1、2022 年广东省茂名市高州市中考数学一模试卷年广东省茂名市高州市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. -2022的绝对值是（ ） A. 2022 B. -2022 C. 12022 D. -12022 2. 若在一组数据 4，3，2，4，2 中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 3. 如图，AMBN，135 ，则2 的度数是（ ） A. 135 B. 145 C. 165 D. 155 4. 下列图形中，是中心对称图
2、形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 圆 C. 矩形 D. 平行四边形 5. 据 茂名市第七次全国人口普查公报 ， 至 2020年 11 月 1日零时， 高州市常住人口数约为 1.33106人，则数据 1.33106表示的原数是（ ） A. 13300 B. 133000 C. 1330000 D. 13300000 6. 小红想在 2个“冰墩墩”和 2 个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（ ） A. 12 B. 13 C. 23 D. 16 7. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（
3、） A. B. C. D. 8. 在实数范围内，下列代数式一定有意义的是（ ） A. 12y B. y0 C. 3y D. 3y 9. 如图，在三角形 ABC中，ABAC，BC6，三角形 DEF 的周长是 7，AFBC 于 F，BEAC于 E，且点 D 是 AB 的中点，则 AF（ ） A. 5 B. 7 C. 3 D. 7 10. 如图，二次函数 yax2bxc（a0）的图象经过点 A（1，0） ，点 B（m，0） ，点 C（0，m） ，其中 2m3，下列结论：abc0，2ac0，2ab0，方程 ax2bxcm0 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3
4、 D. 4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 28 分 ）分 ） 11. 四个实数2，0，2，3中，最小的实数是_ 12 分解因式：2312x _ 13. 关于 x 的一元二次方程20 xxm有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数 m的值_ （写出一个即可） 14. 若一个n边形的每个外角都是40，则n的值为_ 15. 如图，在ABC中，ACBC，在边 AB上截取 ADAC，连接 CD，若点 D恰好是线段 AB的一个黄金分割点，则A 的度数是_ 16. 如图，在菱形 ABCD中，AB 的垂直平分线交对角线 BD 于点 F，垂足为点 E，
5、连接 AF、AC，若DCB70，则FAC_ 17. 如图， 在直角坐标系中， 已知点 P0坐标为 （1， 0） ， 进行如下操作： 将线段 OP0按逆时针方向旋转 60，再将其长度伸长为 OP0的 2 倍，得到线段 OP1；又将线段 OP1按逆时针方向旋转 60，长度伸长为 OP1的2 倍， 得到线段 OP2； 如此重复操作下去， 得到线段 OP3， OP4， 则 P3的坐标为_， P32的坐标为_ 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6分，共分，共 18 分）分） 18. 解不等式组：581223xxxx 19 先化简，再求值：262xx （5
6、2xx2） ，其中 x2 20. 如图，已知四边形 ABCD 中，ADBC，M为 AD上一点 （1）请你用尺规在 BC 边上求作一点 N，使得线段 MN的长度最短 （保留作图痕迹，不写作法） （2）连接 DN，若 ADBN，求证：ABDN 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8分，共分，共 24 分）分） 21. 某校为了做好课后延时服务，让“双减”政策落地生“花”，采取电子问卷（问卷如图所示）的方式随机调查了部分学生对课后延时服务的满意程度，所有问卷全部收回，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图请根据统计图提供的信息，解答下列问题： 你对
7、课后延时服务满意吗？ （仅选一项） A.非常满意 B满意 C一般 D不满意 （1）这次活动共调查了 人 （2）请补全条形统计图 （3）在扇形统计图中，求 D 对应的圆心角的度数 （4）根据调查结果，估计该校 1500 名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有多少人？ 22. 为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是 25 元和 8元 （1）学校第一次购买甲、乙两种图书共 100本，且恰好支出 1820 元，求第一购买了甲、乙两种图书各多少本？ （2）若学校准备再次购买甲、乙两种图书共 210本，
8、且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？ 23. 如图，矩形 ABCD的顶点 A，B 在 x轴的正半轴上，点 B在点 A的右侧，反比例函数1kyx在第一象限内的图象与直线234yx交于点 D，且反比例函数1kyx交 BC 于点 E，AD3 （1）求 D点的坐标及反比例函数的关系式； （2）若矩形的面积是 24，求出CDE的面积 （3）直接写出当 x4时，y1的取值范围 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20分）分） 24. 如图，ABC为O的内接三角形，AB 为O 的直径，将ABC
9、沿直线 AB折叠得到ABD，交O于点 D连接 CD 交 AB于点 E，延长 BD和 CA 相交于点 P，过点 A作 AGCD交 BP于点 G （1）求证：直线 GA 是O的切线 （2）求证：AGADGDAB （3）若 tanAGB2，PG6，求 sinP值 25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y轴交于 C 点，D 为抛物线顶点 （1）求该抛物线的解析式 （2）如图 1，连接 AD，交 y轴于点 E，点 P是第一象限的抛物线上的一个动点，连接 PD交 x 轴于 F，连接 EF、AP，若 SADP3SDEF，求点
10、P的坐标 （3） 点 Q 是抛物线对称轴上一动点， 连接 OQ、 AQ， 设AOQ外接圆圆心为 H， 当 sinOQA 的值最大时，请求出点 H的坐标 2022 年广东省茂名市高州市中考数学一模试卷年广东省茂名市高州市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. -2022的绝对值是（ ） A. 2022 B. -2022 C. 12022 D. -12022 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用绝对值的定义得出答案 【详解】-2022 的绝对值是 2022 故选 A 【点睛】此题考查求一个数的绝对值，解题
11、的关键是正确掌握负数的绝对值是它的相反数 2. 若在一组数据 4，3，2，4，2 中再添加一个数后，它们的平均数不变，则添加数据后这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数的公式求出数据 4,3,2,4,2的平均数,根据定义求解 详解】解:(4+3+2+4+2)5 =15 5 =3 它们的平均数不变, 添加的数据为 3. 这组新数据为:2,2,3,3,4,4, 这组新数据的中位数为:12(3+3)=3, 故选:A 【点睛】本题主要考查平均数和中位数，准确的计算是正确解题的关键，值得注意的是，在中位数的计算前需要将数据进行排
12、序 3. 如图，AMBN，135 ，则2 的度数是（ ） A. 135 B. 145 C. 165 D. 155 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可得3135 ，再由平角的定义即可求解 【详解】解：如图， AMBN，135 ， 3135 ， 2180 3145 故选：B 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质:两直线平行，同位角相等 4. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 圆 C. 矩形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可 【详解】解：等边三角形不是中心对
13、称图形，是轴对称图形，A不合题意； 圆是中心对称图形，也是轴对称图形，B 不合题意； 矩形是中心对称图形，是轴对称图形，C不合题意； 平行四边形中心对称图形但不是轴对称图形，D符合题意， 故选 D 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合 5. 据 茂名市第七次全国人口普查公报 ， 至 2020年 11 月 1日零时， 高州市常住人口数约为 1.33106人，则数据 1.33106表示的原数是（ ） A. 13300 B. 133000 C. 1330000 D. 13300
14、000 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数，当原数绝对值1时，n 是负整数 【详解】解：1.33 1061330000， 故选：C 【点睛】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，正确确定 a、n的值是解题的关键 6. 小红想在 2个“冰墩墩”和 2 个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（
15、） A. 12 B. 13 C. 23 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 【详解】解：2 个“冰墩墩”用 A、B 表示，2 个“雪容融”分别用 C、D 表示， 根据题意画图如下： 共有 12种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有 8种， 则小红选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是82123； 故选：C 【点睛】本题考查了用列举法求解概率的知识，熟练掌握列举法的基本原理，列出所有可能的结果是解答本题的关键 7. 如图的几何体是由一些
16、小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，可得答案 【详解】解：从左边看，上面一层是一个正方形，下面一层是两个正方形， 故选 B 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图，掌握三视图的有关定义是解题的关键 8. 在实数范围内，下列代数式一定有意义的是（ ） A. 12y B. y0 C. 3y D. 3y 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据分式有意义的条件判断即可； B.根据零指数幂的概念解答判断即可； C.根据立方根的概念判断即可； D.根据二次根式有意义的条件判断即可
17、【详解】解：A.当 y0 时，12y无意义，故 A不合题意； B.当 y0 时，0y无意义，故 B不合题意； C.不论 y取何值，3y都有意义，故 C 符合题意； D.当 y0 时，3y无意义，故 D不合题意 故选：C 【点睛】本题主要考查了零指数幂、分式、二次根式有意义的条件，立方根的定义，熟练掌握使分式、二次根式、零指数幂有意义的条件，是解题的关键 9. 如图，在三角形 ABC中，ABAC，BC6，三角形 DEF 的周长是 7，AFBC 于 F，BEAC于 E，且点 D 是 AB 的中点，则 AF（ ） A. 5 B. 7 C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜
18、边上的中线等于斜边的一半可得 DE=DF=12AB，EF=12BC， 然后代入数据算即可得解 【详解】解：AFBC，BEAC，D是 AB 的中点， DE= DF=12 AB， AB= AC，AFBC， 点 F是 BC的中点，AFB = 90 ， BF= FC= 3， BEAC， EF=12BC = 3， DEF的周长 DE+DF+EF=AB+3=7， AB=4， 在 RtABF中，由勾股定理知， AF=2222AB -BF = 4 -3 = 7 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键 10. 如图，二次函数 ya
19、x2bxc（a0）的图象经过点 A（1，0） ，点 B（m，0） ，点 C（0，m） ，其中 2m3，下列结论：abc0，2ac0，2ab0，方程 ax2bxcm0 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用点 A（1，0） ，点 B（m，0）求出对称轴，然后利用 2m3 判断即可；把点 A（1，0）代入 yax2+bx+c中可得 ab+c0，再结合中的结论即可解答；利用直线 ym 与二次函数 yax2+bx+c 的图象的交点个数判断即可 【详解】解：抛物线开口向上，与 y轴交点在 y轴负半轴， a0，c0， 二
20、次函数图象经过点 A（1，0） ，点 B（m，0） ，且 2m3， 二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的对称轴是直线：x12m ， 2m3， 11+m2， 1212m 1， 122ba1， 2ba0， b0， abc0， 故正确； 把点 A（1，0）代入 yax2+bx+c 中可得：ab+c0， ba+c， 由得：2ba12， a0， a+b0， a+a+c0， 2a+c0， 故正确； 由（1）知2ba1，a0， 2a+b0， 故正确； 方程 ax2+bx+c+m0可以转化为 ax2+bx+cm， 由图可知： 直线 ym与二次函数 yax2+bx+c的图象抛物线有两个交点， 方程 ax
21、2+bx+cm 有两个不相等的实数根， 故正确 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数性质，根的判别式，二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x轴的交点，准确熟练地进行计算是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 28 分 ）分 ） 11. 四个实数2，0，2，3中，最小的实数是_ 【答案】-2 【解析】 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大反而小，据此判断即可 【详解】解：2203， 四个实数2，0，2，3 中，最小实数是2 故答案为：2 【点睛】本题考查实数大小比较，掌握实数比较大小法则“
22、正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小”是解题的关键 12. 分解因式：2312x _ 【答案】322xx 【解析】 【分析】先提出公因式，再利用平方差公式，即可求解 【详解】解：2312x 234x 322xx 故答案为：322xx 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式因式分解的方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键 13. 关于 x 的一元二次方程20 xxm有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数 m的值_ （写出一个即可） 【答案】0 【解析】 【分析】先根据判别式的意义得到 =（-1）2-4m0，解不等式得到 m
23、的范围，然后在此范围内取一个值即可 【详解】解：根据题意得 =（-1）2-4m0， 解得 m14， 所以当 m 取 0时，方程有两个不相等的实数根 故答案为：0 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与 =b2-4ac 有如下关系：当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程无实数根 14. 若一个n边形的每个外角都是40，则n的值为_ 【答案】9 【解析】 【分析】由一个 n边形每个外角都是 40 ，可得 40n360，即可求得 n的值 【详解】解：一个 n边形每个外角都是 40 ， 40n360， 解得：n
24、9； 故答案为：9 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识此题难度不大，注意熟记公式是关键 15. 如图，在ABC中，ACBC，在边 AB上截取 ADAC，连接 CD，若点 D恰好是线段 AB的一个黄金分割点，则A 的度数是_ 【答案】36 #36 度 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到 AD2BDAB，而 ADACBC，则 BC2BDAB，根据相似三角形的判定得BCDBAC，则ABCD，设Ax，则Bx，BCDx，根据三角形外角性质得ADCBCD+B2x，所以ACDADC2x，然后根据三角形内角和定理得到 x+2x+x+x180 ，再解方程即可 【详解】解：点 D是线段 AB的一
25、个黄金分割点， AD2BDAB， ADACBC， BC2BDAB， 即 BC：BDAB：BC， 而ABCCBD， BCDBAC， ABCD， 设Ax，则Bx，BCDx， ADCBCD+B2x， 而 ACAD， ACDADC2x， x+2x+x+x180 ，解得 x36 故答案为：36 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质， 解题关键是根据黄金分割点得出比例式， 证明三角形相似 16. 如图，在菱形 ABCD中，AB 的垂直平分线交对角线 BD 于点 F，垂足为点 E，连接 AF、AC，若DCB70，则FAC_ 【答案】20 【解析】 【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出BAC 和F
26、AB 的度数，即可解决问题 【详解】解：EF 是线段 AB 的垂直平分线， AFBF， FABFBA， 四边形 ABCD是菱形，DCB70 ， BCAB，BCA12DCB35 ，ACBD， BACBCA35 ， FBA90 BAC55 ， FAB55 ， FACFABBAC55 35 20 ， 故答案为：20 【点睛】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键 17. 如图， 在直角坐标系中， 已知点 P0的坐标为 （1， 0） ， 进行如下操作： 将线段 OP0按逆时针方向旋转 60，再将其长度伸长为 OP0的 2 倍，得到线段 OP1；又将线段
27、OP1按逆时针方向旋转 60，长度伸长为 OP1的2 倍， 得到线段 OP2； 如此重复操作下去， 得到线段 OP3， OP4， 则 P3的坐标为_， P32的坐标为_ 【答案】 （8，0） . （231，2313） 【解析】 【分析】根据题意得出 OP12，OP24，OP38，进而得出 P 点坐标变化规律，得出点 P23的坐标即可 【详解】解：由题意可得出：OP12，OP2422，OP3823， 则 OP32232， 将线段 OP 按逆时针方向旋 60 ， 每 6 个点循环一圈， 32 652， 点 P32的坐标与点 P2的坐标在第 2 象限， OP32232， P32到 x轴的距离为：23
28、2sin602313 到 y轴的距离为 232cos60231， 点 P3（8，0） ，点 P32的坐标是： （231，2313） 故答案为： （8，0） ， （231，2313） 【点睛】此题主要考查了坐标的旋转问题；得到相应的旋转规律及 OPn的长度的规律是解决本题的关键 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6分，共分，共 18 分）分） 18. 解不等式组：581223xxxx 【答案】2x7 【解析】 【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，再确定出一元一次不等式组的解集即可 【详解】581223xxxx ， 解不等式得，x2， 解不
29、等式得，x7， 原不等式组得解集为 2x7 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，掌握不等式的解法是解题的关键 19. 先化简，再求值：262xx （52xx2） ，其中 x2 【答案】23x，-2 【解析】 【分析】先化简括号内的式子，再根据分式的除法进行计算即可化简原式，然后将 x2代入化简后的式子即可解答本题 【详解】解：262xx （52xx2） 2352222xxxxx 232233xxxxx 23x， 当 x2时，原式223 2 【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键 20. 如图，已知四边形 ABCD 中，ADBC，M为 AD上一点 （1）请你用尺规在
30、 BC 边上求作一点 N，使得线段 MN的长度最短 （保留作图痕迹，不写作法） （2）连接 DN，若 ADBN，求证：ABDN 【答案】 （1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据过直线外一点作该直线的垂线的方法即可解答； （2）根据ADBC，ADBN，可知四边形 ABND为平行四边形，即有 ABDN 【小问 1 详解】 解：如图，N点为所作； 理由如下，根据作图痕迹，取点 E、F、G，连接 ME、MF、GE、GF，如下图所示， 根据尺规作图可知 ME=MF、GE=GF， 结合 MG=MG，可知MGEMGF， EMG=FMG， 又MN=MN， ()MNEMNF SAS， MNE
31、=MNF=90， MNBC， 根据点到直线的距离垂线段最短，可知 MN即为所求； 【小问 2 详解】 证明：ADBC，ADBN， 四边形 ABND为平行四边形， ABDN 【点睛】本题考查了过直线外一点作该直线的垂线的知识以及平行四边形的判定和性质的知识，掌握垂线的尺规作图法是解答本题的关键 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8分，共分，共 24 分）分） 21. 某校为了做好课后延时服务，让“双减”政策落地生“花”，采取电子问卷（问卷如图所示）的方式随机调查了部分学生对课后延时服务的满意程度，所有问卷全部收回，并根据调查结果绘制成如下两幅不完
32、整的统计图请根据统计图提供的信息，解答下列问题： 你对课后延时服务满意吗？ （仅选一项） A.非常满意 B满意 C一般 D不满意 （1）这次活动共调查了 人 （2）请补全条形统计图 （3）在扇形统计图中，求 D 对应的圆心角的度数 （4）根据调查结果，估计该校 1500 名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有多少人？ 【答案】 （1）200 （2）见解析 （3）18 （4）900人 【解析】 【分析】 （1）由 A 等级人数及其所占百分比求出总人数； （2）总人数减去 A、B、D等级人数求出 C等级人数，从而补全图形； （3）用 360 乘 D所占比例即可； （4）总人数乘以样本中 A、B
33、等级人数所占比例即可 【小问 1 详解】 解：该校抽样调查的学生人数为 40 20%200（人） 故答案为：200 【小问 2 详解】 解：C等级人数为 200（40+80+10）70（人） ，补全条形图如下： 【小问 3 详解】 解：D对应的圆心角的度数为：1036020018 【小问 4 详解】 40801500200900（人） ， 答：根据调查结果，估计该校 1500 名学生中对课后延时服务满意及非常满意的共有 900 人 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键在于从图中获取正确的信息 22. 为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，
34、好读书，读好书的氛围，某校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是 25 元和 8元 （1）学校第一次购买甲、乙两种图书共 100本，且恰好支出 1820 元，求第一购买了甲、乙两种图书各多少本？ （2）若学校准备再次购买甲、乙两种图书共 210本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】 （1）购买甲种图书 60 本，乙种图书 40 本 （2）当购买甲种图 140 本，购买乙种图书 70 本时，购买费用最少，最少费用是 4060元 【解析】 【分析】 （1）根据题意列方程组解答即可； （2）设购买费用为 w元，购买乙种图书
35、x 本，数量根据题意 w与 x的关系式，并根据题意列不等式得出 x的取值范围，再根据一次函数的增减性解答即可 【小问 1 详解】 解：设购买甲种图书 a本，乙种图书 b本，根据题意，得： 1002581820abab ， 解得6040ab ， 答：购买甲种图书 60本，乙种图书 40本； 【小问 2 详解】 设购买费用为 w元，购买乙种图书 x 本，则买甲种图书（210 x）本，根据题意，得： w25（210 x）+8x17x+5250， 由甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，得： 12102xx ， 解得 x70， w17x+5250，170， w 随 x 的增大而减小， 当 x70 时
36、，w最小17 70+52504060， 此时 21070140， 答：当购买甲种图 140本，购买乙种图书 70 本时，购买费用最少，最少费用是 4060元 【点睛】本题考查利用二元一次方程解决实际问题，一元一次不等式的应用及一次函数的性质，能够根据等量关系列出二元一次方程组是解决本题的关键 23. 如图，矩形 ABCD的顶点 A，B 在 x轴的正半轴上，点 B在点 A的右侧，反比例函数1kyx在第一象限内的图象与直线234yx交于点 D，且反比例函数1kyx交 BC 于点 E，AD3 （1）求 D点的坐标及反比例函数的关系式； （2）若矩形的面积是 24，求出CDE的面积 （3）直接写出当
37、x4时，y1的取值范围 【答案】 （1）点 D 的坐标为： （4，3） ，112yx； （2）8CDES； （3）103y 【解析】 【分析】 （1）根据正比例函数表达式求出点 D坐标，再利用待定系数法求反比例函数的关系式即可； （2） 根据矩形的面积求出 AB 的长， 由反比例函数表达式求出点 E 坐标， 再根据三角形面积公式计算即可； （3）观察图象找出范围即可 【详解】解： （1）根据题意得：点 D的纵坐标为 3， 把 y3 代入234yx得：334x ， 解得：x4， 即点 D的坐标为： （4，3） ， 把点 D（4，3）代入1kyx得：34k， 解得：k12， 即反比例函数的关系式为
38、：112yx， （2）设线段 AB，线段 CD的长度为 m， 根据题意得：3m24， 解得：m8， 点 B，点 C 的横坐标为：4+812， 把 x12代入112yx得：y1， 点 E的坐标为： （12，1） ， CE312， SCDE12CE CD12 2 88； （3）观察图象，当 x4时，y1的取值范围是 0y13， 故答案为：0y13 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和待定系数法，掌握矩形和三角形的面积公式，读懂函数图象是解题的关键 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20分）分） 24
39、. 如图，ABC为O的内接三角形，AB 为O 的直径，将ABC 沿直线 AB折叠得到ABD，交O于点 D连接 CD 交 AB于点 E，延长 BD和 CA 相交于点 P，过点 A作 AGCD交 BP于点 G （1）求证：直线 GA 是O的切线 （2）求证：AGADGDAB （3）若 tanAGB2，PG6，求 sinP的值 【答案】 （1）见解析 （2）见解析 （3）13 【解析】 【分析】 （1）欲证明直线 GA 是O 的切线，只需推知 OAGA即可； （2）根据折叠的性质得到：AC=AD通过相似三角形BADAGD的对应边成比例即可得出结论； （3）由 sinP=ADAP，所以需要求得线段 A
40、D、AP的长度；利用（2）中的 AD2=GDBD 和锐角三角函数的定义求得 BD=2GD；根据PAGPBA 是对应边成比例得到：PA2=PGPB，即 PA2=6（6+3GD） ；结合勾股定理知 PA2=AD2+PD2求出 GD，即可求出答案 【小问 1 详解】 证明：将ABC沿直线 AB 折叠得到ABD， BCBD 点 B在 CD的垂直平分线上 同理得：点 A 在 CD的垂直平分线上 ABCD即 OACD， AGCD OAGA OA是O的半径， 直线 GA是O的切线； 【小问 2 详解】 证明：AB为O的直径， ACBADB90 ABD+BAD90 GAB90 ， GAD+BAD90 ABDG
41、AD ADBADG90 ， BADAGD ABADAGGD AGADGDAB； 【小问 3 详解】 解：tanAGB2，ADG90 ， ADGD=2 AD=2GD 由（2）知，BADAGD， ADBDGDAD， AD2GDBD， BD2GD ADAD， GADGBAPCD AGCD， PAGPCD PAGPBA PP， PAGPBA PA2PGPB PG6，BD2GD， PA26（6+3GD） ADP90 ， PA2AD2+PD2 6（6+3GD）（2GD）2+（6+GD）2 解得：GD2或 GD0（舍去） AD22，AP62， sinPADAP2 2136 2 【点睛】此题是圆的综合题，主要
42、考查了相似三角形的性质，锐角三角函数和勾股定理等知识，在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直” 25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y轴交于 C 点，D 为抛物线顶点 （1）求该抛物线的解析式 （2）如图 1，连接 AD，交 y轴于点 E，点 P是第一象限的抛物线上的一个动点，连接 PD交 x 轴于 F，连接 EF、AP，若 SADP3SDEF，求点 P的坐标 （3） 点 Q 是抛物线对称轴上一动点， 连接 OQ、 AQ， 设AO
43、Q外接圆圆心为 H， 当 sinOQA 的值最大时，请求出点 H的坐标 【答案】 （1）yx22x3 （2）P（1+6，2） （3）H（12，2）或 H（12，2） 【解析】 【分析】 （1）把 A（1，0） ，B（3，0）代入 y=ax2+bx3即可求解； （2）根据题意先求得 A，B，C，D各点的坐标，求得 AD 的解析式，进而求得点 E的坐标，通过计算可得AE=ED，进而可得 SFAE=SFED，由 SADP=3SDEF可得出 OE=yP=2，依题意，设 P（m，m22m3） ，其中0m3，建立方程求解即可得出答案； （3）作AOQ的外心 H，作 HGx轴，则 AG=12AO=12，进而
44、可得 H在 AO 的垂直平分线上运动，根据题意当 sinOQA 最大转化为求当 AH取得最小值时，sinOQA 最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得 AH=32，运用勾股定理求得 HG，即可求得点 H的坐标，根据对称性求得另一个坐标 【小问 1 详解】 解：把 A（1，0） ，B（3，0）代入 yax2+bx3中，得： 309330abab ，解得：12ab ， 抛物线解析式为 yx22x3； 【小问 2 详解】 解：抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y轴交于 C点，D为抛物线顶点 令 x0，得：y3， 则 C（0，3） ， yx22x3
45、（x1）24， D（1，4） 设直线 AD的解析式为 ykx+b， A（1，0） ，D（1，4） ， 04kbkb ， 解得：22kb ， 直线 AD的解析式为 y2x2， 令 x0，则 y2， E（0，2） ， AE22OAOE22125，ED221042 5， AEED， SFAESFED， SADP3SDEF， SAPFSADPSAFD3SDEFSAFD3SDEF2SDEFSDEFSAEF， OEAF， 12AFOE12AFyP， OEyP2， 依题意，设 P（m，m22m3） ，其中 m3， m22m32， 解得：m11+6，m216（舍去） ， P（1+6，2） ； 【小问 3 详解
46、】 解：如图，作AOQ的外心 H，作 HGx轴，则 AGGO12， AHHO， H 在 AO的垂直平分线上运动， 依题意，当 sinOQA 最大时，即OQA 最大时， H 是AOQ的外心， AHO2AHG2OQA，即当 sinAHG最大时，sinOQA最大， AG12AO12， sinOQAsinAHG12AGAHAH， 则当 AH 取得最小值时，sinOQA最大， AHHQ， 即当 HQ直线 x1 时，AH 取得最小值，此时 HQ1（12）32， AH32， 在 RtAHG中，HG22AHAG2231222， H（12，2） ， 根据对称性，则存在 H（12，2） ， 综上所述，H（12，2）或 H（12，2） 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，垂径定理，三角函数定义，抛物线与三角形面积计算，抛物线与圆的综合等，运用转化思想是解题的关键
