1、江苏省泰州江苏省泰州二校联考二校联考 2020 年秋高二年级年秋高二年级上上期中考试数学试题期中考试数学试题 一选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知命题 p:对0 x ,有1 x e ,则p为() A.对0 x ,有1 x e B.对0 x ,有1 x e C. 0 0 x ,使得 0 1 x e D. 0 0 x,使得 0 1 x e 2.不等式 2 0axxc的解集为 | 21xx ,函数 2 yaxxc的图象大致为() 3.已知等差数列 n a,且 3571013 3248aaaaa,则数列 n a的前
2、13 项之和为() A.24 B.39 C.104 D.52 4.已知抛物线 2 20ypx p,过抛物线的焦点作x轴的垂线,与抛物线交于A,B两点,点M的坐标为2,0, 且ABM为直角三角形,则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程为() A. 2 8yx B. 2 8yx C. 2 4yx D. 2 4yx 5.几何原本卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过 这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点 F 在 半圆 O 上,点 C 在直径 AB 上,且OFAB,设ACa,BCb,则该图形可
3、以完成的无字证明为 A.0 2 ab ab ab B. 22 20abab ab C. 2 0 ab ab ab ab D. 22 0 22 abab ab 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 4 3,0P到双曲线 22 2 :1 9 xy C a 的一条渐近线的距离为 6,则双曲线 C 的离心率为 A.2 B.4 C.2 D.3 7.设0a,0b,且21a b ,则 12a aab () A.有最小值为 4 B.有最小值为2 21 C.有最小值为 14 3 D.无最小值 8.已知定义域为 R 的函数 f x满足 22fxf x ,当0,2x时, 2 3 | 2 1,0,1) ( ) 1
4、( ),1,2) 2 x xxx f x x ,设 f x在22,2nn 上的最大值为 * n anN则数列 n a的前 n 项和 n S的值为 A. 1 55 2 n B. 51 5 22 n C. 1 1 55 2 n D. 1 51 5 22 n 二选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分) 9.已知曲线 E 的方程为 22 ,axbyab a bR,则下列选项正确的是() A.当1ab 时,E 一定是椭圆 B.当1ab时,E 是双曲线 C.当0ab时,E 是圆 D.
5、当0ab且 22 0ab时,E 是直线 10.已知下列四个条件,能推出 11 ab 成立的有 A.0ba B.0ab C.0ab D.0ab 11.等差数列 n a的前 n 项和为 n S, 138 5aaS,则下列结论一定正确的是() A. 10 0a B.当9n或 10 时, n S取最大值 C. 613 SS D. 911 | |aa 12.已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点 F 到准线的距离为2,过点 F 的直线与抛物线交于 P,Q 两点,M为线 段 PQ 的中点,O 为坐标原点,则() A.C 的准线方程为1y B.线段 PQ 长度的最小值为 4 C.M 的坐标可能为3,2
6、D.3OP OQ 三填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.已知数列 n a中, 1 1a , 1nn aan ,则 6 a _. 14.已知命题“xR ,使 2 1 210 2 xax”是假命题,则实数 a 的取值范围是_. 15.抛物线有如下光学性质由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出,今有抛 物线 2 20ypx p,如图,一平行 x 轴的光线射向抛物线上的点 P,经过抛物线的焦点 F 反射后射向抛物线 上的点 Q,再反射后又沿平行 x 轴方向射出,若两平行光线间的最小距离为 6,则此抛物线的方程为_. 16.点 A,B 为椭圆 E:
7、 22 22 10 xy ab ab 长轴的端点,CD 为椭圆 E 短轴的端点,动点 M 满足 | 2 | MA MB ,若 MAB面积的最大值为 8,MCD面积的最小值为 1,则椭圆的离心率为_. 四解答题(本题共 6 小题,共计 70 分解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤) 17.(本题10分)已知集合 22 |4300 Ax xaxaa,集合 22 |1C 382 xy Ba aa 方程表示圆锥曲线. (1)若圆锥曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,求实数 a 的取值范围; (2)若圆锥曲线 C 表示双曲线,且 A 是 B 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18.(本题
8、12 分)若正实数 x,y 满足2xyaxy. (1)若0a,求xy的最小值; (2)若6,a ,求 xy 的最小值 19.(本小题满分 12 分)已知数列 n a是公比为 2 的等比数列,其前 n 项和为 n S. (1)在 132 22SSS, 3 7 3 S , 234 4a aa,这三个条件中任选一个,补充到上述题干中,求数列 n a 的通项公式,并判断此时数列 n a是否满足条件 P:任意 m, * nN, mn a a均为数列 n a中的项,说明理由; (2)设数列 n b满足 1 1 n n n n a bn a , * nN,求数列 n b的前 n 项和 n T. 注:在第(1
9、)问中,如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 20.(本题 12 分)已知双曲线 C 过点 4, 3,且渐近线方程为 1 2 yx ,直线 l 与曲线 C 交于点 M、N 两点. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 1 过点1,0,问在 x 轴上是否存在定点 Q,使得QM QN为常数?若存在,求出点坐标及此常数的值; 若不存在,说明理由. 21.(本题 12 分)已知数列 n a的前 n 项和 n S满足 * 231 nn SanN. (1)求数列 n a的通项公式; 2)记 1 11 n n nn a b aa , n T是数列 n b的前 n 项和,若对任意的 * nN,不等式 1 41 n k T n 都成立,求 实数 k 的取值. 22.(本题 12 分)已知点 F 是抛物线 1 C 2 :4yx和椭圆 22 2 22 :1 xy C ab 的公共焦点,M 是 1 C与 2 C的交点, | 321MF . (1)求椭圆 2 C的方程; (2)直线 l 与抛物线 1 C相切于点 00 ,P xy,与椭圆 2 C交于 A,B,点 P 关于 x 轴的对称点为 Q.求 ABQ S的最大值 及相应的 0 x.
