1、第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分 微分法则 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则 定理定理. 若函数 ),(vufz 处偏导连续, 在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数 证证: 设 t 取增量t , vvzuuzz)(o则相应中间变量 且有链式法则 vutt有增量u ,v , ,0,0vu则有( 全导数公式全导数公式 ) tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o(t0 时
2、,根式前加“”号) tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd若定理中 说明说明: 例如例如: ),(vufztvtu ,易知: 但复合函数 ),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd01010偏导数连续偏导数连续减弱为 偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu则定理结论不一定成立. 推广推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, , ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 . tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.例如, ),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyx
3、yxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu又如, ),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有 xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里 xzxfxz表示固定 y 对 x 求导, xf表示固定 v 对 x 求导 xf与 不同, v例例1. 设设 ,sinyxvyxuvezu.,yzxz求zvuyxyx例例2. ,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求zyxyxu例例3. 设 ,sintvuz.ddtzztvutt求全导数 ,teu ,costv 为简便起见 , 引入记号 ,212
4、1vuffuff 例例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 .,2zxwxw解解: 令 ,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufwzyf 2),(2zyxzyxfzy则 zxw222221211)(fyfzyxfzxyf yxf 12yxf 2221,ff(当 在二、三象限时, ) xyarctan例例5. 设 二阶偏导数连续,求下列表达式在 解解: 已知 uryxyx极坐标系下的形式 xrruxu(1) , 则 rurusincosyuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxuryru2rxuuryxyx
5、已知 rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos2cossinrucosrsinxu2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用 已有公式已有公式 22yu2222yuxu21r22xurruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得 22ru2221ur22)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 yyzxxzzdddyyvvzyuuzd)(可见无论 u , v 是自
6、变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数 ) (fz ),(, ),(yxyxudvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性. 例例1 . ,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解: ) (dd z)cos()sin(yxyxyeyx所以 veusinvveudcos)(dyx)(dyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy内容小结内容小结 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如例如, uvyxyx;122. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量, vvufuvufzvud),(d),(d思考与练习思考与练习 解答提示解答提示: P31 题7 vz1 xzyz) 1(22yxxy22vuuP85 题7; 8(2); P131 题11 P82 题8(2) xu1f 11fyyu1f 2f zu2f 2121fzfyx22fzyxz1f 2f yxz211f 13f 21f 23f P131题 11 yxz2求：
