该点的切向量. o)(trTzyxo例例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 Rx法平面方程 xR022kzkxR即 002RykRzRxk即 解解: 由于 0Ry kkz2),0(20kRM对应的切向量为 0)(2kzk在 ),0,(kRT, 故 2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况 光滑曲线 0),(0),(:zyxGzyxF当 0),(),(zyGFJxydd曲线上一点 ),(000zyxM, 且有 xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 时, 可表示为 处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1
15、,),(),(1,1)(, )(, 100 xxT 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点 ),(000zyxM切线方程切线方程 法平面方程法平面方程 有 MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zz或 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(例例2. 求曲线 0,6222zyxzyx在点 M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解解: 方程组两边对 x 求导, 得 1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处有:
16、 切向量 解得 11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1切线方程 即 法平面方程 0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即 0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量 )1,0, 1(T二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 0tt 设对应点 M, 切线方程为 )()()(000000tzztyytxx不全为0 . 则 在 且 点 M 的切向量切向量为 任意引一条光滑曲线 MT下面证明: 此平面称为 在该点的切平面切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT证:
17、在 上, 0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得 )(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令 nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量 的平面上 , 从而切平面存在 . )( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量 法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程 ),(00
18、0zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)( ),(000 xxyxfx曲面 时, zyxfzyxF),(),(则在点 ),(zyx故当函数 ),(00yx法线方程法线方程 令 有在点),(000zyx特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点 有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz切平面方程切平面方程 法向量法向量 用 将 ),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦： 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为 则 向上, ) 1,
19、),(, ),(0000yxfyxfnyx例例3. 求球面 3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解解: 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程切平面方程 ) 1(2x即 法线方程法线方程 321zyx)2(8y0) 3(18z149法向量 令 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n例例4. 确定正数 使曲面 zyx在点 ),(000zyxM解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为 二曲面在点 M 相切, 故 000000000zyxyzxxzy0 x又点 M 在球面上, 于是有 000zyx相切. 333a与球面 ),
20、(0002zyxn 21/nn, 因此有 20y20z21. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程 )(00 xxt1) 参数式情况. )()()(:tztytx空间光滑曲线 切向量 内容小结内容小结 )(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT切线方程 法平面方程 MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线 0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量 2) 一般式情况. ,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMy
21、xGF),(),()(0 xxMxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zzT空间光滑曲面 曲面 在点 法线方程法线方程 ),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 . 的法向量法向量 0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程 2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面 )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平
22、面方程 法线方程法线方程 1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 显式情况. 法线的方向余弦方向余弦 2211cosyxff法向量法向量 ) 1 ,(yxffn思考与练习思考与练习 1. 如果平面 与椭球面 相切, 提示提示: 设切点为 则 000226zyx32(二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) 证明 曲面 上任一点处的 切平面都通过原点. 提示提示: 在曲面上任意取一点 则通过此 0zz)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 设 f ( u ) 可微, 证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面为
