1、 第二十一章一元二次方程第二十一章一元二次方程 一、单选题一、单选题 1 已知关于x的一元二次方程220 xxa的两根分别记为1x，2x， 若11x ， 则2212axx的值为 （ ） A7 B7 C6 D6 2已知1x，2x是方程220220 xx的两个实数根，则代数式321122022xxx的值是（ ） A4045 B4044 C2022 D1 3若实数x满足222(3 )2330 xxxx，则23xx的值是（ ） A1 B-3 或 1 C-3 D-1 或 3 4将一元二次方程2850 xx化成2()xab（a，b为常数）的形式，则 a，b的值分别是（ ） A4，21 B4，11 C4，2
2、1 D8，69 5在一幅长 50cm，宽 40cm 的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示） ，如果要使整个挂图的面积是 3000cm2，设边框的宽为 xcm，那么 x满足的方程是（ ） A （502x） （402x）3000 B （50+2x） （40+2x）3000 C （50 x） （40 x）3000 D （50+x） （40+x）3000 6一元二次方程 x2-3x+10 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D有两个不相等的实数根 7关于x的一元二次方程22223xaax的两根应为（ ） A22a B2a，22a C224a D
3、2a 8方程 y2-a 有实数根的条件是（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da 为任何实数 9用配方法解方程 x2-2x=2 时，配方后正确的是（ ） A213x B216x C213x D216x 10定义新运算a b，对于任意实数 a，b 满足1a babab ，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4 3(43)(43) 17 16 ，若x kx （k 为实数） 是关于 x 的方程，则它的根的情况是（ ） A有一个实根 B有两个不相等的实数根 C有两个相等的实数根 D没有实数根 二、填空题二、填空题 11如果关于 x 的方程 x23x+k0（k 为常数）有两个相等的实数根，那么 k
4、 的值是_ 12关于x的方程21104kxkxk有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_ 13对于任意实数 a、b，定义一种运算：22ababab，若13xx，则 x 的值为_ 14若 m，n 是一元二次方程2310 xx 的两个实数根，则3231mm nm的值为_ 15中国“一带一路”倡议给沿线国家带来很大的经济效益若沿线某地区居民 2017 年人均收入 300 美元，预计2019年人均收入将达到432美元， 则2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为_. 16若等腰三角形的一边长为 6，另两边的长是关于x的一元二次方程280 xxm的两个根，则m的值为_ 17若关于 x 的一元二
5、次方程2240 xxm的根的判别式的值为 4，则 m 的值为_ 18对任意实数 a，b，定义一种运算：22ababab，若(1)7xx，则 x的值为_ 三、解答题三、解答题 19已知1x，2x是一元二次方程2220 xxk的两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2） 是否存在实数 k， 使得等式12112kxx成立？如果存在， 请求出 k 的值，如果不存在， 请说明理由 20已知关于x的一元二次方程22230 xxm (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且25，求m的值 21建设美丽城市，改造老旧小区某市 2019 年投入资金 1000 万元，2021
6、 年投入资金 1440 万元，现假定每年投入资金的增长率相同 (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2021 年老旧小区改造的平均费用为每个 80 万元2022 年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%如果投入资金年增长率保持不变，求该市在 2022 年最多可以改造多少个老旧小区？ 22为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同 （1）求这种药品每次降价的百分率是多少？ （2）已知这种药品的成本为100元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？ 23关于 x 的一元二次方程 kx2+（k
7、+1）x+4k0 （1）当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若其根的判别式的值为 3，求 k 的值及该方程的根 24解方程 （1） （x+1）264=0 （2）x24x+1=0 （3）x2 + 2x20（配方法） （4）x 2-2x-8=0 25用适当的方法解下列方程： (1)x2x10； (2)3x(x2)x2； (3)x222x10； (4)(x8)(x1)12 参考答案参考答案 1B 【详解】 解：一元二次方程220 xxa的两根分别记为1x，2x， 1x+2x=2， 11x ， 2x=3， 1x2x=-a=-3， a=3， 22123 9 17axx 故选 B 2A 【
8、详解】 解：解：1x，2x是方程220220 xx的两个实数根， 2112022xx，122022x x ，121xx + 321122022xxx2222211212121 2202221 22022x xxxxxxx x 4045 故选 A 3A 【详解】 设 x2-3x=y将 y代入原方程，得 y2+2y-3=0， 解之得， y=1 或 y=-3 当 y=1 时， x2-3x=1， =b2-4ac= （-3） 2-4 1 （-1） =9+4=130， 有两个不相等的实数根， 当 y=-3 时， x2-3x=-3， =b2-4ac=（-3）2-4 1 3=9=120，无解故 y=1，即 x
9、2-3x=1 故选 A 4A 【详解】 解：2850 xx 移项得285xx， 配方得22845 16xx， 即2421x ， a=-4，b=21 故选：A 5B 【详解】 解：设边框的宽为 x cm， 所以整个挂画的长为（50+2x）cm，宽为（40+2x）cm， 根据题意，得： （50+2x） （40+2x）=3000， 故选：B 6D 【详解】 23450 x2-3x+10 有两个不相等的实数根 故选：D 7B 【详解】 2x23ax+2a2=0， =(3a)2422a2=a2， x=2322aa. 所以 x1=2a,x2=22a. 故答案选 B. 8A 【详解】 解：方程 y2a有实数
10、根， a0（平方具有非负性） ， a0； 故选：A 9C 【详解】 解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3 故选：C 10B 【详解】 解：根据新运算法则可得：2211x kxkxkxk ， 则x kx 即为221xkx ， 整理得：2210 xxk ， 则21,1,1abck ， 可得：22214 1145kk 20k Q， 2455k； 0 ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 1194 【详解】 解：根据题意得 =（-3）2-4k=0， 解得 k=94 故答案为94 1212k 且0k 【详解】 方程有两个不相等的实数根， 2214(1)404back
11、kk ， 解得：12k ， 又二次项系数0k 故答案为12k 且0k 131或 2 【详解】 解：根据新定义内容可得：221113xxxxx x， 整理可得220 xx， 解得11x ，22x ， 故答案为：1或 2 143 【详解】 解：m是一元二次方程 x2+3x-1=0 的根， m2+3m-1=0， 3m-1=-m2， m、n是一元二次方程 x2+3x-1=0 的两个根， m+n=-3， 3222()33)1(mnmnmm nmmm ， 故答案为：3 1520% 【详解】 解：设该地区人均收入增长率为 x， 则 300（1+x）2=432， （1+x）2=1.44， 解得 x=0.2（x
12、=-2.2 舍） ， 该地区人均收入增长率为 20. 故本题答案应为：20. 1612 或 16 【详解】 解：由题意，分以下两种情况： （1）当 6 为等腰三角形的腰长时，则 关于 x 的方程 x28x+m=0 的一个根 x1=6 代入方程得，36-48+m=0 解得 m=12 则方程为 x28x+12=0 解方程，得另一个根为 x2=2 等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理； （2）当 6 为等腰三角形的底边长时，则 关于 x 的方程 x28x+m=0 有两个相等的实数根 根的判别式246440bacm 解得，m=16 则方程为 x28x+16=0 解方程，
13、得 x1=x2=4 等腰三角形的三边长分别为 4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理 综上，m的值为 12 或 16 故答案为：12 或 16 1732 【详解】 关于 x 的一元二次方程2240 xxm的根的判别式的值为 4， 2a，4b，cm， 24bac2( 4)4 24m ， 解得32m 故答案为：32 182 或-3（-3 或 2） 【详解】 解：(1)7xx， 22117xxx x， 260 xx， 解得2x 或3x， 故答案为：2 或-3 19 （1）1k ； （2）6k 【详解】 解： （1）一元二次方程有两个实数根， 2( 2)4(2) 0k 解得1k ； （2）由一元二
14、次方程根与系数关系，12122,2xxx xk 12112kxx， 1212222xxkx xk 即(2)(2)2kk，解得6k 又由（1）知：1k ， 6k 20(1)见解析 (2)1m 【解析】 （1）根据根的判别式24bac ，即可判断； （2）利用根与系数关系求出2，由25即可解出，再根据23m ，即可得到m的值 （1）2222424 1 ( 3)4 12bacmm ，2120m ，24 1240m，该方程总有两个不相等的实数根； （2） 方程的两个实数根， 由根与系数关系可知，2，23m ， 25， 52，522，解得：3，1，231 33m ，即1m 21(1)20% (2)18
15、个 【解析】 （1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据 2019 年投入资金2(1) x 2021 年投入的总资金，列出方程求解即可； （2）由（1）得出的资金年增长率求出 2022 年的投入资金，然后 2022 年改造老旧小区的总费用要小于等于 2022 年投入资金，列出不等式求解即可 （1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据题意得：21000(1)1440 x，解这个方程得，10.2x ，22.2x ，经检验，0.220%x符合本题要求答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 20% （2） 设该市在 2022 年可以改造y个老旧小区， 由题意得：
16、80(1 15%)1440(120%)y， 解得181823y y为正整数，最多可以改造 18 个小区答：该市在 2022 年最多可以改造 18 个老旧小区 22 （1）20%； （2）不亏本，见解析 【详解】 （1）解：设每次下降的百分率为x， 依题意，得： 2200 1128x， 解得：12200.12%.8xx ，（不合题意，舍去） 答：这种药品每次降价的百分率是 20%； （2）128 (1-20%)=102.4， 102.4100， 按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本 23 （1）12k 且0k ； （2）122323,.22xx 【详解】 解： （1）该方程的判别式为：21421
17、4kkkk， 方程有两个不相等的实数根， 2k+10， 解得12k ， 又该方程为一元二次方程， 0k ， k 的取值范围为：12k 且0k （2）由题意得 2k+13 解得 k1， 原方程为：2120,4xx 11,2,4abc 2124 130,4 解得：12232323,.222xx 24 （1）x1=7，x2=-9； （2）x1=2+3，x2=2-3； （3）x1=-1+3，x2=-1-3； （4）x1=-2，x2=4 【详解】 解： （1） （x+1）2=64 x+1= 8 x1=7，x2=-9 （2）x24x=-1 x24x+4=-1+4 （x-2）2=3 x-2=3 x1=2+3
18、，x2=2-3 （3）x2 + 2x2 x2 + 2x+12+1 （x+1）2=3 x+1=3 x1=-1+3，x2=-1-3 （4） （x+2） （x-4）=0 x+2=0 或 x-4=0 x1=-2，x2=4 25(1)1152x，2152x (2)x113，x22 (3)x121，x22 1 (4)x14，x25 (1) 解： a1，b1，c1 b24ac（1）24 1 （1）5 x242bt baca125 即原方程的根为 x1152，x2152 (2) 解：移项，得 3x（x2）（x2）0， 即（3x1） （x2）0， x113，x22 (3) 解：配方，得（x2）21， x2 1 x121，x221 (4) 解：原方程可化为 x29x200， 即（x4） （x5）0， x14，x25
