1、第四章 指数与对数函数1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1设函数，则（）A3B6C9D122已知，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）ABCD3设函数 ，则f(x)是（）A奇函数，且在(0，2)上是增函数B奇函数，且在(0，2)上是减函数C偶函数，且在(0，2)上是增函数D偶函数，且在(0，2)上是减函数4若函数的值域为R，则a的取值范围是（）ABCD5已知函数，设，则的大小关系为（）ABCD6已知函数，给出下述论述，其中正确的是（）A当时，的定义域为B一定有最小值C当时，的定义域为D若在区间上单调递增，则实数的取值范围是7已知函数，则函数的零点个数是（）A4B5
2、C6D78已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（）ABCD2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分 9已知函数，则下列说法正确的是（）AB的值域为RC方程最多只有两个实数解D方程有5个实数解10定义在上的函数满足在上单调递增，且图象关于点对称，则下列选项正确的是（）ABC在上单调D函数在上可能有2023个零点11已知函数，下列说法中正确的是（）A若的定义域为R，则B若的值域为R，则或C若，则的单调减区间为D若在上单调递减，则12已知函数，则方程的根的个数可能为（）A2B6C5D4三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13函数的单调递增区间为_14关于的方程在区间
3、内有两个不等实根，则实数的取值范围是_15函数的单调递增区间是_.16已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，则函数的零点个数是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数.（1）当时，求函数f（x）在x1，1上的值域；（2）若函数f（x）在实数集R上存在零点，求实数a的取值范围18已知函数过定点，函数的定义域为.（）求定点并证明函数的奇偶性；（）判断并证明函数在上的单调性；（）解不等式.19某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是
4、年（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）20设函数是定义R上的奇函数（1）求k的值；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值21已知定义域为的函数是奇函数（1）求，的值；（2）用定义证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围22已知函数（）若，求函数的定义域和值域；（）若函数的定义域为，值域为，求实数的值第四章 指数与对数函数1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1设函数，则
5、（）A3B6C9D12【答案】C【解析】：函数，即有，则有故选：C.2已知，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A故选：A3设函数 ，则f(x)是（）A奇函数，且在(0，2)上是增函数B奇函数，且在(0，2)上是减函数C偶函数，且在(0，2)上是增函数D偶函数，且在(0，2)上是减函数【答案】A【解析】依题意，解得，即f(x)的定义域为(-2，2)，因，则f(x)是奇函数，又在(0，2)上单调递增，在(0，2)上单调递减，则在(0，2)上单调递增，所以f(
6、x)在(0，2)上单调递增.故选：A4若函数的值域为R，则a的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】：由时，因为函数的值域为R，所以当时， 分两种情况讨论：当时， ，所以只需，解得，所以；当时，所以只需，显然成立，所以.综上，的取值范围是.故选：D.5已知函数，设，则的大小关系为（）ABCD【答案】A【解析】可知在上单调递增，上单调递减，且图像关于对称，而可得故选：A6已知函数，给出下述论述，其中正确的是（）A当时，的定义域为B一定有最小值C当时，的定义域为D若在区间上单调递增，则实数的取值范围是【答案】A【解析】对A，当时，解有，故A正确；对B，当时，此时，此时值域为，故B错误；对C，由A
7、，的定义域为，故C错误；对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.故选：A.7已知函数，则函数的零点个数是（）A4B5C6D7【答案】B【解析】令，则，即，分别作出函数和直线的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为，则，对于，分别作出函数和直线的图象，如图所示，由图象可得，当时，即方程有两个不相等的根，当时，函数和直线有三个交点，即方程有三个不相等的根，综上可得的实根个数为，即函数的零点个数是5.故选：B.8已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（）ABCD【答案】D【解析】的图像如图所示：则要使方程有六个相异实根即使在上有
8、两个相异实根;则解得：.故选：D.2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知函数，则下列说法正确的是（）AB的值域为RC方程最多只有两个实数解D方程有5个实数解【答案】ABD【解析】，故A正确.等价于或，故或，故方程有2个实数解，下面考虑的解，令，则的解为或，再考虑或的解，即或或或，故或或或或，共5个不同的解，故D正确.的图象如图所示：由图象可得的值域为R，故B正确.当时，直线与的交点个数为3，故此时有3个不同的实数根，故C错误.故选：ABD.10定义在上的函数满足在上单调递增，且图象关
9、于点对称，则下列选项正确的是（）ABC在上单调D函数在上可能有2023个零点【答案】AC【解析】所以的对称轴为，且，又图象关于点对称，则，所以，所以，所以，所以的周期为4，所以为的对称中心，所以奇函数，且定义域为，所以，所以A正确；根据周期性，且,又对称轴为，所以，且函数满足在上单调递增，所以，所以，所以B错误；函数满足在上单调递增，且周期为4，所以函数满足在上单调递增，又图象关于点对称，所以在单调递增，又对称轴为，所以在单调递减，且在单调递减，且，所以在单调递减，所以C正确；对于D，在上有且仅有2个零点，且周期为4，在上有且仅有1010个零点，在上有且仅有2个零点，函数在上可能有1012个零
10、点，所以D错误.故选：AC.11已知函数，下列说法中正确的是（）A若的定义域为R，则B若的值域为R，则或C若，则的单调减区间为D若在上单调递减，则【答案】BD【解析】对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误；对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确：对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误；对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确故选：BD12已知函数，则方程的根的个数可能为（）A2B6C5D4【答案】ACD【解析】画出的图象如图所示：令，则，则，当，即时，此时，由图与的图象有两个交点，即方程的根
11、的个数为2个，A正确；当时，即时，则故，当时，即，则有2解，当时，若，则有3解；若，则有2解，故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；故选：ACD三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13函数的单调递增区间为_【答案】【解析】作出函数的图象如图，（图像先向下平移2个单位，再将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方即可得到的图像） 由图可知，函数的增区间为.故答案为：.14关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_【答案】【解析】关于的方程在区间内有两个不等实根，令，则有，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：15函数的单调递增区间是_.【答案】#【解析】由得，解得，所以函数的定义域为
12、.设内层函数，对称轴方程为，抛物线开口向下，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，外层函数为减函数，所以函数的单调递增区间为.故答案为：.16已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，则函数的零点个数是_【答案】2【解析】由可得关于对称，由函数是定义在R上的奇函数，所以，所以的周期为4， 把函数的零点问题即的解，即函数和的图像交点问题，根据的性质可得函数图像，结合的图像，由图像可得共有2个交点，故共有2个零点，故答案为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数.（1）当时，求函数f（x）在x1，1上的值域；（2）若函数f（x）在实数集R上存在零
13、点，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，当时，设t2x，则，；（2），即 令，所以（*）有正根，设（*）的两根为t1，t2当a0时，即可，即1+8a0，解得；当a0时，t1符合；当a0时，显然符合题意，故实数a的取值范围18已知函数过定点，函数的定义域为.（）求定点并证明函数的奇偶性；（）判断并证明函数在上的单调性；（）解不等式.【答案】（）定点为，奇函数，证明见解析；（）在上单调递增，证明见解析；（）.【解析】（）函数过定点，定点为，定义域为，.函数为奇函数.（）在上单调递增.证明：任取，且，则.，即，函数在区间上是增函数.（），即，函数为奇函数在上为单调递增函
14、数， ，解得：.故不等式的解集为：19某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）设年增长率为，则，即，解得，因此，森林面积的年增长率为；（2）设已植树造林年，则，即，解得，因此，该地已经植树造林年；（3）设至少需要植树造林年，则，可得，所以，因此，至少需要植
15、树造林年.20设函数是定义R上的奇函数（1）求k的值；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时.【解析】（1）因为是定义域为R上的奇函数，所以，所以，解得，所以，当时，所以为奇函数，故；（2）有解，所以有解，所以只需，因为（时，等号成立），所以；（3）因为，所以，可令，可得函数t在递增，即，则，可得函数，由为开口向上，对称轴为的抛物线，所以时，取得最小值，此时，解得，所以在上的最小值为，此时21已知定义域为的函数是奇函数（1）求，的值；（2）用定义证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，
16、求的范围【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】：（1）为上的奇函数，可得又（1），解之得经检验当且时，满足是奇函数 （2）由（1）得，任取实数、，且则，可得，且，即，函数在上为减函数； （3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数不等式恒成立，即也就是：对任意的都成立变量分离，得对任意的都成立，当时有最小值为，即的范围是22已知函数（）若，求函数的定义域和值域；（）若函数的定义域为，值域为，求实数的值【答案】（）定义域为，值域为；（）.【解析】（）若，则，由，得到，得到，故定义域为令，则当时，符合当时，上述方程要有解，则，得到或，又，所以，所以，则值域为（）由于函数的定义域为，则恒成立，则，即，令，由于的值域为，则，而，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意所以
