1、1、数学归纳法公理、数学归纳法公理 一般地，证明一个与一般地，证明一个与正整数正整数n有关的数学命题，可按如有关的数学命题，可按如 下两个步骤进行：下两个步骤进行： (1)证明当证明当nn0(n0N*)时命题成立；时命题成立； (2)假设当假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，时命题成立， 证明当证明当nk1时命题也成立。时命题也成立。 上述证明方法叫作上述证明方法叫作数学归纳法。数学归纳法。 数学归纳法是证明与正整数有关命题的常用方法。数学归纳法是证明与正整数有关命题的常用方法。 复习回顾复习回顾 2、数学归纳法的思维过程、数学归纳法的思维过程 复习回顾复习回顾 3、数学归纳法的使用关键、
2、数学归纳法的使用关键 (1)重点：两个步骤、一个结论；重点：两个步骤、一个结论； (2)注意：注意： 归纳奠基不可少，归纳奠基不可少， 归纳假设要用到，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。 归纳奠基归纳奠基 递推的基础递推的基础(找准找准n0) 归纳递推归纳递推 递推的依据递推的依据 nk(kn0)时命题成立作为必用的条件运时命题成立作为必用的条件运用，而用，而nk1时情况则有待利用假设及时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明。已知的定义、公式、定理等加以证明。 复习回顾复习回顾 数学归纳法是一种重要的证明方法，应用十分广泛，一般数学归纳法是一种重要的证明方法，应
3、用十分广泛，一般说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明。明。 问题情境问题情境 数学应用数学应用 类型一类型一 数列的通项及前数列的通项及前n项和等问题项和等问题 例例1、求、求135 (1)n(2n1)的和，请先通过有的和，请先通过有 关活动，提出猜想，再用数学归纳法证明你的猜想。关活动，提出猜想，再用数学归纳法证明你的猜想。 猜想：猜想： 135 (1)n(2n1)(1)n n 数学练习数学练习 已知数列已知数列 的前的前n 和为
4、和为Sn，计算，计算S1，S2，S3， S4，根据计算的结果，猜想，根据计算的结果，猜想Sn 的表达式，并用数学归纳法进行证明。的表达式，并用数学归纳法进行证明。 11111 44 77 10(32)(31)nn， ，114S 227S 3310S 4413S 猜想：猜想： 31nnSn数学应用数学应用 例例2、是否存在常数是否存在常数a、b，使得等式：，使得等式： 对一切正整数对一切正整数n都成立？并证明你的结论。都成立？并证明你的结论。 2222121 33 5(21)(21)2nannnnbn数学应用数学应用 变式拓展变式拓展 是否存在常数是否存在常数a、b、c，使得等式：，使得等式：
5、对一切正整数对一切正整数n都成立？并证明你的结论。都成立？并证明你的结论。 2222(1)1 22 3(1)()12n nnnanbnc a3，b11，c10 数学应用数学应用 例例3、设、设nN*， f(n)5n23n11， (1)当当n1，2，3，4时，计算时，计算f(n)的值；的值； (2)你对你对f(n) 的值有何猜想？用数学归纳法证明你的的值有何猜想？用数学归纳法证明你的 猜想。猜想。 类型二类型二 数的整除性问题数的整除性问题 数学应用数学应用 类型二类型二 数的整除性问题数的整除性问题 题后反思题后反思 数学归纳法证题的关键是“数学归纳法证题的关键是“一凑假设一凑假设，二凑结论二
6、凑结论”，在证”，在证 题过程中，题过程中，归纳推理一定要起到条件的作用归纳推理一定要起到条件的作用，即证明，即证明nk 1成立时必须用到归纳推理这一条件。成立时必须用到归纳推理这一条件。 数学练习数学练习 1、设、设nN*，求证：，求证： f(n)32n2 8n9是是64的倍数。的倍数。 2、试探究、试探究n3 5n(nN*)能被哪些自然数整除，并用数学能被哪些自然数整除，并用数学 归纳法证明你的结论。归纳法证明你的结论。 数学应用数学应用 例例4、在平面上画、在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中条直线，且任何两条直线都相交，其中 任何任何3条直线不共点，问：这条直线不共点，问：这
7、n条直线将平面分成多条直线将平面分成多 少个部分？少个部分？ 解：解： 记记n条直线将平面分成条直线将平面分成rn个部分，我们通过个部分，我们通过n 1，2，3，4，5，画出图形观察，画出图形观察rn的情况。的情况。 n1 n2 n3 n4 n5 从上图中可以看出，从上图中可以看出， r12 r24 r37 11 112 112 3 r411 112 34 r516 112 345 rn11234 n 由此猜想：由此猜想： 222nn类型三类型三 几何中数学归纳法的应用几何中数学归纳法的应用 数学应用数学应用 例例4、在平面上画、在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中条直线，且任何两条
8、直线都相交，其中 任何任何3条直线不共点，问：这条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多条直线将平面分成多 少个部分？少个部分？ rk11234 k 下面用数学归纳法来证明这个猜想：下面用数学归纳法来证明这个猜想： (1)当当n1，2时，结论均成立；时，结论均成立； (2)假设当假设当nk时结论成立，即时结论成立，即 那么，当那么，当nk1时，第时，第k1条直线与前面的条直线与前面的k条条直线都相交，有直线都相交，有k个交点，这个交点，这k个交点将这条直线个交点将这条直线分成分成k1段，且每一段将原有的平面部分分成两段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，所以个部分，所以 rk1rk(k1)
9、11234 k(k1) 所以所以nk1时结论也成立。时结论也成立。 综上综上(1)(2)，对任何，对任何nN*，都有，都有rn1123 4 n，即，即 。 222nnnr变式拓展变式拓展 平面内有平面内有n(n2)条直线，其中任何条直线，其中任何2条不平行，任何条不平行，任何3条不条不 过同一点，求证：它们交点个数为过同一点，求证：它们交点个数为 。 (1)( )2n nf n课堂检测课堂检测 1、求证：、求证：3个连续自然数的立方和能被个连续自然数的立方和能被9整除。整除。 2、求凸、求凸n边形的对角线的条数边形的对角线的条数f(n)。 课堂小结课堂小结 1、数学归纳法公理、数学归纳法公理
10、一般地，证明一个与一般地，证明一个与正整数正整数n有关的数学命题，可按如有关的数学命题，可按如 下两个步骤进行：下两个步骤进行： (1)证明当证明当nn0(n0N*)时命题成立；时命题成立； (2)假设当假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，时命题成立， 证明当证明当nk1时命题也成立。时命题也成立。 上述证明方法叫作上述证明方法叫作数学归纳法。数学归纳法。 数学归纳法是证明与正整数有关命题的常用方法。数学归纳法是证明与正整数有关命题的常用方法。 2、数学归纳法的思维过程、数学归纳法的思维过程 课堂小结课堂小结 3、数学归纳法的使用关键、数学归纳法的使用关键 (1)重点：两个步骤、一个结论；重点：两个步骤、一个结论； (2)注意：注意： 归纳奠基不可少，归纳奠基不可少， 归纳假设要用到，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。 归纳奠基归纳奠基 递推的基础递推的基础(找准找准n0) 归纳递推归纳递推 递推的依据递推的依据 nk(kn0)时命题成立作为必用的条件运时命题成立作为必用的条件运用，而用，而nk1时情况则有待利用假设及时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明。已知的定义、公式、定理等加以证明。 课堂小结课堂小结
