1、1. 定义定义 szyxfd),(2. 性质性质 Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d) 3( l 曲线弧 的长度) ),(为常数szyxgLd),(3. 计算计算 对光滑曲线弧 Lsyxfd),( 对光滑曲线弧 Lsyxfd),(baxxf) )(,(Lsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧 tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf1. 定义 kkkknkyQxP),(),(limkk102. 性质 (1) L可分成 k 条有向光
2、滑曲线弧 iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧 LyyxQxyxPd ),(d ),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向! 3. 计算 ,)()(:tytxL: ttttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧 baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(x4. 两类曲线积分的联系 LyQxPddzRyQxPddd第三节 一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件 格林公式及其应用 LD区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区
3、域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左 定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 LDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 一、一、 格林公式格林公式 next 证明证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 bxaxyxD)()(:21则 yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd ),(EACyyxQd ),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD即 同理可证 、两式相加得:
4、 LDyQxPyxyPxQddddyxoL2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域 , 如图 )(的正向边界表示kkDD证毕 推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 LxyyxAdd21格林公式格林公式 LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆 20,sincos:byaxL所围面积 2022d)sincos(21ababab例例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 0dd22yxxyxL证证: 令 ,22xQyxP则 利用格林公式 , 得
5、yxxyxLdd22Dyxdd00next 例例2. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令 , 则 2, 0yexQP利用格林公式 , 有 Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD例例3. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解解: 令 ,022时则当 yx设 L 所围区域为D, ,)0 , 0(时当D由格林公式知 yxoLdsincos2022222rrr2,)0 , 0(时当D在D 内作圆周 ,:222ryxl取逆时 针方向, 1
6、D, 对区域 1D应用格 lyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDL1Dloyx记 L 和 l 所围的区域为 林公式 , 得 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理定理2. 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 . 0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) yQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都有 .xQyPLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 nex
7、t 说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (1) (2) 设 21, LL21ddddLLyQxPyQxP21ddLLyQxPAB1L2L2ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则 (根据条件(1) BAyQxPddAByQxPdd证明证明 (2) (3) 在D内取定点 因曲线积分 ),(),(yxuyxxuux则 ),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证 yu),(yxQ因此有 yQxPuddd和任一点B( x, y ), 与路径无关, ),(
8、yxxC),(yxB),(00yxA有函数 证明证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 yQxPuddd则 ),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 xQyP证明证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, DD (如图) , 上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得 yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为 证毕 yx说明说明: 根据定理2 , 若在某区域内 ,xQyP则 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函
9、数: Dyx),(00及动点 ,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或 yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为 yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 取定点 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; yAxoL例例4. 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 ,AOD它与L 所围 原式 yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx3648
10、 圆周 区域为D , 则 例例5. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证证: 设 ,22yxQyxP则 xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 yyxxyxuddd22。 )0 , 0(。 ),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd02例例6. 验证 22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函 数 , 并求出它. 证证: 令 2222,yxxQyxyP则 )0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数 xx1d0oxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxoxy)0 ,(x)0 , 1
11、(),(yx或 ), 1 (y内容小结内容小结 1. 格林公式 LyQxPdd2. 等价条件 在 D 内与路径无关. yPxQ在 D 内有 yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有 0ddLyQxP在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 思考与练习思考与练习 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ? lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示: 时022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(2. 设 提示提示: ),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422yox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422CCCCDyxoaaC ex 1. 设 C 为沿 yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点 ), 0(a依逆时针 ), 0(a的半圆, 计算 解解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = aayayd)ln2(D222xayyxddC到点
