1、2.1.1 2.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 2.1 2.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 两个点两个点 问题问题4 4：请分别指出这些直线共同点和区别？请分别指出这些直线共同点和区别？ 不可以不可以 共共同点：同点：它们都经过点它们都经过点P P. . 区别：区别：它们的它们的倾斜程度倾斜程度不同不同. . 问题问题2 2：在平面直角坐标系内，确定直线的位置，在平面直角坐标系内，确定直线的位置，需要哪些几何元素呢？需要哪些几何元素呢？ 问题问题3 3：一点可以确定一条直线的位置吗？一点可以确定一条直线的位置吗？ 问题问题1 1：对于一次函数对于一次函数y=x+1y=x+1，它的图
2、像是什么？你又是，它的图像是什么？你又是怎样确定它的图象怎样确定它的图象? ? y y 1 1 x x o o - -1 1 一条直线一条直线 y x o P 一点和一个方一点和一个方向也可以确定一条直线向也可以确定一条直线 方方向向不不同同问题问题5 5：图中这些直线的区别是什么？图中这些直线的区别是什么？ 过一点过一点P P的直线可以作无数条，这些直线相对于的直线可以作无数条，这些直线相对于x x轴的倾斜程度不同，也就是它们与轴的倾斜程度不同，也就是它们与x x轴所成的角不同，轴所成的角不同，因此我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向。因此我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向。 1.
3、1.直线倾斜角的定义直线倾斜角的定义 yxol* *注意：注意：(1)x(1)x轴的轴的正方向正方向。 (2)(2)直线直线 向上方向向上方向(x(x轴上方轴上方) )； l 当直线当直线l 与与x x轴相交时，我们以轴相交时，我们以x x轴为基准，轴为基准，x x轴轴正方向正方向与与直线直线l 向上的方向向上的方向之间所成的角之间所成的角叫做直叫做直线线l 的的倾斜角倾斜角. . 一、一、直线的直线的倾斜角倾斜角 2.2.直线倾斜角的范围直线倾斜角的范围 零度角零度角 锐角锐角 直角直角 钝角钝角 直线的倾斜角可分为几类？直线的倾斜角可分为几类？ p o y x ly p o x lp o
4、y x lp o y x l 当直线当直线 与与 轴平行或重合时轴平行或重合时，我我们规定它的倾斜角为们规定它的倾斜角为 ，因此因此，直线直线的倾斜角的取值范围为：的倾斜角的取值范围为： 00180 xl1.1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )( ) 学以致用：学以致用： ayxoA yxoaB ayxoC yxaoD A A 当直线当直线l 与与x x轴相轴相交时，我们以交时，我们以x x轴为轴为基准，基准，x x轴正方向轴正方向与与直线直线l 向上的方向向上的方向之之间所成的角间所成的角叫做直叫做直线线l 的的倾斜角倾斜角. . 3.3.直线倾斜角的意
5、义直线倾斜角的意义 体现了直线对体现了直线对x x轴正方向的倾斜程度轴正方向的倾斜程度。 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个每一条直线都有一个确定的倾斜角确定的倾斜角。 倾倾斜斜程程度度倾倾斜斜角角2l3lx1lyo一个倾斜角能确定一条直线吗？一个倾斜角能确定一条直线吗？ * *注：相同的倾斜角可作无数条互相平行的直线注：相同的倾斜角可作无数条互相平行的直线. . 思考：思考： 不能不能 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ 前进量前进量 升升 高高 量量 升升高高量量坡坡度度（比比）前前进进量量,.在在平平面面直直角角坐坐标标系系
6、中中设设直直线线 的的倾倾斜斜角角为为l (0,0),( 3,)1),?(1 已已知知直直线线 经经过过与与的的 坐坐标标有有什什么么关关系系lOPO P) 1 , 3(OP13tan33 O3 1P(, )xy ,OP 且且直直线线的的倾倾斜斜角角是是则则1212( 1,1),( 2,0),?(2)lPPP P 如如果果直直线线 经经过过与与的的坐坐标标又又有有什什么么关关系系21P P( 12,1) 21OPP P( 12,1) 1tan1212 ,.在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中设设直直线线 的的倾倾斜斜角角为为l 21P POP,平平移移向向量量到到则则,OP 且且直直线线的的倾
7、倾斜斜角角也也是是则则11122212,(,)(3),(,), 一一般般地地 如如果果直直线线 经经过过两两点点lP xyP xyxx12,?那那么么 与与的的坐坐标标有有怎怎样样的的关关系系P P 12122121,(,),一一般般地地 当当向向量量的的方方向向向向上上时时P PP Pxxyy122121P POP,P(xx ,yy ),平平移移向向量量到到则则点点 的的坐坐标标为为,且且直直线线的的倾倾斜斜角角也也是是则则OP 2121tan yyxx ,.在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中设设直直线线 的的倾倾斜斜角角为为l 21211212,P P,P P(xx ,yy ),同同样样
8、 当当向向量量的的方方向向向向上上时时1212yytanxx 11122212,(,)(3),(,), 一一般般地地 如如果果直直线线 经经过过两两点点lP xyP xyxx12,?那那么么 与与的的坐坐标标有有怎怎样样的的关关系系P P 2121yyxx ,.在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中设设直直线线 的的倾倾斜斜角角为为l 211212P POP,P(xx ,yy ),平平移移向向量量到到则则点点 的的坐坐标标为为,且且直直线线的的倾倾斜斜角角也也是是则则OP 当直线平行于当直线平行于x x轴，或与轴，或与x x轴重合时，上述公式轴重合时，上述公式还成立吗？为什么？还成立吗？为什么？
9、 xyo),(111yxP),(222yxP1x2x2121tan yyxx 成立，因为分子为成立，因为分子为0 0，分母不为，分母不为0 0 ,综综上上可可知知 直直线线 的的倾倾斜斜角角 与与直直线线 上上的的两两点点ll 11122212(,),(,),(): 的的坐坐标标有有如如下下关关系系P xyP xyxx2121tan yyxx 我们把一条直线的倾斜角我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直的正切值叫做这条直线的斜率线的斜率. .斜率常用小写字母斜率常用小写字母k k表示，即表示，即 我们也可以用斜率表示倾斜角不等我们也可以用斜率表示倾斜角不等于于9090的直线相对于的直线相对于
10、x x轴的倾斜程度，进而表轴的倾斜程度，进而表示直线的方向。示直线的方向。 090ktan() 1.1.直线斜率的定义直线斜率的定义 例如：例如： 30 3ktan30345 ktan45160 ktan603120 ktan120tan603 二、直线的斜率二、直线的斜率 当当时时k k90? 不不存存在在 即即 不不存存在在90tan()k 思考：思考：当直线与当直线与 轴垂直时，轴垂直时，直线的倾斜角是多少？直线的倾斜角是多少？ xx y o 小结：小结：倾斜角倾斜角不是不是 的直线都有斜率；倾斜的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同角不同，直线的斜率也不同. . 因此，我们可以用
11、因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度斜率表示直线的倾斜程度. . 90综上所述，我们得到经过两点综上所述，我们得到经过两点 ),(111yxP)(21xx ),(222yxP的直线的斜率公式：的直线的斜率公式： 2.2.直线的斜率公式直线的斜率公式 2121tan yyxx 090ktan() 2121 yykxx12(xx ) 2.2.直线的斜率公式直线的斜率公式 11122212(,),(,),(), 如如果果直直线线 经经过过两两点点lP xyP xyxx2121 yykxx则则直直线线 的的斜斜率率公公式式为为：l1122ababkAB1122babakBA答：与答：与A A、B B
12、两点的顺序无关。两点的顺序无关。 1212A(a ,a ),B(b ,b )AB,A,B（1 1）已已知知直直线线上上的的两两点点，运运用用上上述述公公式式计计算算直直线线的的斜斜率率时时 与与两两点点的的顺顺思思考考：序序有有关关吗吗？21122112yyyyk(k)xxxx或或2P2P1P1P思考：思考：（2 2）当直线平行于）当直线平行于y y轴，或与轴，或与y y轴重合时，轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？上述公式还适用吗？为什么？ xyo),(111yxP),(222yxP1y2y2121yykxx 90 ,tan90 () 不不存存在在不不存存在在k 斜率不存在，因为分母为斜率不
13、存在，因为分母为0 0 = 0 k k=0=0 k k00 k k不存在不存在 k k00 18090 倾斜角倾斜角 斜率斜率 = 90 900当00，9090) )时，时， 倾斜角越大，斜率越大；倾斜角越大，斜率越大； 当当(90(90，180180) )时，倾斜角越大，斜率时，倾斜角越大，斜率越大越大. . 0180, 当当直直线线的的倾倾斜斜角角由由逐逐渐渐增增大大到到时时其其斜斜率率如如何何变变化化？0 2 0tan(90 )k tan ()2k k 判断正误：判断正误： 直线直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 , ,则斜率为则斜率为 任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率任一条直线都有倾斜
14、角，但不一定有斜率。 ktan,思思若若直直线线的的斜斜率率为为 它它的的一一个个方方向向向向坐坐标标考考：量量的的lk( , ),为为则则x y kx y o l( , )x yyx,思思若若直直线线的的斜斜率率为为 它它的的一一个个方方向向向向坐坐标标考考：量量的的lk例例1 1：如图，已知如图，已知A(3A(3，2)2)，B(B(- -4 4，1)1)，C C（0 0，- -1 1），），求直线求直线ABAB，BCBC，CACA的斜率，并判断这些直线的倾斜的斜率，并判断这些直线的倾斜 角是锐角还是钝角。角是锐角还是钝角。 O x y A (3(3，2)2) C（0 0，- -1 1） B
15、 ( (- -4 4，1)1) AB121ABk437 ：直直斜斜率率解解线线的的BC111BCk;0( 4)2 直直线线的的斜斜率率CA21CAk1;30 （）直直线线的的斜斜率率ABCABCk0k0ABCAk0BC 由由及及可可知知，直直线线与与的的倾倾斜斜角角均均为为锐锐角角；可可知知，直直线线的的倾倾斜斜角角为为钝钝角角. .请看课本请看课本P55P55：练习：练习 2.2.求经过以下两点直线的斜率和倾斜角求经过以下两点直线的斜率和倾斜角 k1,45 k1,135 （2 2）P P（1 1，0 0），），Q Q（0 0，1 1） （1 1）A A（0 0，0 0），），B B（1 1，1 1） 学以致用：学以致用： 123123,()如如图图，直直线线的的斜斜率率分分别别为为则则l l lk k k3. X Y O 1l2l3l123312321132A.kkkB.kkkC.kkkD.kkkC 1.1.确定直线位置关系的要素确定直线位置关系的要素 2.2.刻画直线倾斜程度的量刻画直线倾斜程度的量 倾斜角、倾斜角、 斜率斜率 3.3.数形结合、分类讨论、从特殊到一般的数学思想数形结合、分类讨论、从特殊到一般的数学思想. . 90tank12)xx（1212xxyyk 三、课堂小结三、课堂小结
