1、第三节 一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 x称为其收收 0 x称为其发散点发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散域发散域 . 为级数的和函数和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项
2、级数的和是 x 的函数 称它 例如例如, 等比级数 它的收敛域是 ,11,(），及它的发散域是 或写作 .1x又如又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 1,110 xxxnn为幂级数的系数系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 ox发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数 0nnnxa则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对
3、满足不等式 幂级数在 (, +) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, ,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ; (R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域收敛域. R 称为收敛半径收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 . Rx外发散; 在 (R , R ) 称为收敛区间收敛区间. ox发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 定理定理2. 若 的系数满足 ;1R;R.0R1) 当 0 时, 2) 当 0 时, 3) 当 时, 则 的
4、收敛半径为 说明说明: :据此定理 1limnnnaaR对端点 x =1, 1limnnnaaR的收敛半径及收敛域. 解解: 11nn1对端点 x = 1, 级数为交错级数 收敛; 级数为 发散 . . 1, 1(故收敛域为 例例1 1.求幂级数 limn 例例2. 求下列幂级数的收敛域 : 解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n所以收敛域为 . ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n0所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 ! ) 1(1n例例3. 的收敛半径 . 解解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径. l
5、im)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 .21R142x当) 1(2nxnx2故直接由 例例4. 的收敛域. 解解: 令 级数变为 nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数为 此级数发散; 当 t = 2 时, 级数为 此级数条件收敛; 因此级数的收敛域为 ,22t故原级数的收敛域为 即 .31x三、幂级数的运算三、幂级数的运算 定理定理3. 设幂级数 及 的收敛半径分别为 ,21RR令
6、)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 则有 : nnnnnnxbxa00其中 以上结论可用部分和的极限证明 . 说明说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 ),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为 ,R但是 nxxx21其收敛半径只是 .1R定理定理4 若幂级数 的收敛半径 nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函 在收敛
7、域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 例例5. 的和函数 解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发 1)(nnxxxxx11nnxx散, 例例6. 求级数 的和函数 解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111) 10( x及 收敛 , 0111nnnxx) 1 ,0()0, 1x)(xS因此由和函数的连续性得: )(xS而 ,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x) 10( x及 内容小结内容小结 1. 求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级数 先求收敛半
8、径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 2. 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 也可通过换元化为标准型再求 . 乘法运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分. 思考与练习思考与练习 1. 已知 处条件收敛 , 问该级数收敛 半径是多少 ? 答答: 根据Abel 定理可知, 级数在 收敛 , 时发散 . 故收敛半径为 2. 在幂级数 中, nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数 ,23n 为偶数 ,61能否确定它的收敛半径不存在 ? 答答: 不能. 因为 nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn当 时级数收敛 , 时级数发散 , 说明说明: 可以证明 比值判别法成立 根值判别法成立 Ex: 求极限 其中 解解: 令 作幂级数 设其和为 易知其收敛半径为 1, 则
