1、第八节第八节 一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 一、以一、以2 l 为周期的函数的为周期的函数的 傅里叶展开傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式 一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开 周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2 函数 F(z) 变量代换 lxz将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) naxlxnxflbllndsin)(1其中 定理定理. l1xlxnxflldcos)(),2, 1
2、,0(n),2, 1(n说明说明: ),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中 (在 f (x) 的连续点处) 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) ),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中 注注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数 收敛于 如果 f (x) 为奇函数, 则有 例例1. 把 展开成 (1) 正弦级数; (2) 余弦级数. 解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有 2oyx2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos414)(nxf2sin) 1(1x
3、nnn)20( x在 x = 2 k 处级数收敛于何值? 2oyx(2) 将 作偶周期延拓, 2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa则有 1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x说明说明: 此式对 也成立, 8) 12(1212kk1222) 12(cos) 12(181)(kxkkxxf)20( x据此有 2oyx利用欧拉公式欧拉公式 二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式 设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数 , 则 lxnblxnaaxfnnnsincos2)(1021co
4、slxnlxnlxniiee2sinilxnlxnlxniiee1022)(nnaaxf2nbi1022nnnbiaa2nnbia lxnielxnie0cncncllxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos)(1212nnnbiacllxlxnxflidsin)(llxlxnilxnxfldsincos)(21llxfl)(21),2, 1(dnxlxnie注意到 2nnnbacxd同理 ),2, 1(nlxnie傅里叶级数的复数形式: xexflcTxnillnd)(212Txninnecxf2)(),2, 1,0(n因此得 式的傅里里叶级数 . 例例4.
5、 把宽为 ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成复数形 解解: 在一个周期 它的复数形式的傅里里叶系数为 Th内矩形波的函数表达式为 022d)(1TTttuTc22Toyx22ThtetuTTtnid)(12 2222 2d1tehTTtniTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnineTnn2sin10n 2inTThTniTnieeinh21Ttnie222为正弦 级数. 内容小结内容小结 1. 周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式 )(xf20a(x 间断点) 其中 xlxnxfllldcos)(1xlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n当f (x)为奇 函数时, (偶) (余弦) 思考与练习思考与练习 1. 将函数展开为傅里里叶级数时为什么最好先画出其图形? 答答: 易看出奇偶性及间断点, 从而便于计算系数和写出 收敛域 .
