1、【知识精讲】一元二次方程的根与系数的关系 初三 数学 在预习课上我们感受到数学和其他学科一样,里边也有很多有价值的规律等待我们去探索,通过填表,你感受到一元二次方程的根和系数之间有什么关系吗？今天的课海知识精讲课堂将为你精彩揭秘！ 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 2 3 5 6 x2+3x-10=0 2 -5 -3 -10 (1)通过观察,你发现什么规律? (2)语言叙述你发现的规律. (3)设x2+px+q=0的两根为x1,x2,用式子表示你发现的规律. 完成下列表格: 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 2x2-3x-2=0 2 -1 3x2-4x+1=0
2、1 (1)上面发现的结论在这里成立吗? (2)你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗? (3)用语言叙述你发现的规律. (4)进一步猜想:方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1,x2与a,b,c之间的关系. (5)你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明. 计算x1+x2, x1x2的值是多少? 根据求根公式,得x1=+ 242,x2=242, x1+x2=+ 242+242=22=-, x1x2=+ 242242=()2(24)42=. 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 一元二次方程的根与系数之
3、间的关系(韦达定理): 一元二次方程一元二次方程axax2 2+ +bxbx+ +c=c=0(0(a a0)0)的两根为的两根为x x1 1, , , 则则x x1 1+ +x x2 2= =- -, ,x x1 1x x2 2= =. . 1.根与系数之间的关系在方程ax2+bx+c=0(a0)有根的前提下(b2-4ac0)才能够成立,运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负. 2.利用根与系数之间的关系可以不解方程而求出与根有关的代数式的值.比如12+ 22=(x1+x2)2-2x1x2,11+12=1+212,(x1+a)(x2+a)= x1x2+a(x1+x2)+a2等. 在方程ax2+bx+c=0(a0)中a,b,c的作用: 二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程; 当a0时,=b2-4ac可判定根的情况; 当a0,b2-4ac0时,x1+x2=-,x1x2=. 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积: (1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0; (3)5x-1=4x2. (1)x1+x2= ,x1x2= . (2)x1+x2= ,x1x2= . (3)x1+x2= ,x1x2= . (1)6 -15 (2)-73 -3 (3)54 14
