1、第五节 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数 隐函数的求导方法 本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理定理1.1. 设函数 ;0),(00yxF则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 yxFFxydd(隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连
2、续的偏导数; 的某邻域内某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 0),(00yxFy 满足条件 导数 两边对 x 求导 yxFFxydd0yF在 的某邻域内 则 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数 : )(yxFFxxyxxydd则还有 例例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 0dd,0dd22xxyxxy并求 0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyx两边对 x 求导 两边再
3、对 x 求导 yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时 1,0yy)0 , 0(cosxyyex导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导 定理定理2 . 若函数 ),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点 满足: 某一邻域内可唯一确 0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导 xFzxFFxzzyFFyz同样可得 则 zFxz0例例2. 设 ,04222zzy
4、x.22xz求例例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式 vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 定理定理3.3. ,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 0),(,0),(vuyxGvuyxF ),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数 ),(
5、, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点 的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件 满足: 0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数； , ),(000yxuu ),(000yxvv ),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF例例4. 设 , 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解: xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得
6、求 vxvxxuyxvyu22yxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求 yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案: 由题设 故有 例例5.5.设函数 在点(u,v) 的某一 1) 证明函数组 ( x, y) 的某一邻域内 2) 求 解解: 1) 令 0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG对 x , y 的偏导数. 在与点 (u, v) 对应的点 邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 式两边对 x 求导, 得 uy0 xvxu1xuxvuxvxvy则有 ),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由
7、定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数. , 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得 同理, 式两边对 y 求导, 可得 ,1vxJyuuxJyv1, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得 同理, 式两边对 y 求导, 可得 ,1vxJyuuxJyv1内容小结内容小结 1. 隐函数( 组) 存在定理 2. 隐函数 ( 组) 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 代公式 思考与练习思考与练习 设 求 zx 提示提示: ),(zyxzyxfzxz1f xz 12f
8、xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf,2 yxeyxEx: 分别由下列两式确定 : 又函数 有连续的一阶偏导数 , 1. 设 解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得 321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx解得 因此 )1 (y2. 设 是由方程 和 所确定的函数 , 求 解解 分别在各方程两端对 x 求导, 得 )0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx
