1、 学科网（北京）股份有限公司 专题专题 3 3：等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 真题试练真题试练 1.（2022 新高考卷）设 = 0.10.1， =19， = 0.9， 则（ ） A B C D 0 ab，ab0 ab，ab0 ab bb，bcac； 性质 3 可加性：ab acbc； 性质 4 可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd； 性质 6 同向同正可乘性：ab0，cd0acbd； 性质 7 同正可乘方性：ab0anbn(nN，n2) 【常用结论】 1若 ab0，且 ab1ab0，m0baa0，m0babmam. 学科网（北京）股份有限公司 考点一 比较两
2、个数(式)的大小 1.若 a0，b0，则 pb2aa2b与 qab 的大小关系为( ) Apq Dpq 2.(2022 菏泽模拟)已知 a，b，c(0,3)，且 a55a，b44b，c33c，下列不等式正确的是( ) Aabc Bcab Ccba Dacb 【思维升华】 比较大小的常用方法 (1)作差法：作差；变形；定号；得出结论 (2)作商法：作商；变形；判断商与 1 的大小关系；得出结论 (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小 考点二 不等式的性质 3.（2022 高二下 福田期中）已知 =1， =ln33， =ln44 ，则 ， 的大小关系为（ ） A B C D b，则 ac2bc2
3、 B若 ab0，则 a2abab0，则acabc0，则abacbc 【思维升华】 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证 (2)利用特殊值法排除错误选项 (3)作差法 (4)构造函数，利用函数的单调性 考点三 不等式性质的综合应用 5.（2022 南宁模拟）设大于 1 的两个实数 a，b 满足ln22 0，不等式 ln 0对任意的实数 1恒成立，则实数 a 的最大值为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A12 B2 C1 De 【思维升华】 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围 一一、单选单选题题 1.（2022 新高考卷）若集合 =
4、* 4+， = * 3 1+， 则 =（ ） A* 0 2+ B* 13 2+ C* 3 16+ D* 13 16+ 2 （2022 马鞍山模拟）已知偶函数()在(，0-上单调递增，且(2) = 0，则不等式( 1) (21) + (22)的函数是 （ ） A() = 2 B() = ln2 C() = sin2 D() = 2 4.关于函数() = (212) 13和实数，的下列结论中正确的是（ ） A若3 ，则() () B若 0，则() () C若() ()，则2 2 D若() ()，则3 + B + C + D + 6 （2022 高三上 朝阳期末）设函数() = (12), 12,
5、1，若() 2，则实数的取值范围是（ ） A,1,+) B(0,4- C,1,4- D(,4- 7 （2022 黄浦模拟）下列不等式中，与不等式:82:2:3 2解集相同的是（ ） A( + 8)(2+ 2 + 3) 2 B( + 8) 2(2+ 2 + 3) C12:2:312 8 （2021 云南模拟）已知函数 = ()的图象如图，则不等式1:1; () 0的解集为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A,2,0) (0,1- B(,2- ,0,1- C,2,0) ,1,+) D(,2- ,1,+) 9 （2022 攀枝花模拟）已知函数 () = 2 2 + 2, 1 , 1( ) ，若关于
6、 的不等式 () 0 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A,0,1- B,0,2- C,1,- D,0,- 10.（2021 江苏模拟）若 () = 316, 00, = 0 则满足 ( 1) 0 的 x 的取值范围是（ ） A,1,1- ,3,+) B(,1- ,0,1- ,3,+) C,1,0- ,1,+) D(,3- ,1,0- ,1,+) 二、填空题二、填空题 11.（2022 上海）不等式 ;1 3的解集为 . 13.（2022 东城模拟）已知函数() = , 0,2 + 1,0.若 = 0，则不等式()2的解集为 ；若()恰有两个零点，则的取值范围为 . 14.已知函数() =
7、43+ + ，当 ,1,1-时，|()| 1恒成立，则 + = 三、解答题三、解答题 15已知函数 f(x)ax2bxc 满足 f(1)0，且 abc，则ca的取值范围是_ 16某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为_ 该小组人数的最小值为_ 专题专题 3 3：等式性质与不等式性质：等式性质与不等式性质 真题试练真题试练 1.（2022 新高考卷）设 = 0.10.1， =19， = 0.9， 则（ ） A B C D 【答案】C
8、学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：令 a=xex， =1;，c=-ln(1-x)， 则 lna-lnb=x+lnx-lnx-ln(1-x)=x+ln(1-x)， 令 y=x+ln(1-x)，x(0，0.1， 则 = 1 11;=;1;a， a-c=xex+ln(1-x)，x(0，0.1， 令 y=xex+ln(1-x)，x(0，0.1， = + 11;=(1:)(1;);11;， 令 k(x)=(1 + )(1 ) 1， 所以 k(x)=(1-2x-x2)ex0， 所以 k(x)k(0)0， 所以 y0， 所以 a-c0， 所以 ac， 综上可得，ca0ab，ab0ab，ab0abbb，
9、bcac； 性质 3 可加性：abacbc； 性质 4 可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd； 性质 6 同向同正可乘性：ab0，cd0acbd； 性质 7 同正可乘方性：ab0anbn(nN，n2) 【常用结论】 1若 ab0，且 ab1ab0，m0baa0，m0babmam. 考点一 比较两个数(式)的大小 1.若 a0，b0，则 pb2aa2b与 qab 的大小关系为( ) Apq Dpq 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 【解析】pqb2aa2bab b2a2aa2b2b(b2a2)1a1b b2a2baabba2baab， 因为 a0，b0，所以 ab0.
10、 若 ab，则 pq0，故 pq； 若 ab，则 pq0，故 pbc Bcab Ccba Dacb 【答案】C 【解析】a55a，即ln aaln 55， b44b，即ln bbln 44， c33c，即ln ccln 33， 设 f(x)ln xx， 则 f(a)f(5)，f(b)f(4)，f(c)f(3)， f(x)1ln xx2(x0)， 当 xe 时，f(x)0，f(x)ln xx单调递减， 当 0 x0，f(x)ln xx单调递增， 因为 a，b，c(0,3)，f(a)f(5)， f(b)f(4)，f(c)f(3)， 所以 a，b，c(0，e)，因为 f(5)f(4)f(3)， 所以
11、 f(a)f(b)f(c)，abc. 【思维升华】 比较大小的常用方法 (1)作差法：作差；变形；定号；得出结论 (2)作商法：作商；变形；判断商与 1 的大小关系；得出结论 学科网（北京）股份有限公司 (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小 考点二 不等式的性质 3.（2022 高二下 福田期中）已知 =1， =ln33， =ln44 ，则 ， 的大小关系为（ ） A B C D f(3)f(4)， 即ln=1ln33ln44 ， 则 cbb，则 ac2bc2 B若 ab0，则 a2abab0，则acabc0，则abacbc 【答案】D 【解析】对于 A 选项，当 c0 时，显然不成立，故
12、 A 选项为假命题； 对于 B 选项，当 a3，b2 时，满足 ab0，但不满足 a2abbcb12，故 C 选项为假命题； 对于 D 选项， 由于 abc0， 所以abacbcabcbacbbcacbcbbcabcbbc0， 即abacbc，故 D 选项为真命题 【思维升华】 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证 (2)利用特殊值法排除错误选项 (3)作差法 (4)构造函数，利用函数的单调性 考点三 不等式性质的综合应用 5.（2022 南宁模拟）设大于 1 的两个实数 a，b 满足ln22 ()，则正整数 n 的最大值为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A7 B9 C11
13、 D12 【答案】B 【解析】解：易知ln22等价于ln2 1)，则() =1ln(2;ln)2=ln(2;ln)+1 令() = 0得 = 2 当() 0时 (1，2)；当() 1)，则() =2(2;)+1 当2 1时不符合，舍去，所以2 1 则() = 0， =2 当() 0时 2；当() 0时1 2 所以()在(1，2)上单调递减，在(2， + )上单调递增， 则()有最小值(2) =(2) 若ln2 0的最大的正整数 () =;4(;2)21 0，(9) =117 ln92 1.5714 1.51 0，(10) =32 ln5 0的最大正整数为 9 故答案为：B 6.（2022 玉林
14、模拟）已知 0，不等式 ln 0对任意的实数 1恒成立，则实数 a 的最大值为（ ） A12 B2 C1 De 【答案】D 【解析】因为不等式 ln 0( 1)，所以 ln，得 lnln， 设() = ，则上式不等式等价于() (ln)对任意的实数 1恒成立， 学科网（北京）股份有限公司 当 0时，() = + 0，故()在(0,+)上单调递增，因为 1, 0，所以ln 0，所以原问题可转化为 ln，即 (ln)min， 设() =ln，() =ln;1(ln)2，() 0，可知 (,+)， 所以() =ln在(1,)上单调递减，在(,+)上单调递增， 所以()min= () = ，所以 ，所
15、以实数 a 的最大值为 e. 故答案为：D 【思维升华】 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围 一一、单选单选题题 1.（2022 新高考卷）若集合 = * 4+， = * 3 1+， 则 =（ ） A* 0 2+ B* 13 2+ C* 3 16+ D* 13 16+ 【答案】D 【解析】解：由题意得， = *|0 16+， = *| 13+ ，则 = * 13 16+ ， 故选：D 2 （2022 马鞍山模拟）已知偶函数()在(，0-上单调递增，且(2) = 0，则不等式( 1) 0的解集为（ ） A(， 1) (0，3) B(1，0) (3，+
16、 ) C(1，3) D(2，0) (2， + ) 【答案】B 【解析】偶函数()在(，0-上单调递增，则()在(0，+ )上单调递减，而(2) = 0， 因( 1) 0时，( 1) 0 (| 1|) 2，解得 3， 当 0 (| 1|) (2)，即| 1| 2，解得1 0， 所以不等式( 1) (21) + (22)的函数是 （ ） A() = 2 B() = ln2 C() = sin2 D() = 2 【答案】B 【解析】设1= 1，2= 2， A，对于函数() = 2，2(1+ 2) = 2(3) = 12，(21) + (22) = (2) + (4) = 4 + 8 = 12， 学科
17、网（北京）股份有限公司 2(1+ 2) = (21) + (22)，不符合题意. D，对于函数() = 2， 2(1+ 2) = 2(3) = 16，(21)+ (22) = (2) + (4) = 4 + 16 = 20， 2(1+ 2) 0， 所以ln,4(1+ 2)2- ln(4 412)， 所以2(1+ 2) (21) + (22)成立.B 选项正确. 故答案为：B 4.关于函数() = (212) 13和实数，的下列结论中正确的是（ ） A若3 ，则() () B若 0，则() () C若() ()，则2 2 D若() ()，则3 0时， = 212与 = 13是增函数，且函数值为正
18、数， 故函数() = (212)13在(0， + )上是一个增函数 由偶函数的性质得函数在(，0)上是一个减函数， 此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小， 函数值就小，反之也成立， 考察四个选项，A 选项，由3 ，无法判断，离原点的远近，A 不符合题意； B 选项， 0，则的绝对值大，故其函数值也大，B 不对； C 选项是正确的，由() ()，一定得出2 2； D 选项由() ()，可得出| |，但不能得出3 + B + 学科网（北京）股份有限公司 C + D + 【答案】D 【解析】因为 = ln2 ln1 = 0， = lg2 lg1 = 0，所以， + 且有
19、0， 因为;=11=1lg21ln2= log210 log2 = log210 log22 = 1， 所以， ，因此， + . 故选：D. 6 （2022 高三上 朝阳期末）设函数() = (12), 12, 1，若() 2，则实数的取值范围是（ ） A,1,+) B(0,4- C,1,4- D(,4- 【答案】C 【解析】当 1时，(12) 2，可得 1，故1 1； 当 1时，log2 2，可得 4，故1 4. 综上，1 4. 故答案为：C. 7 （2022 黄浦模拟）下列不等式中，与不等式:82:2:3 2解集相同的是（ ） A( + 8)(2+ 2 + 3) 2 B( + 8) 2(2
20、+ 2 + 3) C12:2:312 【答案】B 【解析】显然2+ 2 + 3 = ( + 1)2+ 2 0，所以不等式:82:2:3 2等价于( + 8) 0时，() = 1 +21;，() 0；当 0. 由图可知：当 1或2 0；当 2或0 1时，() 1( ) ，若关于 的不等式 () 0 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A,0,1- B,0,2- C,1,- D,0,- 【答案】D 【解析】当 1 时，由 2 2 + 2 0 恒成立，二次函数的对称轴为 = ， （1）当 1 时， () 在 (,1- 上单调递减，则 ()min= (1) = 1 0 恒成立， （2）当 1 时， (
21、)min= () = (2 ) 0 ，所以 0 1 时， 0 恒成立，即 在 (1,+) 上恒成立， 令 () = ，则 () =(;1)2 ， 当 1 时， () 0 ，函数单增，又 (1) = ，所以 ； 综上可知， 的取值范围是 ,0,- ， 故答案为：D 10.（2021 江苏模拟）若 () = 316, 00, = 0 则满足 ( 1) 0 的 x 的取值范围是（ ） A,1,1- ,3,+) B(,1- ,0,1- ,3,+) C,1,0- ,1,+) D(,3- ,1,0- ,1,+) 【答案】B 【解析】当 = 1 或 0 时， ( 1) = 0 成立； 当 0 且 1 时，
22、( 1) = ,( 1)316;1- 0， 若 1 ，则 ( 1)4 16 ，解得 3； 若 0 1 ，则 ( 1)4 16 ，解得 0 1， 所以 (,1- ,0,1- ,3,+)， 则原不等式的解为 (,1- ,0,1- ,3,+) 。 故答案为：B 二、填空题二、填空题 11.（2022 上海）不等式 ;1 0 的解集为 【答案】(0,1) 【解析】解：由题意得 ;1 0等价于 x(x-1)0，解得 0 x 3的解集为 . 【答案】x|x-1 或 x1 【解析】因为当 0时，() = 2 + 2 1单调递增，且(1) = 2 1 + 21 1 = 3， 所以() 3等价于() (1).
23、因为()为偶函数，所以| 1，解得 1， 即不等式() 3的解集为x|x-1 或 x1 故答案为：x|x-1 或 x1 13.（2022 东城模拟）已知函数() = , 0,2 + 1,0.若 = 0，则不等式()2的解集为 ；若()恰有两个零点，则的取值范围为 . 【答案】 （-1，ln2） ； （e,+） 【解析】当 = 0时，() = , 0, + 1,0. 则不等式()2可转化为 2 0或 + 1 2 0 解得0 ln2或1 0， 所以 = 0，则不等式()2的解集为(1,ln2)； 由题意可知()的零点个数可转为= ( 0)与2= 1(0)的零点个数之和， 当 = 0时，= ( 0)
24、没有零点，2= 1(0)没有零点， 此时()没有零点； 当 0时，2= 1(0)没有零点， 由= ( 0)可得 =( 0)，令() =( 0)， 则() =(;1)2( 0)， 易知()在,0,1)上单调递减，在(1,+)单调递增， ()min= (1) = ； 此时()要有两个零点则必有 ； 综上所述若()恰有两个零点，则的取值范围为(,+). 故答案为： （-1，ln2） ， （e,+） 14.已知函数() = 43+ + ，当 ,1,1-时，|()| 1恒成立，则 + = 【答案】-3 学科网（北京）股份有限公司 【解析】当 ,1,1-时，|()| 1恒成立，则1 () 1对任意 ,1,
25、1-恒成立， 则 = 1， = 12时，1 () 1恒成立 = 1， 1 4 + + 1 = 1， 1 4 + 1 1 4 + 1 =12， 1 12+2+ 1 = 12， 1 122+ 1 1 12+2 1 +： 2 8 + 2 2 5 3 +： 2 1 + 2 3 1 = 3， 代入： 2 0代入：0 2 = 0， = 3， = 0， + = 3 证明() = 43 3满足题意： () = 43 3，则() = 122 3，() = 0 = 12， -1 (1，12) 12 (12，12) 12 (12，1) 1 () + - + () -1 极大值：1 极小值：-1 1 由表可知，|f(
26、x)|1 在-1，1上恒成立满足题意 故答案为：-3. 三、解答题三、解答题 15已知函数 f(x)ax2bxc 满足 f(1)0，且 abc，则ca的取值范围是_ 【答案】 2，12 【解析】 因为 f(1)0，所以 abc0， 所以 b(ac)又 abc， 所以 a(ac)c，且 a0，cacaca，即 11caca. 所以 2ca2，解得2cay，yz，2zx，且 x，y，z 均为正整数 当 z4 时，8xy4，x 的最大值为 7，y 的最大值为 6，故女学生人数的最大值为 6. xyzx2，当 x3 时，条件不成立，当 x4 时，条件不成立，当 x5 时，5yz52，此时 z3，y4. 该小组人数的最小值为 12.
