1、第二章 直线和圆的方程一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1若方程表示圆，则实数的取值范围为（）ABCD2圆心为，半径为3的圆的方程是（）ABCD3已知圆与直线至少有一个公共点，则的取值范围为（）ABCD4平行于直线且过的直线方程为（）ABCD5设，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（）A或BCD或6已知圆的圆心坐标是,圆的圆心坐标是,若圆的半径为,圆的半径为,则圆与的位置关系是A外切B相离C内切D相交7如果复数z满足，那么的最大值是（）ABCD8直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（）ABCD二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四
2、个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（）ABCD10（多选）已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（）ABCD11已知直线，则下述正确的是（）A直线的斜率可以等于B直线的斜率有可能不存在C直线可能过点D若直线的横纵截距相等，则12（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A圆上的点到直线的最小距离为B圆上的点到直线的最大距离为C若点在圆
3、上，则的最小值是D圆与圆有公共点，则的取值范围是三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13圆与圆内切，则的值为_.14动圆的圆心的轨迹方程是_15无论为何值，直线必过定点坐标为_16已知平面直角坐标系中，若是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方向排列，则点的坐标是_.四、解答题（本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：（1），；（2），18在中，已知，.（1）求边所在的直线方程；（2）求的面积.19已知直线l：（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；（2）若直线l与圆相切，求a的值20已知圆C经过两点，且
4、在两坐标轴上的四个截距之和为2，（1）求圆C的方程；（2）求过点且与圆C相切的直线方程21直线过点且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.22已知直线与圆交于两点（1）求出直线恒过定点的坐标（2）求直线的斜率的取值范围（3）若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由参考答案1A【解析】利用一般方程表示圆得的不等式求解【详解】由题，则解得故选：A【点睛】本题考查圆的一般方程，是基础题2D【解析】【分析】根据圆心和半径可直接得到圆的方程.【详解】因为圆心为，半径为3，故圆的方程为：.故选：D.【点睛】本题考查圆的标准方程，
5、一般根据圆心坐标和半径可直接写出圆的标准方程，本题属于基础题.3C【解析】【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离范围，从而求出的取值范围.【详解】圆心到直线的距离，当且仅当时等号成立，故只需即可.故选：C4D【解析】两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，根据点斜式方程可得解.【详解】两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，故，根据点斜式方程可得，化简得故选：D【点睛】本题考查了过定点与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5D【解析】【分析】如图，求出可得斜率的取值范围.【详解】由题设可得，因为直线与线段相交，则或，故选：D.6A【解析】根据圆与圆的位置关
6、系判断方法即可得出【详解】因为圆与的圆心距为：，而圆与的半径之和为，所以圆与的位置关系是外切故选：A【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系判断，属于基础题7A【解析】【分析】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆表示圆上的点与点的距离，求出即可得出【详解】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆表示圆上的点与点的距离的最大值是故选：A【点睛】本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是8D【解析】【分析】根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围.【详解】解：直线的斜率为，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查了利用两点求
7、直线的斜率以及倾斜角的应用问题，属于基础题.9AD【解析】【分析】求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】由已知条件可得，即，解得.故选：AD.10AB【解析】【分析】由题可知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程【详解】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即由已知得，所以或，所以直线l的方程为或故选：AB【点睛】此题考查直线方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题11BD【解析】根据直线方程判断斜率AB，代入点的坐标可判断直线是否过一点判断C，求出横纵截距可判断
8、D【详解】时，斜率不存在，时，斜率不等于0，A错；B正确；，不在直线上，C错；时，纵截距不存在，时，令得，令，由得，D正确故选：BD12ACD【解析】【分析】求出线段的中垂线的方程，由圆心到中垂线的距离等于半径求出的值，可得圆的方程，求出圆心到的距离，则、分别为圆上的点到直线的最小距离和最大距离可判断选项A、B；令，令圆心到该直线的距离等于半径列方程求出的值可判断C；计算圆心距小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，解不等式求出的取值范围可判断D，进而可得正确选项.【详解】因为，所以是等腰三角形，可得的外心、重心、垂心都位于的垂直平分线上，由点，点可得线段的中点为，且直线的斜率，所以线段的
9、垂直平分线的方程为，即.又圆的圆心为，直线与圆相切，所以点到直线的距离为，所以圆.对于选项A、B：圆的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故选项A正确，选项 B错误；对于C，令，即，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故选项C正确；对于D，圆的圆心为，半径为，若该圆与圆有公共点，则，即，解得，故选项D正确.故选：ACD.13或【解析】【分析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出的值为.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距，又因为两圆内切，有，解得或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查了圆的位
10、置关系，根据圆的标准方程求半径与圆心，属于基础题.14【解析】【分析】把圆的方程化为标准方程的形式，得到圆心坐标，消去参数，即可求出结果.【详解】把圆的方程化为标准方程得：，则圆心坐标为，因为，得到，消去可得，故答案为【点睛】本题主要考查点的轨迹方程，由圆的方程写出圆心坐标，消去参数即可求出结果，属于基础题型.15【解析】【分析】把直线方程变形可得，联立方程组，即可求解.【详解】根据题意，直线，即，变形可得，联立方程组，解得，即直线必过定点.故答案为：.16【解析】【分析】分别点为圆心，为半径作圆，根据题意得两圆在第一象限中的交点即为所求点，进而写出圆的方程并联立求解即可得答案.【详解】解：如
11、图，分别以点为圆心，为半径作圆，两圆在第一象限的交点即为所求的点.因为，所以以点为圆心，为半径的圆的方程为；以点为圆心，为半径的圆的方程为.联立方程，解得（负舍）， 所以点的坐标是 故答案为：17（1）交点坐标为，图形见解析；（2）交点坐标为，图形见解析.【解析】【分析】（1）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形；（2）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形.【详解】（1）联立，解得，交点为，如下图所示：（2）联立，解得，交点为，如下图所示：18（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由直线方程的两点式可得；（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.【详解】（1），
12、边所在的直线方程为，即；（2）设到的距离为，则，方程为：即：.19（1）1；（2）4或【解析】【分析】（1）分别令，得到截距，解方程即可;（2）根据圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.【详解】（1）易知直线l的截距不能为0，令，令，；则故a的值为1（2）圆心到直线l的距离或故a的值为4或.20（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设出圆的一般式方程，两坐标轴上的四个截距之和是2，令和，利用韦达定理和圆过，坐标可求（2）由（1）可得圆的圆心坐标与半径，可判断切线的斜率存在，设斜率为，表示出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可【详解】解：（1）由题意设圆，令，得，则，令，得，
13、则，两坐标轴上的四个截距之和是2，且圆过两点，将，代入方程得，解得：，故得圆（2）由（1）得圆，即，圆心，半径，过作圆的切线，显然切线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，则，解得或，故切线方程为或21（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为， 又因为直线过点，所以，即，所以直线的方程为； （2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为， 又因为该圆过点、，所
14、以有，解得，所以圆心坐标为，半径，故圆的方程为.22（1）；（2）；（3）为定值.【解析】【分析】（1）将直线方程整理后可得方程组，解方程组可求得定点坐标；（2）设直线方程，利用圆心到直线距离小于半径可构造不等式求得结果；（3）可设直线方程，与圆方程联立得到韦达定理的形式，由整理可得定值.【详解】（1）将直线方程整理为：，令，解得：，直线恒过定点；（2）设直线斜率为，由（1）可知：直线方程可设为：，即；圆方程可整理为，则其圆心，半径，直线与圆交于两点，圆心到直线距离，即，解得：，即直线斜率的取值范围为；（3）设，当时，与圆仅有一个交点，不合题意，则直线，可设直线方程为，由得：，由（2）知：；，为定值.【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆中的定值问题的求解，解题关键是能够将所求量表示成韦达定理的形式，通过韦达定理代入整理，消去变量即可得到定值.
