1、2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 复复 习：习： 1. 圆心为圆心为C(a,b)，半径为，半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为 (xa) 2 + (yb) 2 = r2 当圆心在原点时当圆心在原点时(a=b=0)，圆的标准方程为：，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2 2. 由于圆的标准方程中含有由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用利用圆心坐标列方程的问题一
2、般采用圆的标准方程圆的标准方程. 3. 注意圆的平面几何知识的运用注意圆的平面几何知识的运用. 思考思考 我们知道我们知道, 方程方程(x-1)2+(y-2)2=4表示以表示以(1,-2)为圆心为圆心, 2为半径的圆为半径的圆. 可以将此可以将此方程变形为方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0. 一般地一般地, 圆的标准方程圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为可以变形为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (2) 的形式的形式. 反过来反过来, 形如形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗? 例如例如, 对于方程对于方程x2
3、+y2-2x-4y+6=0, 对其进行配方对其进行配方, 得得(x-1)2+(y-2)2=-1, 因为任意因为任意一个点的坐标一个点的坐标(x, y)都不满足这个方程都不满足这个方程, 所以这个方程不表示任何图形所以这个方程不表示任何图形. 所以所以, 形形如如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程. 这表明这表明, 形如形如(2)的方程不的方程不一定是圆的方程一定是圆的方程. 将方程将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边配方的左边配方, 并把常数项移到右边并把常数项移到右边, 得得 探究探究 方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的中
4、的D, E, F满足什么条件时满足什么条件时, 这个方程表示圆这个方程表示圆? 22224()().224DEDEFxy22221(1)40(,)4.222DEDEFDEF当当时时, ,方方程程表表示示以以为为圆圆心心，为为半半径径的的圆圆22(2)40(,).22DEDEF当当时时, ,方方程程表表示示一一个个点点22(3)40.DEF当当时时, ,方方程程不不表表示示任任何何图图形形因此因此, 当当 时时, 方程表示一个圆方程表示一个圆, 我们把方程叫做我们把方程叫做圆的一般方程圆的一般方程. 2240DEF注意：注意： 任何一个圆的方程都可以写成：任何一个圆的方程都可以写成： 220.x
5、yDxEyF 的的形形式式2222040.xyDxEyFDEF但但方方程程表表示示的的曲曲线线不不一一定定是是圆圆, ,只只有有当当时时, ,方方程程才才表表示示圆圆圆的标准方程的特点在于它明确地指出了圆的标准方程的特点在于它明确地指出了圆心和半径圆心和半径. . 圆的一般方程突出了方程形式上的特点，是一个圆的一般方程突出了方程形式上的特点，是一个关于关于x, y的二元二次方程的二元二次方程, 其特点是其特点是缺少缺少xy项项, x2, y2项的系数相等且不为零项的系数相等且不为零. 思考思考 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 圆圆的的标标准准方方
6、程程：222()()xaybr圆圆的的一一般般方方程程：22220 (40)xyDxEyFDEF解：解：(1) 圆心坐标为圆心坐标为(3, 0), 半径长为半径长为3； (2) 圆心坐标为圆心坐标为(0, -b), 半径长为半径长为|b|； 1. 求下列各圆的圆心坐标和半径求下列各圆的圆心坐标和半径: 2222222(1)60;(2)20;(3)22 330.xyxxybyxyaxaya(3)( ,3 ),| |.aaa圆圆心心坐坐标标为为半半径径长长为为课本课本P88 解：解：(1) 方程表示一个点方程表示一个点(0, 0)； (2) 方程表示圆心坐标为方程表示圆心坐标为(1, -2), 半
7、径长为半径长为1的圆；的圆； 2. 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由: 2222222(1)0;(2)2460;(3)20.xyxyxyxyaxb2222(3)0(,0),.abaab当当时时, ,方方程程表表示示圆圆心心坐坐标标为为半半径径长长为为220(0,0).ab当当时时, ,方方程程表表示示一一个个点点课本课本P88 解解1：(待定系数法待定系数法) 设过设过O, M1, M2的圆方程为的圆方程为 02042200FDEFDEF ，则则 8,6,0.DEF 解解得得过过O, M1, M2的圆方程为的圆方程为 (43)5.r圆圆心心坐坐标
8、标为为，, ,半半径径例例4 求过三点求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标的圆的方程及圆的半径和圆心坐标. 求圆的方程常用待定系数法求圆的方程常用待定系数法, 其大致步骤是其大致步骤是: (1) 根据题意根据题意, 选择选择标准方程标准方程或或一般方程一般方程; (2) 根据条件列出关于根据条件列出关于a, b, r或或D, E, F的方程组的方程组; (3) 解出解出a, b, r或或D, E, F, 得到标准方程或一般方程得到标准方程或一般方程. 解解2：(待定系数法待定系数法) 设过设过O, M1, M2的圆方程为的圆方程为 2
9、22222222(1)(1)(4)(2)abrabrabr ，则则 4,3,5.abr 解解得得过过O, M1, M2的圆方程为的圆方程为 (43)5.r圆圆心心坐坐标标为为，, ,半半径径解解3： 例例4 求过三点求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标的圆的方程及圆的半径和圆心坐标. l x O(0,0) y M1(1,1) M2(4,2) l 111()10.22OMyxxy 线线段段的的垂垂直直平平分分线线方方程程为为, ,即即212(2)250.OMyxxy 线线段段的的垂垂直直平平分分线线方方程程为为, ,即即1043.250
10、 xyxyxy 联联立立方方程程, ,解解得得, ,(43)5.r所所求求圆圆的的圆圆心心坐坐标标为为 ，, ,半半径径为为22(4)(3)25.xy所所求求圆圆的的方方程程为为一般地，求圆的方程有两种方法：一般地，求圆的方程有两种方法： (1) 待定系数法：待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，根据条件列出关于即设出圆的标准方程或一般方程，根据条件列出关于a, b, r或或D, E, F的方程组，求系数的方程组，求系数 . (2) 几何分析法：几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解即利用平面几何中的有关性质求解 . 常用的性质是圆的常用的性质是圆的弦的垂直平分线必过圆心弦的垂直平分线
11、必过圆心. 圆的标准方程：圆的标准方程： 圆的一般方程：圆的一般方程： 利用待定系数法求圆的方程，对于由已知条件容易求出圆心坐标或利用待定系数法求圆的方程，对于由已知条件容易求出圆心坐标或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程般方程. . 求圆的方程的方法：求圆的方程的方法： 例例5 已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4, 3), 端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动上运动, 求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程. x O y A B(4,3) M 1 3 4 注意
12、：点注意：点M的轨迹的轨迹方程是方程是指点指点M的坐标的坐标(x, y)满满足的关系式足的关系式. 轨迹轨迹是是指点在运动变化过程中形成指点在运动变化过程中形成的图形的图形. 在解析几何中在解析几何中, 我们常常把我们常常把图形图形看作看作点点的轨迹的轨迹(集合集合). 解解1：(相关点代入法相关点代入法) 00()().M x yA xy设设, , ,(4 3)BMAB由由于于点点 的的坐坐标标为为 , , ,且且是是的的中中点点, ,0043.22xyxy, ,002423.xxyy于于是是, ,22(1)4Axy点点 在在圆圆上上运运动动，222200(1)4(23)(23)4xyxy,
13、 ,即即, ,2233()(2)122xy整整理理得得. .3 3()2 21M点点的的轨轨迹迹是是以以， 为为圆圆心心，为为半半径径的的圆圆. .【教材教材89页页 10】在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, 如果点如果点P的坐标的坐标(x, y)满足满足 证明证明: 点点P的轨迹是圆心为的轨迹是圆心为(a, b), 半径为半径为r的圆的圆. cos().sinxarybr 为为参参数数证明：证明： ()P x y点点, , 满满足足cossinxarybr ，222222()cos()sinxarybr ，222222()()(cossin).xaybrr点点P的轨迹是圆心为的轨迹是圆心
14、为(a, b), 半径为半径为r的圆的圆. 222cos()().sinxarxaybrybr 方方程程叫叫做做圆圆的的参参数数方方程程cos().sinxarybr 为为参参数数 方程特征：方程特征：直接体现了圆上点的坐标直接体现了圆上点的坐标x, y的间接关系的间接关系, 体现了变元体现了变元(改改变变量形式变变量形式)和换元思想和换元思想. 圆心为圆心为(a, b), 半径为半径为r 的圆的圆 的的参数方程参数方程为：为： 圆的参数方程圆的参数方程 特别地特别地, 圆心为圆心为(0, 0), 半径为半径为r 的圆的圆 的的参数方程参数方程为：为： cos)sinxryr （ 为为参参数数
15、 . . 例例5 已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4, 3), 端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动上运动, 求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程. x O y A B(4,3) M 1 3 4 解解2：(参数法参数法) 设设 M(x, y), A(x0, y0). 2233()()1.22xy( 12cos2sin),(4,3),PB 即即，又又由中点坐标公式得点由中点坐标公式得点M的轨迹参数方程为：的轨迹参数方程为： 3cos2().3sin2xy 为为参参数数消参数得消参数得 0012cos().2sinxy 为为参参数数点点 A 在圆在圆(x
16、+1)2+y2=4上上 , 3 3()1.2 2ABM线线段段中中点点的的轨轨迹迹是是一一个个以以， 为为圆圆心心，为为半半径径的的圆圆 3.如图如图, 在四边形在四边形ABCD中中, AB=6, CD=3, 且且AB/CD, AD=BC, AB与与CD间的距离间的距离为为3. 求等腰梯形求等腰梯形ABCD的外接圆的方程的外接圆的方程, 并求这个圆的圆心坐标和半径并求这个圆的圆心坐标和半径. A B D C -3 x O y 3 3 223585()86433 65(0,),.88xy解解：，圆圆心心半半径径为为课本课本P88 【巩固训练巩固训练1】已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的
17、坐标是(4, 3), 端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动上运动,点点M在直线在直线AB上上, 且满足且满足 求点求点M的轨迹方程的轨迹方程. 2,AMMB x O y A B(4,3) M 1 3 4 解：解： 00()().M x yA xy设设, , ,(4 3)2BAMMB 由由于于点点 的的坐坐标标为为, , ,且且, ,00()2(43)xxyyxy, ,，003836.xxyy, ,22(1)4Axy点点 在在圆圆上上运运动动，222200(1)4(37)(36)4xyxy, ,即即, ,2274()(2)39xy整整理理得得. .2274()(2)39Mxy点点的的轨
18、轨迹迹方方程程为为. .解解：以直线以直线 AB 为为 x 轴，轴，AB 的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴建立坐标系轴建立坐标系(如图如图)，则则 A(2,0)，B(2,0)，设，设 C(x，y)，BC 中点中点 D(x0，y0) 2x2x0，0y2y0.，|AD|3，(x02)2y209. 将将代入代入，整理得，整理得(x6)2y236. 点点 C 不能在不能在 x 轴上，轴上，y0. 综上，点综上，点 C 的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心，为圆心，6 为半径的圆，去掉为半径的圆，去掉(12,0)和和(0,0)两点两点 轨迹方程为轨迹方程为(x6)2y236(y0) 【巩固训练巩固训
19、练2】已知已知ABC的边的边AB长为长为4，若，若BC边上的中线为定长边上的中线为定长3，求顶点，求顶点C的轨迹方程的轨迹方程 A B D C -2 x O y 2 解解：(1) 据题意知据题意知 D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0， 即即 4m244m220m0，解得，解得 m15， 故故 m 的取值范围为的取值范围为 ，15. 【巩固训练巩固训练3】若方程若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：表示圆，求： (1) 实数实数m的取值范围；的取值范围； (2) 圆心坐标和半径圆心坐标和半径 (2) 将方程将方程 x2y22mx2ym25m0 写成标准方程为写成标准方程为 (
20、xm)2(y1)215m， 故圆心坐标为故圆心坐标为(m,1)，半径，半径 r 15m. 设所求圆的方程为设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，则圆心坐标为，则圆心坐标为 D2，E2. 圆与圆与 x3y260 相切，相切， 6E28D2 131，即即 E3D360. (2，4)，(8,6)在圆上，在圆上， 2D4EF200 ，8D6EF1000. 联立联立，解得，解得 D11，E3，F30， 故所求圆的方程为故所求圆的方程为 x2y211x3y300. 【巩固训练巩固训练4】求经过点求经过点A(2, 4)且与直线且与直线x3y260相切于点相切于点B(8, 6)的圆的圆的方程的方程 解解1：
21、 (1) x2 和和 y2 的系数相同且不为的系数相同且不为 0，即，即AC 0； (2) 没有没有 xy 这样的二次项，即这样的二次项，即B=0； (3) D2 + E2 4AF 0. 22()()4()0DEFAAA表示圆表示圆 二元二次方程二元二次方程 思考思考 满足什么条件时，二元二次方程满足什么条件时，二元二次方程 表示圆表示圆. 2240.DEAF1. 圆心为圆心为(a，b)，半径为，半径为r 的圆的的圆的标准方程标准方程为：为： 方程特征：方程特征：明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）. -几何特征几何特征 . 2. 圆的圆的一般方程一般方程为：为： 方程特征：方程特征：突出了圆方程形式上的特点突出了圆方程形式上的特点. sincosrbyrax3. 圆心为圆心为(a，b)，半径为，半径为r 的圆的的圆的参数方程参数方程为：为： 为参数）为参数） (方方程特征：程特征：直接体现了圆上点的坐标直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系的间接关系. -代数特征代数特征 . 4.以以M(x1, y1)、 N(x2, y2)为直径端点的圆的方程是为直径端点的圆的方程是: (xx1)(xx2)(yy1)(yy2) = 0 小结：小结：
