1、通州区通州区 20202021 学年第一学期学年第一学期高三年级高三年级摸底质量检测摸底质量检测 数学数学试卷试卷 2021 年 1 月 考 生 须 知 1.本试卷分为两部分，共 4 页。总分为 150 分。考试时间为 120 分钟。 2.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 3.在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 4.考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分 选择题（共 40 分） 一、 选择题： 本大题共 10 小题， 每小题 4 分， 共 40 分. 在每个小题列出的四个备选答案中， 只有一个是符合题目要求的. 1已知集合1,2,3,4,5
2、U ， 1,3,4A，则 UA A2,5 B3,5 C 4,5 D1,2,3,4,5 2抛物线 2 4yx的准线方程是 A2x B1x C1x D2x 3已知命题:px R， 2 0 x ，则是 Ax R， 2 0 x Bx R， 2 0 x C 0 xR， 2 0 0 x D 0 xR， 2 0 0 x 4. 已知数列 n a为等差数列，且 1 1a ， 5 9a ，则数列 n a的前5项和是 A15 B20 C25 D35 5从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动要求入选的3人中至 少有一名教师，则不同的选取方案的种数是 A20 B25 C30 D55 6已知ab，且
3、0ab，则下列不等式中一定成立的是 A 11 ab B 11 22 ab C 33 ab D 22 loglogab 7已知角的终边与单位圆交于点 43 , 55 P ，则cos2 A 24 25 B 7 25 C 7 25 D 16 25 8在ABC中，2AB ，3AC ，且3 3AB AC ，则ACABR的最 小值是 A 3 2 B 3 C 3 3 2 D2 3 9如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m，水面宽30mAB . 若水面下降5m，则 水面宽是（结果精确到0.1m） （参考数值：21.41，52.24，72.65） A43.8m B44.8m C52.3m D53.0m 10如
4、图，等腰直角ABC中，2ACBC，点P为平面ABC外一动点，满足PBAB ， 2 PBA，给出下列四个结论： 存在点P，使得平面PAC 平面PBC； 存在点P，使得平面PAC 平面PAB； 设PAC的面积为S，则S的取值范围是0,4； 设二面角APBC的大小为，则的取值范围是 0, 4 . 其中正确结论是 A B C D 第二部分卷 非选择题（共 110 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. C BA P BA 11复数 1i i （i是虚数单位）的虚部是 12在 6 ()2x的展开式中， 3 x的系数是 13在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为4,0
5、，若以线段OA为直径的圆 与直线2yx在第一象限交于点B，则直线AB的方程是 14某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均 最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示 月份且，例如表示 月份，和是正整数， 统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律： 该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； 1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； 每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同 根据已知信息，得到的表达式是_. 15已知函数 4e,0, e ,0. x xx f x x x 若存在 1 0 x，
6、 2 0 x ，使得 12 f xf x，则 12 x f x的取值范围是_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 16 （本题 13 分）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为矩形， 1 DD 平面 ABCD，E，F分别是 1 BB， 1 DC的中点， 1DA ， 1 2DCDD. （）求证：EF平面ABCD； n G n cosG nAnkn 1,12n1n 1Ak00, G n F E D1C1 B1 A1 D C BA （）求直线 1 DC与平面EAD所成角的正弦值. 17 （本题 13 分）在锐角ABC中，角A
7、，B，C的对边分别为a，b，c，设 ABC的 面积为 ABC S，已知 7c ，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作 为已知，求a与sinC的值. 条件：3b；条件： 3 3 2 ABC S ；条件： 7 cos 14 B 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本题 14 分）某企业为了解职工 A 款 APP 和 B 款 APP 的用户量情况，对本单位职工进 行简单随机抽样，获得数据如下表： 假设所有职工对两款 APP 是否使用相互独立. （）分别估计该企业男职工使用 A 款 APP 的概率、该企业女职工使用 A 款 APP 的概 率； （）从该企业男，女职工中各随机抽
8、取 人，记这人中使用 A 款 APP 的人数为， 求的分布列及数学期望； （）据电商行业发布的市场分析报告显示，A 款 APP 的用户中男性占、女性 占；B 款 APP 的用户中男性占、女性占.试分析该企业职工使 12X X 52.04 47.9638.9261.08 男职工 女职工 使用 不使用 使用 不使用 A 款 APP 人 人 人 人 B 款 APP 人 人 人 人 72484080 60608436 用 A 款 APP 的男、女用户占比情况和使用 B 款 APP 的男、女用户占比情况哪一个与市 场分析报告中的男、女用户占比情况更相符. 19 （本题 15 分）已知函数 1 1f x
9、x . （）求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （）设函数 lng xf xtx，当1t时，求 g x零点的个数. 20 （本题 15 分）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右顶点分别为点A，B，且 4AB ，椭圆C离心率为 1 2 . （）求椭圆C的方程； （） 过椭圆C的右焦点， 且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点， 直线AM， BN的交于点Q，求证：点Q在直线4x上. 21 （本题 15 分）已知数列 n A： 1 a， 2 a， n a（2n）满足： ； 1 2 k k a a （1k ，2，1n）. 记. （）直接写出的所有可能值； （）证明：的
10、充要条件是； （）若，求的所有可能值的和. 1 1a 12 () nn S Aaaa 3 S A 0 n S A0 n a 0 n S A n S A 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一选择题：本大题共一选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C B C C A B B 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11. 12. 13. 240 xy 14. 5 15cos18 66 G nn ，n是正整数且1,12n， 15
11、. 2 4e ,0 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分. 16 （本题 （本题 13 分）分） 解： （）证明：取的中点，连接，. 1 分 因为是的中点，所以，. 因为是的中点，所以，. 所以，. 所以四边形是平行四边形. 所以. 5 分 因为平面，平面， 所以平面. 6 分 （）因为底面为矩形，平面， 所以，. 7 分 以点为坐标原点， 分别以直线，为， ， 轴建立空间直角坐标系. 160 CDGFGBG F 1 DC 1 FGCC 1 1 2 FGCC E 1 BB 1 EBCC 1 1 2 EBCC FGEBFGEB FGBE EFBG EF ABCD
12、BG ABCD EFABCD ABCD 1 DD ABCD DADC 1 DDDA 1 DDDC DDADC 1 DDx y zDxyz G z y x F E D1C1 B1 A1 D C B A 8 分 因为1DA ， 1 2DCDD， 所以，. 所以，. 设平面的法向量为， 所以 即 令，则. 所以. 11 分 所以 所以直线与平面所成角的正弦值. 13 分 17 （本题 （本题 13 分）分） 解（一） ：选择条件：；条件：. 因为， 所以 13 3 sin 22 bcA，即 13 3 37 sin 22 A . 所以 21 sin 7 A. 4 分 因为是锐角三角形， 所以 2 7
13、cos 7 A. 7 分 由余弦定理可得 2 2 7 972 37 7 a . 所以2a . （负值舍去） 10 分 由正弦定理可得 sin sin cA C a . 0,0,0D1,0,0A1,2,1E 1 0,2,2C 1,0,0DA1,2,1DE 1 0,2,2DC EAD, ,nx y z , , n DA n DE 0 0 , . x xyz 0 20 1y 2z 0,1, 2n 1 210 cos,. 102 25 DC n 1 DC EAD 10 10 3b 3 3 2 ABC S 3b 7c 3 3 2 ABC S ABC 所以 3 sin 2 C . 13 分 所以2a ，
14、3 sin 2 C . 解（二） ：选择条件：；条件： 7 cos 14 B 因为 7 cos 14 B ， 所以 3 21 sin 14 B . 4 分 由正弦定理可得 sin sin cB C b . 所以 3 sin 2 C . 8 分 由余弦定理可得 2 7 9727 14 aa . 所以2a . （负值舍去） 13 分 所以2a ， 3 sin 2 C . 解（三） ：选择条件：；条件： 7 cos 14 B 因为 7 cos 14 B ， 所以 3 21 sin 14 B . 3 分 因为， 所以 13 3 sin 22 acB ，即 13 213 3 7 2142 a . 所以2
15、a . 7 分 由余弦定理可得 2 7 472 27 14 b . 所以3b . （负值舍去） 10 分 由正弦定理可得 sin sin cB C b . 所以 3 sin 2 C . 13 分 3b 3 3 2 ABC S 3b 3 3 2 ABC S 所以2a ， 3 sin 2 C . 18 （本题 （本题 14 分）分） （）由所给数据可知，男职工使用 A 款 APP 的人数为72，用频率估计概率，可得男职工 使用京东 APP 的概率约为 723 1205 ； 同理，女职工使用 A 款 APP 的概率约为 401 1203 . 3 分 （）X的可能取值为0，1，2. 4 分 所以 22
16、4 0 5315 P X ； 32218 1 535315 P X ； 311 2 535 P X . 7 分 所以的分布列为 9 分 的数学期望 48114 012 1515515 EX . 11 分 （）样本中，A 款 APP 的男、女用户为7240112（人） ，其中男用户占 72 64.3 112 ； 女用户占 40 35.7 112 . 样本中，B B 款 APP 的男、女用户为6084144（人） ，其中男用户占 60 41.7 144 ；女用户 占 84 58.3 144 . 所以该企业职工使用 B B 款 APP 的情况与官方发布的男、女用户情况更相符. 14 分 19 （本题
17、 （本题 15 分）分） 解： （）因为，所以 2 1 ( )fx x = - . 所以 10f，(1)1 f = -. X X 1 1f x x 0 1 2 P 4 15 8 15 1 5 X 所以曲线在点处的切线方程是()1yx= -，即10 xy+-=. 3 分 （）因为 lng xf xtx， 所以 1 ln1g xtx x 0 x . 所以 22 11 ( ) ttx g x xxx - = -+= . 4 分 当0t时，( )0g x . 所以在0,上单调递减. 因为， 所以有且仅有一个零点. 6 分 当01t ，得 1 x t ，令( )0g x，得 1 x t . 所以在 1
18、0, t 骣 桫 上单调递减，在 1, t 上单调递增. 7 分 因为， 所以在 1 0, t 骣 桫 上有且仅有一个零点. 8 分 因为( ) 1 10gg t 骣 ，且 1 1 1 e0 e t t g 骣 = 桫 ， 所以 0 1, x t 骣 $? 桫 ，使得. 所以在 1, t 上有且仅有一个零点. yf x 1,1f ( )g x (1)0g= ( )g x ( )g x (1)0g= ( )g x 0 ()0g x= ( )g x 所以当01t ，得1x，令( )0g x ，得1x. 所以在()0,1上单调递减，在1,上单调递增. 所以当时，取得最小值，且. 所以有且仅有一个零点
19、. 14 分 综上所述，当0t或1t =时，有且仅有一个零点；当01t 时，有两个零点. 15 分 20（本题（本题 15 分）分） 解： （）因为，椭圆离心率为 1 2 ， 所以 222 24, 1 , 2 . a c a abc 解得 2 4a ， 2 3b . 所以椭圆的方程是 22 1 43 xy . 3 分 （）若直线 的斜率不存在时，如图， 因为椭圆的右焦点为1,0，所以直线l的方程是1x . 所以点的坐标是 3 1, 2 ，点N的坐标是 3 1, 2 . ( )g x ( )g x 1x= ( )g x(1)0g= ( )g x ( )g x( )g x 4AB C C l C
20、M 4 1 1 y xO Q N M BA 所以直线AM的方程是 1 2 2 yx， 直线BN的方程是 3 2 2 yx. 所以直线AM，BN的交点的坐标是4,3. 所以点在直线上. 5 分 若直线 的斜率存在时，如图. 设斜率为k. 所以直线 的方程为1yk x. 联立方程组 22 1 , 1, 43 yk x xy 消去y，整理得 222 3484120kxk xk. 6 分 显然0 . 不妨设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 所以 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 412 34 k x x k . 8 分 所以直线AM的方程是 1 1 2 2 y yx
21、x . 令4x，得 1 1 6 2 y y x . 直线BN的方程是 2 2 2 2 y yx x . 令4x，得 2 2 2 2 y y x . 10 分 所以 12 12 62 22 yy xx 12 12 6121 22 k xk x xx 1212 12 612221 22 k xxk xx xx 分子 1212 612221k xxk xx Q Q4x l l AB M N Q Ox y 1 4 12211212 232222kx xxxx xxx . 1212 2258kx xxx 2 2 22 2 412 5 8 28 3434 k k k kk 222 2 824402432
22、2 34 kkk k k 0. 15 分 所以点在直线上. 21 （本题 （本题 15 分）分） 解： （）的所有可能值是7，5，3，1，1，3，5，7. 3 分 （）充分性：若0 n a ，即 1 2n n a . 所以满足 1 2n n a ，且前n项和最小的数列是1，2，4， 2 2n ， 1 2n. 所以 21 12 12422 nn n aaa 2 1 1 22 2 1 2 n n 1. 所以. 6 分 必要性：若，即 12 0 n aaa. 假设0 n a ，即 1 2n n a . 所以 21 12 1242210 nn nn S Aaaa ，与已知矛 盾. 所以. 8 分 综上
23、所述，的充要条件是. （）由（）知，可得. 所以 1 2n n a . 因为数列，（）中 1 a有 1，1两种， 2 a有 2，2两种， 3 a有 4， Q4x 3 S A 0 n S A 0 n S A 0 n S A 0 n S A 0 n S A0 n a 0 n S A0 n a 1 : n Aa 2 a n a2n 4两种， 1n a 有 2 2n ， 2 2n两种，n a有 1 2n一种， 所以数列，（）有 1 2n个，且在这 1 2n个数列中，每一个数列都可 以找到前1n项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前n项和是 1 2 2n . 所以这 1 2n个数列的前n项和是 1122 1 2 222 2 nnn . 所以的所有可能值的和是 22 2 n . 15 分 1 : n Aa 2 a n a2n n S A
