1、2.平面向量的正交分解平面向量的正交分解 如果如果e1, ,e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平向量，那么对于这一平面内的面内的_向量向量a，_实数实数1, ,2，使，使a_._. 1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理 不共线不共线 任一任一 有且只有一对有且只有一对 1e12e2 e1,e2 基底基底 M N aONOMaO 把一个向量分解为把一个向量分解为两个两个互相互相垂直垂直的向量，叫做把向的向量，叫做把向量作量作正交分解正交分解. . ,()., ,?,pa ba b c平平面面内内的的任任意意一一个个向向量量 都都可可以以用用两两个个不不共共线线的的向
2、向量量来来表表示示 平平面面向向量量基基本本定定理理任任意意一一个个空空间间向向量量能能否否用用任任意意三三个个不不共共面面的的向向 探探究究1 1：我我们们知知道道类类似似地地量量来来表表示示呢呢 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论直这一特殊情况开始讨论 , ,.i j kO 如如图图 设设是是空空间间中中三三个个两两两两垂垂直直的的向向量量 且且表表示示它它们们的的有有向向线线段段有有公公共共起起点点O ijkO P Q ijk,.pOPOQOPi jOPOQQP 对对于于任任意意一一个个空空间间向向量量设设为为在在所所确确定定的
3、的平平面面上上的的投投影影向向量量 则则,.QP kzQPzkOPOQzk 又又向向量量共共线线 因因此此存存在在唯唯一一的的实实数数使使得得从从而而,( , ),.i jx yOQxiyj所所确确定定的的平平面面上上 由由平平面面向向量量基基本本定定理理可可知知 存存在在唯唯一一的的有有序序实实数数 而而得得在在对对使使.OPOQzkxiyjzk从从而而O P Q ijk, ,( , , ),.i j kpx y zpxiyjzk因因此此 如如果果是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的的向向量量那那么么对对任任意意一一个个空空间间向向量量存存在在唯唯一一的的有有序序实实数数组组使使得得 ,
4、,.xiy j zkpi j k我我们们称称分分别别为为向向量量 在在上上的的分分向向量量你能证明唯一性吗？ 则 = + +zk = 1 + 1+z1k 反证法 假设存在假设存在x1,y1,z1使得使得 = 1 + 1+z1k也成立也成立 变形： 1 = 1+z1k-zk 整理整理得：( 1) = (1 )+(z1-z)k 不妨不妨设，1不相等不相等 所以 =(1)(1)+(z1z)(1)k 所以,k 共面，与已知矛盾共面，与已知矛盾. 证明证明: 矛盾在哪里？矛盾在哪里？ 共面 , , ,?a b ci j k在在空空间间中中 如如果果用用任任意意三三个个不不共共面面的的向向量量代代替替两两
5、 两两垂垂直直的的向向量量你你能能得得出出类类似似探探2 2：的的结结论论吗吗究究【空间向量基本定理】 如果三个向量如果三个向量 不共面不共面，那么对任意一个空间向量，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一存在唯一的有序实数组的有序实数组( x,y,z)，使得，使得 , ,a b cp.pxaybzc 请你自己给出空间向量基本定理的证明. 过P作直线PA平行于直线OB， 作直线PB平行于直线OA， 作直线PC平行于直线OP， p P P A B C a O A c C b B 证明证明: 如图，设a,b,c不共面. 过点O作 OA,OB,OCabc过P作直线PP平行于直线OC交平面OAB于点P 存
6、在三个实数x,y,z满足 OAx ,OBy ,OCzabc+=+OPOPP Pxyzabc阅读教材，回答下列问题：阅读教材，回答下列问题： （1）什么是基底？什么是基向量？）什么是基底？什么是基向量？ （2）一个基底包含几个基向量？三个向量要构成一个）一个基底包含几个基向量？三个向量要构成一个基底需要满足什么条件？基底需要满足什么条件？ （3）什么是单位正交基底？）什么是单位正交基底？ （4）正交分解的定义是什么？正交分解的定义是什么？ , , ,|, , ,R., , , (), , ,( ).a b cp pxaybzc x y za b cbasea b cbaseavectorsb c
7、这这个个集集合合可可看看 如如果果三三个个向向量量不不共共面面 那那么么所所有有空空间间向向量量基基底底基基向向量量组组成成的的集集合合就就是是我我们们把把叫叫做做空空间间的的作作由由向向量量一一叫叫做做生生成成的的个个都都（1）什么是基底？什么是基向量？）什么是基底？什么是基向量？ .空空间间任任意意的的向向量量都都可可以以构构成成空空间间的的一一不不面面个个共共个个基基底底三三（2）一个基底包含几个基向量？三个向量要构成一个）一个基底包含几个基向量？三个向量要构成一个基底需要满足什么条件？基底需要满足什么条件？ ,1., ,i j k三三个个基基向向量量两两两两垂垂直直长长度度单单位位正正
8、交交基基如如果果空空间间的的一一个个基基底底中中的的且且都都 么么这这个个基基底底叫叫 特特做做常常地地底底别别为为表表示示用用,.,.axiyj zkaxiyjzk 由由空空间间向向量量基基本本定定理理可可知知 对对空空间间中中的的任任意意向向量量均均可可以以分分解解为为三三个个向向量量使使像像这这样样 把把一一个个空空间间向向量量分分解解为为叫叫做做把把空空间间向向量量三三个个两两两两垂垂直直的的向向量量行行正正交交分分解解进进（3）什么是单位正交基底？）什么是单位正交基底？ （4）正交分解的定义是什么？正交分解的定义是什么？ 空间向量间的运算空间向量间的运算 基向量间的运算基向量间的运算
9、 转化 C A B M N P O 1.22,13,4,12,.MOABCBCNOMPANMNON APANOOACBOPO 如如图图是是四四面面体体的的棱棱的的中中点点 点点在在线线段段上上 点点在在线线段段上上 且且用用向向量量表表示示例例34OPOAAPOAAN解解：3()4OAONOA3344OAONOA13 1144 33OAOBOC111444OAOBOC111111111111,4,4,5,60 ,60,.,2.ABCDA B C DABADAABAADAAM ND CC BMNAC 如如图图 在在平平行行六六面面体体中中的的分分别别为为中中点点求求证证：例例A B C D M
10、N B1 A1 C1 D1 11111,0.,.MNACMN ACAB AD AAMNACMN AC 由由已已知知可可构构成成空空间间的的一一个个基基底底把把和和分分别别用用要要分分析析：基基底底表表示示证证只只需需证证明明然然后后计计算算即即可可1, , , ,ABa ADb AAca b c证证明明：设设这这三三个个向向量量不不共共面面构构成成空空间间的的一一个个基基底底11111,11,.22MN ACMNMCC Nab ACABBCCCabc 我我们们用用它它们们表表示示则则111()22111111222222MN ACababca ba ba cb ab bb c 22221114
11、4cos604 5 cos602221114cos6044 5 cos602220 1MNAC 所所以以A B C D M N B1 A1 C1 D1 C A B D D A B C E F G 1111,1,.(1)/;(2)3ABCDA B C DE F GC DA D D DEFACCEAG 如如图图 正正方方体体的的棱棱长长为为分分别别为为的的中中点点求求证证：求求与与所所成成角角例例的的余余弦弦值值. .(1)/,., , , ,.EFACEFACDAi DCj DDki j kEFAC分分析析：要要证证明明只只需需证证明明与与共共线线设设则则构构成成空空间间的的一一个个单单位位正正
12、交交基基底底 把把和和分分别别用用基基向向量量表表示示作作相相应应的的运运算算证证明明它它们们共共线线即即可可(2),.CEAGCE AG要要求求与与所所成成角角的的余余弦弦值值 只只需需求求所所成成角角的的余余弦弦值值即即可可(1), , , .DAi DCj DDki j k证证明明：设设则则构构成成空空间间的的一一个个单单位位正正交交基基底底111(),222,EFD FD EijijCADADCij1,/.2EFCAEFAC 所所以以所所以以C A B D D A B C E F G 1111,1,.(1)/;(2)3ABCDA B C DE F GC DA D D DEFACCEAG
13、 如如图图 正正方方体体的的棱棱长长为为分分别别为为的的中中点点求求证证：求求与与所所成成角角例例的的余余弦弦值值. .1(2),2CECCCEjk 解解：因因为为12AGADDGik 11222cos,55522jkikCE AGCE AGCEAG 2.5CEAG故故与与所所成成角角的的余余弦弦值值为为1111,1,.(1)/;(2)3ABCDA B C DE F GC DA D D DEFACCEAG 如如图图 正正方方体体的的棱棱长长为为分分别别为为的的中中点点求求证证：求求与与所所成成角角例例的的余余弦弦值值. .C A B D D A B C E F G 1. 已知向量已知向量 是空
14、间的一个基底求证是空间的一个基底求证: :向量向量 能构成空间的一个基底能构成空间的一个基底. . , , a b c,ab ab c,ab ab cx y假设共面，则存在证明：使= ()()c x aby ab=()() .cxy axy b,ca b从而由共面向量定理知， 与共面, ,这与不共面矛盾,a b c,ab ab c 不共面，,ab ab c从而可以构成空间向量的一个基底.2.如图，已知平行六面体OABC-OABC，点G是侧面BBCC的中心，且 （1） 是否构成空间的一个基底？ （2）如果 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量： abcOA,OC,OO= .,.,BA CA OGOBa b c, ,a b c, ,B C O A1 B1 C1 O1 A G ,1cbaOB,1bcBAbcaCA1.2121cbaOG
