1、 第第 13 章轴对称章轴对称 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题）小题） 1. 下列图形是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 2. 已知 内任意一点 ( ) 经过平移后对应点 ( )，已知 ( ) 在经过此次平移后对应点 ( )，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 3. 若点 ( )， ( ) 关于 轴对称，则 ( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在等腰三角形 中， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 若 ，则 ( ) A. B. C. D. 5. 如图，点 为线段 与线段 的垂直平分线的交点， ，则 等于 ( ) A. B. C.
2、 D. 6. 如图所示，在 中， ， ， ， 是边 上两点，且 ，则图中的等腰三角形一共有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图， 平分 ， ， ，则图中的等腰三角形有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，在 中，线段 的垂直平分线与 相交于点 ，连接 ，边 的长为 ，边 的长为 ，则 的周长为 ( ) A. B. C. D. 9. 下列推理中，不能判断 是等边三角形的是 ( ) A. B. ， C. ， D. ，且 10. 如图， ， ， ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 二、填空题（共二、填空题（共 8 8 小题）小题） 11. 如果
3、等腰三角形的一个内角是 ，那么这个等腰三角形的顶角度数是 12. 如图，在由四个小正方形组成的田字格中， 的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形共有 个 13. 如图，一只船从 处出发，以 海里/时的速度向正北航行，经过 小时到达 处，分别从 、 处望灯塔 ，测得 ， ，则 与灯塔 的距离为 14. 如图，已知 ， ， ，若 ，则 15. 如图，将 的三个内角分别沿 ， ， 翻折，三个顶点均落在点 处，则 的度数为 16. 如图， 中， 的垂直平分线 与 的平分线相交于点 ，垂足为点 ，若 ，则 17. 如图， 是一钢架， ，为使钢架
4、更加牢固，需在其内部添加一些钢管 ， ， ，添的钢管长度都与 相等，则最多能添加这样的钢管 根 18. 如图，已知点 ( )， ( )， ( )， ( )，连接 ， ，将线段 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段 重合（点 与点 重合，点 与点 重合），则这个旋转中心的坐标为 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题）小题） 19. 如图，牧童在 处放牛，他的家在 处， 为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮一次水，饮水的地点（用点 表示）选在何处，牧童所走的路程最短? 20. 如图，在 中， ， 平分 ，点 为 的中点，说明 的理由 21. 如图所示，点 是线段 上一点，分别以 ， 为一边
5、在 的同侧作等边 和 ， 交 于 ， 交 于 ，连接 求证： 为等边三角形 22. 如图，点 为线段 上一点， ， 都是等边三角形，直线 ， 交于点 ，直线 ， 交于点 （1）说明 的理由 （2）探究为什么 也是等边三角形， 23. 分割等腰三角形 小高和小丽在看完书上本章的探究活动二之后，对分割等腰三角形产生了浓厚的兴趣，他们首先收集了一些分割等腰三角形的题目，一起和他们尝试一下吧 （1）分别过下面三个三角形的一个顶点画一条直线，把这些三角形各自分割成两个等腰三角形 （2）做完这第（ ）问后，小高猜测：如果一个三角形的两个内角，其中一个内角是另一个内角的两倍或三倍，那么这个三角形可以被分割成
6、两个等腰三角形请和小高一起说明理由吧 如图 ， 解：设 的度数为 ， 的度数为 ，作 ，交 于点 ， 即 所以 ( )， 即 是等腰三角形 因为 ( ) 且 ， 所以 ( ) 所以 ( )， 即 是等腰三角形 如图 ， （请完成说理过程） （3）小丽看了小高的说理之后，自己画了一个内角为 ， 和 的三角形尝试分割，请问这个三角形能分割成两个等腰三角形吗?如果可以，请画出三角形并分割；如果不能，请说明理由 （4）经过上述的探究，小丽和小高想找到怎样的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形，他们把情况分类成 种，请完成下列表格 24. 如图，已知 是 边 的中点， ， ，垂足分别为点 ， ，请说明 与
7、 全等的理由 答案答案 1. D 2. B 3. B 【解析】根据题意： ， ， 所以 ， 4. A 5. D 【解析】如图，连接 点 为线段 与线段 的垂直平分线的交点， ， ， ， ， ， 6. D 【解析】 ， ， ， ， ，同理 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 都是等腰三角形，共有 个 7. C 【解析】如图， 因为 ， 所以 ， 因为 平分 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 是等腰三角形； 因为 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 是等腰三角形 故共有 个等腰三角形 8. B 【解析】 线段 的垂直平分线与 相交于点 ， ， 的周长 ， ， ， 的周长 ( ) 9.
8、 D 【解析】A选项：由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形，故 A 错误； B选项：由“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形，故 B 错误； C选项：由“ ， ”可以得到“ ”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形，故 C 错误； D 选项：由“ ，且 ”只能判定 是等腰三角形，故 D正确 10. D 【解析】如图，过点 作 ，交 于点 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即 ， 是等边三角形， ， 平分 ， ， 在 中， ， 故选：D 11. 或 【解析】 ， 有两种情况： （ ）顶角 ， （ ）当底角是 时
9、， ， ， ， ， 这个等腰三角形的顶角为 或 故答案为： 或 12. 13. 海里 【解析】 是 的外角， ， ， （海里）， 因此 处与灯塔 距离是 海里 14. 【解析】在 和 中， ( )， ， ， 即 ， ， 15. 【解析】 将 的三个内角分别沿 ， ， 翻折，三个顶点均落在点 处， ， ， ， ， ， 16. 【解析】如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ， 于点 ， 平分 ， ， 垂直平分 ， 在 和 中， ( )， ， ， ， ， ， 17. 【解析】如图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故 ，不能再添加了 18. ( ) 【解析】平面直角
10、坐标系如图所示，旋转中心是 点， ( ) 19. 如图所示： 20. 平分 ， 又 ， ， ， 又 ， ， 点 为 的中点， 21. 和 为等边三角形， ， ， ， 在 和 中， ( )， 在 和 中， ( )， 又 ， 为等边三角形（有一个角是 的等腰三角形是等边三角形） 22. （1） 因为 ， 都是等边三角形（已知）， 所以 ， （等边三角形每条边都相等）， （等边三角形每个内角都是 ） 得 ， 即 在 与 中 ， ， ， 所以 ( ) 得 （全等三角形对应边相等） （2） 先推导 或 ，然后根据等边三角形的判定方法得到 也是等边三角形 23. （1） （2） ； ；等角对等边； ； ；
11、 ；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ；等量代换； ； ；等角对等边 如图 ， 设 的度数为 ， 的度数为 ，作 ，交 于点 ，即 ， 所以 （等角对等边）， 即 是等腰三角形 因为 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和） 且 ， 所以 （等量代换） 所以 （等角对等边）， 即 是等腰三角形 （3） 不能，如图 ， 如果一个三角形中一个内角是另一个内角的两倍，即 ， ，那么 根据“三角形内角和等于 ”， ，则 ，即 说明较小的那个角需要小于 ，而小丽画的较小的角为 ，所以不能分割成两个等腰三角形 （4） 24. 因为 ， （已知）， 所以 ， 因为 是 中点， 所以 ， 在 和 中， (对顶角相等) 所以 ( )
