1、北京市通州区2022届高三上期中数学质量检测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，与复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中，的最小值是2的是（ ）A. B. C. D. 4. 某单位有男职工56人，女职工42人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为16人，则女职工抽取的人数为（ ）A. 12B. 20C. 24D. 285. 在的展开式中，的系数为A. 5B. C. 10D. 6. 已知函数，则等于（ ）
2、A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则等于（ ）A. B. C. D. 8. 若函数的定义域是区间，则“”是“函数在区间内存在零点”的（ ）A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）A. 408种B. 240种C. 192种
3、D. 120种10. 已知函数的定义域为，是偶函数，有，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 函数定义域是_12. 关于的不等式的解集为_13 已知，若，则_14. 已知函数，则函数的值域是_15. 设首项是1的数列的前项和为，且则_；若，则正整数的最大值是_三、解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 如图，在中， ， ， ，点 在边 上，且 （1）求；（2）求线段长17. 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间18. 已知函数，当时，有极大值3（1）求的值；（2）求函数的极小值19.
4、设等差数列的前项和是，是各项均为正数的等比数列，且，在，这三个条件中任选一个，解下列问题：（1）分别求出数列和的通项公式；（2）若，求数列前项和 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分20. 某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：以市场需求量的频率代替需求量的概率设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元） 表示下个销售周
5、期两个市场的销售总利润（1）求变量概率分布列；（2）当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（3）以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个21. 设函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间单调，求实数的取值范围；（3）若函数有极小值，求证：的极小值小于北京市通州区2022届高三上期中数学质量检测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由集合的交集运算即可求解.【详解】因为集合，所以，故选：B.2. 在复平面内，与复数对应的点位于A 第一象限B. 第二
6、象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D.【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.3. 下列函数中，的最小值是2的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对于A：取特殊值，代入后否定结论；对于B：取特殊值，代入后否定结论；对于C：利用导数判断单调性，求出最小值；对于D：根据基本不等式利用的条件“一正二定三相等”进行判断.【详解】对于A：的定义域为.取特殊值，代入得y=-22.故A错误；对于B：的定义域为.取特殊值，代入
7、得y=e-12.故B错；对于C：的定义域为R. .令，解得；令，解得；所以在上单减，在上单增，所以当时，y取得最小值2.故C正确；对于D：.令，则.所以，当，记时取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D错误.故选：C4. 某单位有男职工56人，女职工42人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为16人，则女职工抽取的人数为（ ）A. 12B. 20C. 24D. 28【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合分层抽样的计算方法，即可求解.【详解】根据题意，设抽取的样本人数为，因男职工抽取的人数为，所以，因此女职工抽取的人数为（人）.故选
8、：A.5. 在的展开式中，的系数为A. 5B. C. 10D. 【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理计算即可.【详解】解：在的展开式中的项为的系数为-10，故选：D.6. 已知函数，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，然后求出即可【详解】由，得，所以，故选：D7. 已知等差数列的前项和为，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由等差数列的前项和性质，求出，进而得到.【详解】由等差数列的前项和性质，得：，也成等差数列，即，又因，则解得，因此.故选：C.8. 若函数的定义域是区间，则“”是“函数在区间内存在零点”的（ ）A.
9、充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】对充分性和必要性分别取特殊化进行判断，即可得到答案.【详解】充分性：不妨记，满足，但是函数在区间内不存在零点.故充分性不满足；必要性：不妨不妨记，满足函数在区间内存在零点，但是.故必要性不满足.故选：D.9. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲
10、座不同的次序共有（ ）A. 408种B. 240种C. 192种D. 120种【答案】A【解析】【分析】首先对六艺全排列，减去“射”排在第一次的情况，再减去“数”和“乐”两次相邻的情况，最后再加上“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况即可求解.【详解】将六艺全排列，有种，当“射”排在第一次有种，“数”和“乐”两次相邻的情况有种，“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻情况有种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有种，故选：A.10. 已知函数的定义域为，是偶函数，有，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件可得关于直线对称，在上单调递增，结合
11、可判断出答案.【详解】由是偶函数可得关于直线对称因为，有，所以在上单调递增因为，所以，无法比较与0的大小故选：B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 函数的定义域是_【答案】#【解析】【分析】根据对数真数大于零，开偶数次方，根号里的数大于等于零，列出不等式组，即可的解.【详解】解：由函数，可知，解得，即函数的定义域是.故答案为：12. 关于的不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进行求解即可【详解】故答案为【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，在二次项系数大于0的前提下遵循“大于取两
12、边，小于取中间”原则，属于基础题13. 已知，若，则_【答案】【解析】【分析】先由指数式化为对数式可得，再利用即可求的值.【详解】由，可得：，所以，则，故答案为：14. 已知函数，则函数的值域是_【答案】【解析】【分析】根据题意，把原函数转化为两点间的斜率问题，结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】函数表示单位圆上的点与点连线的斜率.设过点的与单位圆相切的方程为，由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，故点与点连线的斜率范围是，因此 函数的值域是.故答案为：.15. 设首项是1的数列的前项和为，且则_；若，则正整数的最大值是_【答案】 . 5 . 16【解析】【分析】根据递推公式即可求得，
13、由题意可得，可得，可得奇数项和偶数项的通项公式，求和公式，考虑，计算可得所求最小值【详解】解：因为，则，由，可得，则，可得，所以，所以，当时，又，所以，所以正整数的最大值是16.故答案为：5，16.三、解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 如图，在中， ， ， ，点 在边 上，且 （1）求；（2）求线段的长【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）利用余弦定理的变式；（2）在中利用正弦定理即可求解 试题解析：（1）根据余弦定理：；（2）因为，所以 ，根据正弦定理得： ，考点：正余弦定理解三角形17. 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求
14、函数的单调区间【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为，【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式可得，再利用周期公式可求得其最小正周期，（2）由可求出其增区间，由可求出其减区间【小问1详解】因为 ， 所以的最小正周期【小问2详解】令，得， 所以的单调递增区间为，；令， 得， 所以的单调递减区间为，18. 已知函数，当时，有极大值3（1）求的值；（2）求函数的极小值【答案】（1）；（2）0【解析】【分析】（1）由题意得，则可得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的极小值.【详解】（1），当时，有极大值3，所以
15、，解得，经检验，满足题意，所以；（2）由（1）得，则，令，得或，列表得极小值极大值易知是函数的极小值点，所以当时，函数有极小值0【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的极值，考查了学生对极值概念的理解与运算求解能力.19. 设等差数列的前项和是，是各项均为正数的等比数列，且，在，这三个条件中任选一个，解下列问题：（1）分别求出数列和通项公式；（2）若，求数列的前项和 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分【答案】（1）条件选择见解析， （2）【解析】【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为，由题意从三个条件中任选一个，然后列方程组求解即可得答案；（2）由（1）
16、知，则，利用裂项相消求和法即可得数列的前项和.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为若选，则由，得，解得或不合题意，舍去 所以，即，即 若选，则由，得，解得或不合题意，舍去.所以，即，即 若选，则由得解得，所以，即，即【小问2详解】解：由（1）知，所以 . 所以20. 某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：以市场需求量的频率代替需求量的概率设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两个市
17、场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元） 表示下个销售周期两个市场的销售总利润（1）求变量概率分布列；（2）当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（3）以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个【答案】（1）分布列见解析 （2）， （3）应选【解析】【分析】（1）根据题意，列出所有可能的取值，结合频数图象求出相应的概率，即可求解；（2）根据题意，结合已知数据和（1）中的分布列，即可求解；（3）根据题意，分别列出与的分布列，求出相应的期望值，即可判断.【小问1详解】设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得，；，
18、 设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得所有可能的取值为16，17，18，19，20，且 ，所以的分布列如下表 16171819200.060.230.350.270.09【小问2详解】由题意得，当时， 当时，所以 设“销售利润不少于8900元”，则当时，当时, ，解得由（1）中的分布列可知，【小问3详解】由（1）知，.当时,的分布列为：0.06所以； 当时，的分布列为：0.060.71所以.因为，所以应选.21. 设函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间单调，求实数的取值范围；（3）若函数有极小值，求证：的极小值小于【答案】（1） （2） （3）证明见详解【解析】【分
19、析】（1）根据题意，结合导数的几何意义，即可求解；（2）根据题意，可知在恒成立，再结合二次函数的图像性质，即可求解；（3）根据题意，求导判断单调性，求出极小值即可.【小问1详解】的定义域为 当时， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即【小问2详解】 若在区间上单调递增，则在恒成立 因为，所以在恒成立 记，因为，所以，所以； 若在区间上单调递减，则在恒成立因为，所以在恒成立 所以 ，即 ，解得 综上，若函数在区间单调，则实数的取值范围是.【小问3详解】由 （2）知 对于二次函数，若，因为，所以在上恒成立，而，所以恒成立所以函数在上单调递增这与函数有极小值矛盾所以，即 此时方程有两个不相等的实数根：，由可知， 当变化时，和变化情况如下表：极大值极小值由表可知，在取得极小值，且在单调递增， 所以，即的极小值小于1
