1、1. 向量的数量积 bababa,cos|2. 投影向量 |,cos|11bbbaaBA复习回顾 =1|buub记，则11()ABa u u3.空间两点之间的距离 11112222( ,)(,)P x y zP xyz设,，则),(21212121zzyyxxPP221221221212121)()()(|zzyyxxPPPPPP复习引入 思考： 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等.如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 2222|()PQPlAPAQaa u点 到直线 的距离为 AuQla .(),lAPaAPAa uQu设则向量在直线
2、 上的投影向量1. 点到直线的距离 探究新知 ,.lu AlPlPl已已知知直直线线 的的为为是是直直线线 上上的的定定点点是是直直线线 外外一一点点 如如何何利利用用这这些些条条件件求求探探究究：单单位位点点 到到直直线线方方向向向向量量的的距距离离. .P思考: 类比类比点到直线的距离的求法，如何求点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离两条平行直线之间的距离？ 求两条平行直线求两条平行直线l, m之间之间的距离的距离, 可可在其中一条直线在其中一条直线l上上任取一点任取一点P, 则则两条平行直线两条平行直线间的距离就等于间的距离就等于点点P到直线到直线m的距离的距离. 探究新知
3、 AumQalP2222|()PQAPAQaa u两条平行直线之间的距离为 2. 点到平面的距离 探究新知 lnlAPn APPQPlQP , 如如图图 已已知知平平面面 的的法法向向量量为为是是平平面面 内内的的定定点点是是平平面面 外外一一点点. .过过点点 作作交交平平面面 于于 平平面面 的的垂垂线线是是直直线线 的的方方向向向向量量在在直直线线 上上的的投投影影向向量量点点则则且且点点 到到平平面面 的的距距离离就就是是的的长长度度. .因因此此A P Q l nAP nnAP nPQAPnnn 平面外一点到平面的距离等于连接平面外一点到平面的距离等于连接此点与平此点与平面上的任一点
4、面上的任一点( (常选择一个特殊点常选择一个特殊点) )的向量的向量在平面在平面的的法向量法向量上的上的射影的绝对值射影的绝对值. . 两个平行平面之间的距离两个平行平面之间的距离 如果两个平面如果两个平面, 互相平行互相平行, 在其中一在其中一个平面个平面内任取一点内任取一点P, 可将两个平行平面的可将两个平行平面的距离距离转化转化为为点点P到平面到平面的距离的距离求解求解. 直线和平面间的距离：直线和平面间的距离： 如果一条直线如果一条直线l与一个平面与一个平面平行平行, 可可在在直线直线l上任取一点上任取一点P, 将线面距离将线面距离转化转化为为点点P到平面到平面的距离的距离求解求解.
5、思考 类比类比点到平面的距离的求法，如何求点到平面的距离的求法，如何求直线与平面直线与平面、两个两个平面之间的距离平面之间的距离？ 探究新知 l P PQQ例1 如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD- A1B1C1D1中，中，E为线段为线段A1B1的中点，的中点，F为线段为线段AB的中点的中点. （1）求点）求点B到直线到直线AC1的距离；的距离； （2）求直线）求直线FC到平面到平面AEC1的距离的距离. 111111111(101)(111)(011)(010)(1,0)(11)22DD A DC D DxyzABCCEF以为原点,所在直线分别为轴、 轴、 轴,建立如图所
6、示的空间直角坐标系,则, , , , , ,，解：11(0,1,0),( 1,1, 1),(0, 1),2ABACAE 1111( 1,0),( 1,0),(0,0).222ECFCAF 典例分析 A C B D y x z A1 B1 C1 D1 E F 113(1)(0,1,0),( 1,1, 1), 3|ACaABuAC取231,.3aa u则22116()1.33BACaa u点 到直线的距离为11112( 10)2FCECFCECFCAEC （ ）, , ,，平面.1()AECnx y z设平面的法向量为, , ,则11FAECFCAEC点 到平面的距离即为直线到平面的距离.11=0
7、,21=0.2n AEyzn ECxy,2 .xzyz1112.(121)zxynAEC 取,则, , 是平面的一个法向量.1(0 2 0),AFFAEC又， ，点 到平面的距离为1(0,0) (1,2,1)|62.6|6AF ndn16.6FCAEC即直线到平面的距离为（1）建立立体图形与空间向量的联系，）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示用空间向量表示问题问题中中涉及的点涉及的点、直线直线、平面平面，把立体几何问题转化为向量问题；，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过）通过向量运算向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离
8、和夹角等问题；及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译”“翻译”成相应的成相应的几何结论几何结论. （化为向量问题）（化为向量问题） （进行向量运算）（进行向量运算） （回到图形）（回到图形） 用空间向量解决立体几何问题的“用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”: 1.如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E为线段为线段DD1的中点，的中点，F为线段为线段BB1的中点的中点. (1)求点求点A1到直线到直线B1E的距离；的距离； (2)求直线求直线FC1到直线到直线AE的距离；的距离； (3)求点求点A1到平面
9、到平面AB1E的距离；的距离； (4)求直线求直线FC1到平面到平面AB1E的距离的距离. 355302313课堂练习 A1 C B D A B1 C1 D1 E F 解: 则角坐标系建立如图所示的空间直,111(1,0,1),(0,0,0), (1,1,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)ADBDBC1111(1,0,1),(1,10),(1,01),( 1, 10)DADBCBBD ，1111/,/,DACB BDDB1111/,/,DACB BDDB11/ /ADBDCB平面平面1.CADB点 到平面的距离即为两平行平面的距离2.如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求平面平面A1DB到到平面平面D1CB1的距离的距离. 课堂练习 A1 C B D A B1 C1 D1 113.3ADBDCBC nBn平面与平面的距离为1( , , ),ADBnx y z设平面的法向量10,0n DAxzn DBxy则1,1,1xyz取得(1, 1, 1),n ( 1,0,0)BC又 zxyx即 1. 点到直线的距离点到直线的距离 2222)(uaaAQAPPQ2. 点到平面的距离点到平面的距离 nnAPnnAPPQ课堂小结
