1、北京市昌平区2022届高三上学期期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知 ，那么 “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为，则点到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 5. 在的展开式中，的系数为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中， 过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为（ ）A. B. C. D.
2、 7. 已知函数最小正周期为，则（ ）A. 在内单调递增B. 在内单调递减C. 在内单调递增D. 在内单调递减8. 在平面直角坐标系中，点到直线距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 9. 算盘是中国传统的计算工具东汉徐岳所撰的数术记遗中记载：“珠算，控带四时，经纬三才”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（ ）A. B. C. D. 10. 若函数 恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共11
3、0分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知双曲线一个焦点的坐标是，则此双曲线的离心率为_.12. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则_；_.13. 若函数， 对任意的都满足，则常数的一个取值为_.14. 在参加综合实践活动时，某同学想利用3D打印技术制作一个的容器：容器上部为圆锥形，底面直径为；下部为圆柱形，底面直径和高均为（如图所示）. 他希望当如图放置的容器内液体高度为时，把容器倒置后，液体恰好充满整个圆锥形部分，则圆锥形部分的高度设计为_.15. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，前项乘积为，则数列的通项公式_； 满足的最大
4、正整数的值为_三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，.（1）求A；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长条件：；条件：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分17. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，平面，是的中点，与平面交于点， .（1）求证： 是的中点；（2）若为棱上一点，且直线与平面所成的角的正弦值为，求的值.18. 随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项
5、运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：（1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；（2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；（ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单
6、板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.19. 已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）曲线在直线的上方，求实数的取值范围.20. 已知椭圆过点.（1）求椭圆方程；（2）若过点的直线与椭圆交于点，直线分别交直线于点.求证：线段的中点为定点.21. 已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”（1）数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；（2）等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；（3）数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值北京市昌平区2022届高三上学期期末
7、质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式，求出集合A，进而求出.【详解】由得：或，则，所以故选：A2. 在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【详解】试题分析：对应的点为在第二象限考点：复数运算点评：复数运算中分子分母同乘以分母的共轭复数，复数对应的点为3. 已知 ，那么 “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分性、必要性的定义，结合
8、指数函数和幂函数的性质进行判断即可.【详解】由，但是由不一定能推出，例如：当时，显然，但是没有意义，故选：A4. 已知抛物线上一点到抛物线的焦点的距离为，则点到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义得到，即求.【详解】由抛物线可得，准线方程为，因为抛物线上的点P到它的焦点的距离为5，所以，所以，即点到轴的距离为4.故选：C5. 在的展开式中，的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过二项展开式通项公式直接求特定项系数.【详解】的通项为，令，即，故选：D.6. 如图，在正方体中， 过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为（ ）
9、A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量解决.【详解】过点A的面对角线一共有三条，AC，连接，AC，以为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，其中，故与垂直，与不垂直，故答案为2条.故选：C7. 已知函数的最小正周期为，则（ ）A. 在内单调递增B. 在内单调递减C. 在内单调递增D. 在内单调递减【答案】B【解析】【分析】根据二倍角公式，结合余弦型函数最小正周期公式、单调性进行求解即可.【详解】，因为该函数最小正周期为，所以有，即，当时，即当时，函数单调递减，因此选项A不正确，选项B正确；当时，即当时，函数
10、单调递增，因此选项C不正确，选项D不正确，故选：B8. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据点到直线距离，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】设点到直线的距离为，即，所以的最大值为：，故选：D9. 算盘是中国传统的计算工具东汉徐岳所撰的数术记遗中记载：“珠算，控带四时，经纬三才”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
11、析】【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：从个位、十位、百位这三组中随机拨动2粒珠，有11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550共12个，其中能被3整除的有：15，51，105，501，150，510共6个，所以这个数能够被3整除的概率是，故选：C10. 若函数 恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分两种情况，第一种是与在各自定义域内各有一个零点；第二种是在定义域内没有零点，在定义域内有两个零点.【详解】因为单调递增，先减后增，故当时，有一个零点，当时，有一个零点，则要求，解得：；当时，没有零
12、点，当时，有两个零点，则要求或，解得：；综上：实数的取值范围是故选：D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知双曲线的一个焦点的坐标是，则此双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程及焦点坐标直接可得离心率.【详解】由双曲线的焦点坐标为，所以，所以离心率，故答案为：.12. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则_；_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据网格，利用平面向量的数量积运算求解.【详解】由网格知：，所以，又，所以，所以，故答案为：0，-213. 若函数， 对任意的都满足，则常数的一个
13、取值为_.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由，代入利用两角和与差的余弦公式化简即可.【详解】由，即，即，即，又，所以，所以，即常数的一个取值为，故答案为：.14. 在参加综合实践活动时，某同学想利用3D打印技术制作一个的容器：容器上部为圆锥形，底面直径为；下部为圆柱形，底面直径和高均为（如图所示）. 他希望当如图放置的容器内液体高度为时，把容器倒置后，液体恰好充满整个圆锥形部分，则圆锥形部分的高度设计为_.【答案】6【解析】【分析】求出容器内液体体积，进而列出方程，求出圆锥形部分高度.【详解】容器内液体体积为（cm3），设圆锥形部分高度为，则，解得：（cm）故答案为：615. 已知等比数
14、列的各项均为正数，其前项和为，前项乘积为，则数列的通项公式_； 满足的最大正整数的值为_【答案】 . . 【解析】【分析】根据题意分公比为和公比不等于1讨论，设公比为，根据，求出首项和公比，即可求出通项，再求出，根据，转化为二次不等式，从而可得出答案.【详解】解：当公比为时，由，得，所以，则，与题意矛盾，当公比不等于1时，设公比为，由，得，即，即，得：，解得或（舍去），所以，由，得，所以，则，若，则，即，所以，因此只需要，即，解得，所以满足的最大正整数的值为10.故答案为：；10.三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，.（1）求A；（2）再从条件、条
15、件这两个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长条件：；条件：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1） （2）选条件，不合题意；选条件， 边上高线的长为【解析】【分析】（1）利用余弦定理及题干条件得到，从而得到；（2）选不能保证ABC唯一确定，故选，利用正弦定理及题干条件得到，根据三角形面积求得BC 边上高线的长【小问1详解】由余弦定理及，得.因为，所以.【小问2详解】选条件：由（1）知：，则，代入解得：，此时ABC 存在但不唯一，不合题意，舍去；选条件：.由正弦定理及，得.在中，设，由，
16、得，解得符合要求.设BC 边上高线的长为由，解得17. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，平面，是的中点，与平面交于点， .（1）求证： 是的中点；（2）若为棱上一点，且直线与平面所成的角的正弦值为，求的值.【答案】（1）证明见解析 （2）或【解析】【分析】（1）由线面平行的判定与性质可得，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法由线面角公式求解即可.【小问1详解】因为，平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以.所以.因为点是的中点，所以点是的中点.【小问2详解】因为平面，平面，所以.由，如图建立空间直角坐标系，则， ，.设，所以.设平面的一个法向量为，则即 令，则，所以.所以.设直线
17、与平面所成的角为，则，解得：或.所以或.18. 随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：（1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；（2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.（i）现在从这10所学校中随机选取3所，记为其中的“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；（ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个
18、动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.【答案】（1）； （2）（i）分布列见解析，数学期望为；（ii）无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据古典概型计算公式，结合所给的数据进行求解即可；（2）（i）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；（ii）根据独立重复事件的概率公式，结合小概率事件的性质进行求解即可.【小问1详解】设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪
19、”的参与人数超过40人”“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以【小问2详解】（i）X所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所所以，.所以X的分布列为：X0123P所以（ii）设事件B 为“参训前，该同学考核为优秀”，则参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化理由如下：比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化理由如下：事件是随机事件，比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还
20、是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化19. 已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）曲线在直线的上方，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由，得到，进而求得，写出切线方程；（2）将问题转化为恒成立，令其中，用导数法求解.【小问1详解】解：时，.所以曲线在点处的切线方程为即.【小问2详解】曲线在直线的上方，即恒成立，设其中.若在上单调递增.因为所以不满足条件.若令当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以令，解得综上，实数的取值范围为20. 已知椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于点，直线分别交直线于点.
21、求证：线段的中点为定点.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆过点，代入椭圆方程求解；（2）设直线的方程为 ，联立，令，分别求得直线与直线的交点的纵坐标，结合韦达定理，由求解.【小问1详解】解：由题设，得 解得.所以椭圆的方程为：.【小问2详解】依题意，直线的斜率存在，设其方程为 .由得.由得，即.设，则 .直线的方程为，令，得点的纵坐标.同理可得点的纵坐标.所以 ， 因为所以.所以线段的中点坐标为是定点.21. 已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”（1）数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数
22、列”；（2）等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；（3）数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3）【解析】【分析】(1)根据新定义的理解即可得出结果；(2)根据和等差数列的通项公式列出不等式组，即可解得公差的范围；(3)设长度为的“等比伴随数列”的公比为，将问题转化为对恒成立，对k的取值分类讨论，当时，构造函数，利用导数证明即可.【小问1详解】数列的一个长度为4的“等比伴随数列”为1,4，16,64（答案不唯一）.【小问2详解】由题意，即 ，则.又数列符合题意，所以的最大值为3.【小问3详解】设长度为的“等比伴随数列”的公比为，则对任意正整数，当时，都有成立，即对恒成立.当时，有；当时，即；当时，有恒成立，即当时，.令当时，所以在单调递减，所以当4时，. 同理，令，则在上单调递减，即4时，.则，即.令，当时，所以在上单调递减.又由于，所以，存在(6，7)，使得，所以的最大值为6【点睛】对新定义的数列，要充分理解新定义的性质，结合等差、等比数列的相关知识找到题干中的等量关系，构造新函数，学会利用导数研究函数的单调性、最值，将未知的问题转化为熟悉的知识点，在平时的练习中，要注重培养函数思想、转化思想等.
