1、第七节第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 傅里叶级数傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : tnAtnAnnnnsincoscossin令 ,sinnnnAa,cosnnnAb得函数项级数 )sincos(210 xnbxnaannk为角频率, 为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 定理定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 上的积分
2、等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分不等于 0 . 2d11xxxn dsin2xxn dcos2且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数 定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 )sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有 叶系数为系数的三角级数 称为 的傅傅里里叶系数叶系数 ; 10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的 以 ),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里 的傅傅里里叶级数叶
3、级数 . 称为函数 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里里叶级数收敛 , 且有 , )(xf,2)()(xfxf x 为间断点 其中 nnba ,为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点 注意注意: 函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多. 例例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 xxxf0,10,1)(解解:
4、先求傅里里叶系数 00dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里里叶级数. oyx1100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知, 时,级数收敛于 02112) 傅氏级数的部分和逼近 33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11说明说明: f (x) 的情况见右图. xoy例例2. 上的表达式为 将 f (x
5、) 展成傅里里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 ), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx23231x4sin41 5sin 5cos xx252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当 ) 12(kx时, 级数收敛于 22)(0
6、周期延拓 )(xF傅里里叶展开 上的傅里里叶级数 定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法 ), , )(xxf, )2(kxf其它 例例3. 将函数 级数 . oyx则 xxFad)(10 xxfd)(10222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(102cossin2nnxnnxx解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里里叶 2为周期的函数 F(x) , x3cos312)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxfdsin)(12xcosx5cos512利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x =
7、 0 时, f (0) = 0 , 得 说明说明: 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里里叶级数为 周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 , 它的傅里里叶系数为 正弦级数, 它的傅里里叶系数为 例例4. 设 的表达式为 f (x)x , 将 f (x) 展成傅里里叶级数. 是周期为2 的周期函数,它在 解解: 若不计 周期为 2 的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此 02sincos
8、2nnxnnxxnncos21) 1(2nnn1 根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数: )(xf)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1yxo级数的部分和 n2 n3 n4 逼近 f (x) 的情况见右图. n5 例例5. 将周期函数 展成傅里里叶级数, 其 中E 为正常数 . 解解: 2yxo20a0dsin2ttEttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的 周期偶函数 , 因此 0d)(2ttut 2cos310d) 1sin() 1sin(ttntnEan12, 0 kn1a
9、0)(tu0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos1414122. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数 ,0),(xxf周期延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成 周期延拓 F (x) 余弦级数 奇延拓 偶延拓 xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成 xoy1xyo例例6. 将函数 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos12),2, 1(knb),2, 1(k21xxsin)2(
10、x2sin2x3sin32x4sin4注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数 1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 再求余弦级数. x1y将 则有 o0d) 1(2xx0dcos) 1(2xnxx0222xx02sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn),2, 1(k作偶周期延拓 , 121xxcosx3cos312x5cos512说明说明: 令 x = 0 可得 即 41212) 12(14kkxk) 12cos(1yox内容小结内容小结 1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxna
11、axfnnn)(间断点x其中 xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若 为间断点, 则级数收敛于 2)()(00 xfxf2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 3. 在 0 , 上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ? 答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 . 思考与练习思考与练习 处收敛于 2. 则它的傅里里叶级数在 x在 4x处收敛于 . 提示提示: 2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为 , xyo114. 写出函数 傅氏级数的和函数 . 答案: xyo11Ex: 1. 叶级数展式为 则其中系 提示提示: 32的傅里
