1、2.5.2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 思考思考 圆与圆有几种不同的位置系？圆与圆有几种不同的位置系？ 圆与圆的位置关系有五种： 外离、外切、相交、内切、内含. 1C2C1C2C外离 1C2C外切 1C2C1C2C1C2C相交 内切 内含 圆与圆的位置关系： (1) 两圆相交，有两个公共点； (2) 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3) 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点. 1. 按位置分有5种： 相离、外切、相交、内切、内含. 2. 按公共点个数分有3种： 相离、相交、相切. 1C2C外离 1C2C外切 1C2C1C2C1C2C相交 内切 内含 1. 代数法： 利用圆的
2、方程判断圆与圆位置关系： 221112222200 xyD xE yCxyD xE yC 联立求解. 方程组有两组不同实数解 两圆相交 方程组有一组实数解 两圆相切 方程组没有实数解 两圆相离或内含 思考思考1 类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系圆的方程，判断它们之间的位置关系? 由两个圆的方程 (1) 圆和圆外离 12drr(2) 圆和圆外切 12drr(3) 圆和圆相交 1212|rrdrr(4) 圆和圆内切 12|rrd(5) 圆和圆内含 12|rrd1C2C1C2C
3、1C2C1C2C1C2C2. 几何法： 设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，圆心距d，则 2222121228804420.CxyxyCxyxyCC已已知知圆圆:,:,圆圆:,:,试试判判断断圆圆与与圆圆的的位位置置关关系系例例5 解法解法1: 将圆将圆C1与圆与圆C2的方程联立，得到方程组的方程联立，得到方程组 222228804420.xyxyxyxy ，-，得，得 210 xy ，联立，消去联立，消去y，可得，可得 2230.xx 方程的根的判别式方程的根的判别式0，所以，方程有两个不相等的实数根，所以，方程有两个不相等的实数根x1，x2. 把把x1，x2分别代人方程，得到分别代人
4、方程，得到y1，y2. 因此圆因此圆C1与圆与圆C2有两个公共点有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交，这两个圆相交. 2222121228804420.CxyxyCxyxyCC已已知知圆圆:,:,圆圆:,:,试试判判断断圆圆与与圆圆的的位位置置关关系系例例5 解法解法2: 把圆把圆C1与圆与圆C2的方程分别化成标准方程，得的方程分别化成标准方程，得 222212(1)(4)25(2)(2)10.CxyCxy：，：1212( 14)(2 2)510.CCrr则则，, ,，,121212| 3 5510510C Crrrr|,|,，. .1212125103 5510|.r
5、rC Crr, ,即即| |圆圆C1与圆与圆C2相交相交. 222212121.486160.CxyCxyxyCC已已知知圆圆:,:,圆圆:,:,判判断断圆圆与与圆圆的的位位置置关关系系解解: 把圆把圆C2方程化成标准方程，得方程化成标准方程，得 22(4)(3)9.xy1212(0 0)(4 3)23.CCrr则则，, ,，,1212| 55C Crr|,|,，1212|.C Crr| |圆圆C1与圆与圆C2外切外切. 思考思考2 在代数法中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的在代数法中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的0，它说明什么，它说明什么?你能据此确定两圆是内切还是外切吗你能据此确
6、定两圆是内切还是外切吗? 如何判断两圆是内切还是外切呢如何判断两圆是内切还是外切呢? 当当0时，两圆是什么位置关系时，两圆是什么位置关系? 当当0时时, 方程组方程组只有一组解只有一组解, 此时两圆此时两圆相切相切, 但不能确定两圆是内切还是外切但不能确定两圆是内切还是外切. 要判断两圆是内切还是外切要判断两圆是内切还是外切, 则需看圆心位置则需看圆心位置, 若较小圆的圆心在另一个圆内若较小圆的圆心在另一个圆内, 则两圆内切；否则则两圆内切；否则, 两圆外切两圆外切. 或者用几何法直接比较圆心距与两圆半径和或差或者用几何法直接比较圆心距与两圆半径和或差的大小的大小, 若若圆心距等于两圆半径和圆
7、心距等于两圆半径和, 则两圆则两圆外切外切, 圆心距等于两圆半径差的绝对值圆心距等于两圆半径差的绝对值, 则两圆则两圆内切内切. 当当 0时时, 方程组方程组没有解没有解, 此时两圆此时两圆相离相离，但不能确定两圆是外离还是内含，但不能确定两圆是外离还是内含. 要判断两圆是外离还是内含要判断两圆是外离还是内含, 同样需看圆心位置同样需看圆心位置, 若较小圆的圆心在另一个圆若较小圆的圆心在另一个圆内内, 则两圆内含则两圆内含; 否则否则, 两圆外离两圆外离. 或者用几何法直接比较圆心距与两圆半径和或或者用几何法直接比较圆心距与两圆半径和或差的大小差的大小, 若若圆心距大于两圆半径和圆心距大于两圆
8、半径和, 则两圆则两圆外离外离, 圆心距小于两圆半径差的绝对圆心距小于两圆半径差的绝对值值, 则两圆则两圆内含内含. 解解：将两圆的一般方程化为标准方程，将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k. 圆圆 C1的圆心为的圆心为 C1(2,3), r11；圆圆 C2的圆心为的圆心为 C2(1,7), r2 50k(k50)， 从而从而|C1C2| 21 2 37 25. 巩固训练巩固训练1 当实数当实数k为何值时为何值时，两圆两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交相交、相切相切、相离相离？ |150| 5150143
9、4;kkk当当两两圆圆相相交交时时，即即150534;kk当当两两圆圆外外切切时时，即即|150| 514;kk当当两两圆圆内内切切时时，即即1505|150|5143450.kkkk当当两两圆圆相相离离时时，或或，即即或或 例例6 已知圆已知圆O的直径的直径AB4，动点，动点M与点与点A的距离是它与点的距离是它与点B的距离的的距离的 倍倍. 试探试探究点究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系的位置关系. 2 P M x y O A B 解解: 如图示，以线段如图示，以线段AB的中点的中点O为原点建立平面直角坐标系为原点建立平面直角坐标系. 由由AB=4，得，得A(
10、一一2, 0)，B(2, 0). ( , )|2 |Mx yMAMB 设设点点的的坐坐标标为为, ,由由, ,得得2222(2)2(2).xyxy22221240(6)32.xyxxy化化简简, ,得得, ,即即 所以点所以点M的轨迹是以的轨迹是以P(6, 0)为圆心，半为圆心，半 径为径为 的一个圆的一个圆. 因为两圆的圆心距为因为两圆的圆心距为|PO| =6，两圆的半，两圆的半 径分别为径分别为r1=2，r2= ，又，又r2-r1 |PO| r2+r1 ， 所以点所以点M的轨迹与圆的轨迹与圆O相交相交. 4 24 222221212122.23104320.CxyxyCxyxyCCCC已已
11、知知圆圆:,:,圆圆:,:,证证明明圆圆与与圆圆相相交交, ,并并求求圆圆与与圆圆的的公公共共弦弦所所在在直直线线的的方方程程解法解法1: 把圆把圆C1与圆与圆C2的方程分别化成标准方程，得的方程分别化成标准方程，得 22221239317(1)()(2)().2424CxyCxy：，：121233317( 1)( 2).2222CCrr则则，, ,，-,-,121212317173| 1|2222C Crrrr|,|,，|.|.121212|rrC Crr| |，圆圆C1与圆与圆C2相交相交. 把圆把圆C1与圆与圆C2的方程相减，得的方程相减，得 210 x ，圆圆C1与圆与圆C2的公共弦所
12、在直线的方程为的公共弦所在直线的方程为 210 x . .【教材教材98页页 7】 2222(2, 2)604.Mxyxxy求求经经过过点点以以及及圆圆与与交交点点的的圆圆的的方方程程解解1： 2222604xyxxy 联联立立两两圆圆的的方方程程，2 4 224 2(,) (,).3333 解解得得两两圆圆的的交交点点坐坐标标为为, ,220 xyDxEyF设设所所求求圆圆的的方方程程为为，则则有有4422043224 20,993943224 209939DEFDEFDEF 解解得得3,0,2.DEF 22320 xyx所所求求圆圆的的方方程程为为. .【教材教材98页页 7】 2222(
13、2, 2)604.Mxyxxy求求经经过过点点以以及及圆圆与与交交点点的的圆圆的的方方程程解解2： 2222111122221200CxyD xE yFCxyD xE yFCC结结论论： 若若圆圆: :与与圆圆: :相相交交. .则则过过圆圆与与圆圆交交点点的的圆圆的的方方程程为为2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF 22226(4)0.xyxxy 设设所所求求圆圆的的方方程程为为(2, 2),M 由由所所求求圆圆经经过过点点可可得得22222( 2)6 22( 2)40 ，1, 解解得得222264(4)0 xyxxy所所求求圆圆的的方方程程为为，即即22320
14、xyx . .1. 若若两圆相交两圆相交，则过交点的圆系方程为，则过交点的圆系方程为 2. 若若两圆相切两圆相切(内切或外切内切或外切), 则则公切线所在直线公切线所在直线方程为方程为 圆系方程： 22221111222200CxyD xE yFCxyD xE yF设设圆圆:,:,圆圆:.:. 注意：注意： 为参数为参数, 圆系中不包括圆圆系中不包括圆C2; 当当1时时, 方程两圆的方程两圆的公共弦所在直线方程公共弦所在直线方程, 即即 2222111222()0 (1).xy D xE yFxyD xE yF (也就是两圆方程相减所得也就是两圆方程相减所得) 121212()()0DD xE
15、EyFF121212()()0DD xEEyFF【教材教材98页页 8】 2222406406280.xyxyxxyy求求圆圆心心在在直直线线, ,并并且且经经过过圆圆与与圆圆交交点点的的圆圆的的方方程程解解1： 22226406280 xyxxyy 联联立立两两圆圆的的方方程程，( 1,3)( 6, 2).AB解解得得两两圆圆的的交交点点坐坐标标为为, ,220 xyDxEyF设设所所求求圆圆的的方方程程为为，则则有有1930364620,4022DEFDEFDE 解解得得1,7,32.DEF 227320 xyxy所所求求圆圆的的方方程程为为. .【教材教材98页页 8】 22224064
16、06280.xyxyxxyy求求圆圆心心在在直直线线上上, ,并并且且经经过过圆圆与与圆圆交交点点的的圆圆的的方方程程解解2： 222264(628)0.xyxxyy 设设所所求求圆圆的的方方程程为为整整理理得得22664280 (1)111xyxy . .33(,).11 所所求求圆圆的的圆圆心心坐坐标标为为 - -40 xy圆圆心心在在直直线线上上，227320 xyxy . .222267(4)0 xyxxy所所求求圆圆的的方方程程为为，即即3340,11 - -7. 解解得得【教材教材98页页 9】 2222124044120.CxyCxyxy求求圆圆 ：与与圆圆：的的公公共共弦弦的的
17、长长 C(2,-2) O x y A B 解解1: 将圆将圆C1与圆与圆C2的方程联立，得到方程组的方程联立，得到方程组 22224044120.xyxyxy ，20 xy，得得， 联立，消去联立，消去y，可得，可得 220.xx02.xx 解解得得, ,或或0220.xyxy 当当时时,当当时时, ,12(0 2)( 2 0).CCAB 圆圆与与的的交交点点坐坐标标分分别别为为, , ,2212|(02)(20)2 2.CCAB 圆圆与与的的公公共共弦弦长长为为 C(2,-2) O x y d A B 解解2: 将圆将圆C1与圆与圆C2的方程相减，可得公共弦所在直线的方程相减，可得公共弦所在
18、直线l的方程为的方程为 20 xy . .【教材教材98页页 9】 2222124044120.CxyCxyxy求求圆圆 ：与与圆圆：的的公公共共弦弦的的长长l 1(0,0)222Cld 到到直直线线 的的距距离离为为. .| 2 422 2AB 两两圆圆的的公公共共弦弦长长为为. .公共弦长的求法: 1. 代数法： 将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长 2. 几何法： 求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解 O x y A l B C(-1,2) ,AB要要使使所所求求圆圆面面积积最最小小, ,则则 、 为为所所求求圆
19、圆直直径径端端点点222402410 xyxyxy 由由，112(3)()(2) ()055xxyy，得直线与圆的交点坐标为得直线与圆的交点坐标为 故所求圆方程为：故所求圆方程为： 222637120.555xyxy即即解解1： 11 2( 3 2)()55AB， ,， ，【巩固训练巩固训练2】 22:2402410.lxyxyxy求求过过直直线线与与圆圆的的交交点点, ,且且面面积积最最小小的的圆圆的的方方程程【巩固训练巩固训练2】 22:2402410.lxyxyxy求求过过直直线线与与圆圆的的交交点点, ,且且面面积积最最小小的的圆圆的的方方程程设所求圆的方程为设所求圆的方程为 解解2：
20、 22241(24)0 xyxyxy ，222(1)(4)410.xyxy整整理理得得2214(1)(4)4(41)2r半半径径为为2151616225816().2525 85 当当时时，2 5,5半半径径有有最最小小值值故面积最小的圆的方程：故面积最小的圆的方程： 221364()().555xy13 6(,).55 此此时时圆圆心心坐坐标标为为2223060 xyyxyxym 联联立立方方程程, ,消消去去 并并整整理理得得25104270 xxm，1122()()P xyQ xy设设，, ,，OPOQ 由由, ,可可得得121253()90.x xxx即即42753 ( 2)905m
21、，3.m 解解得得3.mOPOQ当当时时, ,0OP OQ ，12120.x xy y121211(3)(3)022x xxx，2223060 xyxyxymP Q OmOPOQ 已已知知直直线线交交圆圆于于点点 , , ,为为坐坐标标原原点点. .问问为为何何值值时时，？【巩固训练巩固训练3】 解：解： 【典例典例】已知已知C: (x1)2(y2) 22, P(2,1), 过过P作作C的切线的切线, 切点为切点为A, B. 求求: (1) 直线直线PA、PB的方程；的方程； (2) 过点过点P与与C相切的切线长；相切的切线长； (3) APB的余弦；的余弦； (4) 以以PC为直径的圆的方程
22、；为直径的圆的方程； (5) 直线直线AB的方程的方程. x y O .P A B C 解：解： (1)1(2)PCyk x由由条条件件知知过过点点 与与圆圆 相相切切的的直直线线斜斜率率存存在在, ,故故可可设设切切线线方方程程为为：，210.kxyk即即2321kk 则则有有，71.kk 解解得得或或,17(2)1(2)PA PByxyx 故故所所求求切切线线的的方方程程分分别别为为：或或，715010.xyxy 即即或或【典例典例】已知已知C: (x1)2(y2) 22, P(2,1), 过过P作作C的切线的切线, 切点为切点为A, B. 求求: (1) 直线直线PA、PB的方程；的方程
23、； x y O .P A B C 222RtPCAPAPCCA在在中中，2 2.PC过过 点点的的切切线线长长为为22|(12)(21)10.PC |2 ,CA 又又1028，|2 2.PA解：解： 【典例典例】已知已知C: (x1)2(y2) 22, P(2,1), 过过P作作C的切线的切线, 切点为切点为A, B. 求求: (2) 过点过点P与与C相切的切线长；相切的切线长； x y O .P A B C (2)(21)(1 2)PC ，(3) 取两切线取两切线PA、PB的方向向量分别为的方向向量分别为 (1, 7)(1,1),nm, ,|cos|n mAPBn m 则则250|71| .
24、53 【典例典例】已知已知C: (x1)2(y2) 22, P(2,1), 过过P作作C的切线的切线, 切点为切点为A, B. 求求: (3) APB的余弦；的余弦； x y O .P A B C 解：解： 10 xy7150 xy 以以PC为直径的圆的圆心坐标为为直径的圆的圆心坐标为 半径为半径为 【典例典例】已知已知C: (x1)2(y2) 22, P(2,1), 过过P作作C的切线的切线, 切点为切点为A, B. 求求: (4) 以以PC为直径的圆的方程；为直径的圆的方程； x y O .P(2,1) A B C 解：解： (4)1(21)(1 2)PC 法法 ：，22315()(),2
25、22xy2230.xyxy即即 以以PC为直径的圆方程为：为直径的圆方程为： (4)2(21)(1 2)PC 法法 ：，(2)(1)(1)(2)0,xxyy2230.xyxy即即|10PC ，3 1( , ),2 2102， 以以PC为直径的圆方程为：为直径的圆方程为： 227150(1)(2)2xyxy 联联立立，解解得得12 9(, ).55A2210(1)(2)2xyxy 联联立立，解解得得(0,1).B11330.3AByxxy直直线线的的方方程程为为，即即9115.12305ABk 【典例典例】已知已知C: (x1)2(y2) 22, P(2,1), 过过P作作C的切线的切线, 切点
26、为切点为A, B. 求求: (5) 直线直线AB的方程的方程. 解解1： x y O .P(2,1) A B C 10 xy7150 xy【典例典例】已知已知C: (x1)2(y2) 22, P(2,1), 过过P作作C的切线的切线, 切点为切点为A, B. 求求: (5) 直线直线AB的方程的方程. 解解2： x y O .P(2,1) A B C ,CAAP CBBP,PCA B以以为为直直径径的的圆圆过过点点, ,且且此此圆圆的的方方程程为为2230.xyxy222230(1)(2)2xyxyxy 联联立立方方程程，, 由由 得得330.xy330.ABxy直直线线的的方方程程为为【典例
27、典例】已知已知C: (x1)2(y2) 22, P(2,1), 过过P作作C的切线的切线, 切点为切点为A, B. 求求: (5) 直线直线AB的方程的方程. 解解3： x y O .P(2,1) A B C PPA以以点点 为为圆圆心心, ,为为半半径径的的圆圆的的方方程程为为22(2)(1)8.xy2222(2)(1)8(1)(2)2xyxy 联联立立方方程程，, 由由 得得330.xy330.ABxy直直线线的的方方程程为为【典例典例】已知已知C: (x1)2(y2) 22, P(2,1), 过过P作作C的切线的切线, 切点为切点为A, B. 求求: (5) 直线直线AB的方程的方程.
28、解解4： x y O .P(2,1) A B C 1122(,),(,)A xyB xy设设切切点点, ,则则A过过点点 的的切切线线方方程程为为11(1)(1)(2)(2)2.xxyy(21)P 点点，在在此此切切线线上上，2222(,)330.B xyxy同同理理点点也也满满足足330.ABxy直直线线的的方方程程为为11330.xy【典例典例】已知已知C: (x1)2(y2) 22, P(2,1), 过过P作作C的切线的切线, 切点为切点为A, B. 求求: (5) 直线直线AB的方程的方程. 解解5： x y O .P(2,1) A B C A B由由已已知知条条件件可可得得过过两两切
29、切点点 , , 的的直直线线方方程程为为(21)(1)( 12)(2)2.xy 330.xy即即1. 过圆外一点过圆外一点P(x0,y0)引圆引圆x2+y2=r2的两条切线的两条切线, 则过两切点的直线方程为：则过两切点的直线方程为： x O .P A B y 200 x xy yr2.过圆外一点过圆外一点P(x0,y0)引圆引圆(x-a)2+(y-b)2=r2的两条切线的两条切线, 则过两切点的直线方程为则过两切点的直线方程为 200()()()()xaxaybybr推广：推广： 注意：注意：此方程与过圆上一点此方程与过圆上一点P(x0,y0)与圆与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切线方程是一样的相切的切线方程是一样的.
