1、江苏省泰州市姜堰区2021-2022学年九年级上期末数学试题一、选择题（每小题3分，共6小题，18分）1. 从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（）A. B. C. D. 2. 方程的两根为，则等于（ ）A. 4B. 4C. 3D. 33. 如图，在ABC中，C90，如果AC8，AB10，那么A正弦值为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，若，则为（ ）A B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若，则BOD的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 函数与图像交点横坐标可由方程求得，由此推断：方程中m的大
2、致范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共10小题，30分）7. 一组数据6，8，10，7的极差是_8. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是_9. 若关于x的方程的一根为2，则m_10. 小红在地上画正方形ABCD，并顺次连接各边中点，得到如图所示的图形，然后在一定距离外向正方形内掷小石子，若每一次都掷在正方形ABCD内，且机会均等，则掷中阴影部分的概率是_11. 若，则_12. 已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，则ABC的面积为_13. 九章算术记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱
3、形木材，埋在墙壁里（如图），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，（如图）当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，间木材的直径CD是_寸（1尺10寸）14. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是_15. 在ABC中，B30，AB4，AC，则BC的长为_16. 在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（2，0），P（6，0），点C是线段BP上的动点，点D在直线AC的上方，满足，且，当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积是_三、解答题（共10小题，102分）17. （1）解方程：（2）计算：1
4、8. 某学校开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示（1）九（1）班竞赛成绩的众数是 ，九（2）班竞赛成绩的中位数是 ；（2）哪个班的成绩较为整齐，试说明理由19. 2022北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五个小球，除汉字不同之外，小球没有其他区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球（1）若从中任取一个球，摸出的球上的汉字是“来”的概率为 ；（2）从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组
5、成“一起”或“未来”的概率20. 学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长21. 某居民楼MN后有一个坡度为小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ（如图所示），已知米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离米当太阳光线与水平线成角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高（参考数据：22. 某种水笔，每支成本为5元，经过市场调查，每月销售量y（支）与每支的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系（1）求每月的销售量y（
6、支）与每支的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该水笔每支的利润不允许高于进货价的40%设这种水笔每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？23. 如图，在ABC中，BD平分ABC（1）利用直尺和圆规在BC上找一点E，使得（保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若，求CE长24. 如图，AB是O的直径，点D，E在O上，点C在AB的延长线上，（1）判断CE与O的位置关系，并说明理由；（2）请再从以下三个选项中选择两个作为已知条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的计算过程，你选择的条件是 ，结论是 （填序号）25. 在
7、平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离之和等于点Q到x、y轴的距离之和，则称P、Q两点互为“和谐点”，如P(2，3)、Q(1，4)两点即互为“和谐点”（1）已知点A的坐标为(-3，1)在点(0，3)、(-1，-3)、(2，2)中，点A的“和谐点”有 （写出坐标）；点B是第一象限内直线上的点，且A、B两点互为“和谐点”，则点B的坐标为 ；（2）直线l与x轴交于点C，与y轴交于点D若(-1，)、(4，)是直线l上的两点，且、互为“和谐点”，求k的值；当时，点N是线段CD上一点，抛物线，c为常数，且）的图象上总存在点M，使得M、N两点互为“和谐点”，请直接写出常数
8、c的取值范围26. 如图（1），已知点P是抛物线的顶点，矩形ABCD中，顶点A、B在该抛物线上（其中点A在第一象限），顶点C、D在x轴上，连接线段BD、PD、BP，DP、AB交于点E（1）若D点坐标为（m，0），则点A、B、P坐标分别为A 、B 、P （可用含m的代数式表示）（2）如图（1），求证：；连接PA求证：（3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将作一般化处理，为研究方便，不妨设，请解决小明提出的如下两个问题：如图（1）抛物线中字母a、c满足什么条件才能使并说明理由；如图（2）抛物线中字母a、b、c满足什么条件才能使请直接写出结论江苏省
9、泰州市姜堰区2021-2022学年九年级上期末数学试题一、选择题（每小题3分，共6小题，18分）1. 从单词“happy”中随机抽取一个字母，抽中p的概率为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】单词“happy”中有两个p，抽中p的概率为： .故选：C.2. 方程的两根为，则等于（ ）A. 4B. 4C. 3D. 3【答案】A【解析】【分析】一元二次方程的两根为，则，根据公式可得答案.【详解】解：方程的两根为， 故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“一元二次方程的两根为，则”是解本题的关键.3. 如图，在ABC中，C90，如果AC8，AB10，那么A的正弦
10、值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理求出BC，再利用锐角三角函数求出结果即可【详解】解：在ABC中，C90，如果AC8，AB10，由勾股定理得，BC，所以sinA，故选C【点睛】本题主要考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键4. 如图，在ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由DE/BC，根据相似三角形的判定方法得到ADEABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解【详解】解：DE/BC，ADEABC，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与
11、性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方5. 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若，则BOD的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形性质求出A，再根据圆周角定理解答即可【详解】解：四边形ABCD为O的内接四边形，C=140，A=180C=180140=40，由圆周角定理得，BOD=2A=80，故选：C【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键6. 函数与的图像交点横坐标可由方程求得，由此推断：方程中m的大
12、致范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作作函数y=x2+1与函数y=-图象，观察交点横坐标即可得答案【详解】解：作函数y=x2+1与函数y=-图象如下：根据图象可得：两函数图象交点M横坐标满足-2xM-1，即m2+2=中m的大致范围是-2m-1，故选：A【点睛】此题主要考查了二次函数和反比例函数图象，解决本题的关键是准确画出图象，数形结合解决问题二、填空题（每小题3分，共10小题，30分）7. 一组数据6，8，10，7的极差是_【答案】4【解析】【分析】一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为4【详解】解：10-6=4故一组数据6，8，10，7的极差是4
13、故答案为：4【点睛】本题考查了极差的概念，是基础题，熟记定义是解决本题的关键8. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是_【答案】【解析】【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案【详解】圆锥的底面圆半径为3，母线长为5圆锥的侧面积 故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解9. 若关于x的方程的一根为2，则m_【答案】-1【解析】【分析】将x=2，代入，解出m即可【详解】将x=2，代入，得：解得：故答案为：-1【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义掌握函数的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键10.
14、 小红在地上画正方形ABCD，并顺次连接各边中点，得到如图所示的图形，然后在一定距离外向正方形内掷小石子，若每一次都掷在正方形ABCD内，且机会均等，则掷中阴影部分的概率是_【答案】【解析】【分析】用阴影部分的面积除以大正方形ABCD的面积即可求得概率【详解】解：观察图形可知，阴影部分的面积是大正方形ABCD面积的一半，故掷中阴影部分的概率是故答案为：【点睛】考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积11. 若，则_【答案】45【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案【详解】解：， ，解得： 故答案为：45【点睛】题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键1
15、2. 已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，顶点为C，则ABC的面积为_【答案】27【解析】【分析】先求出A，B，C的坐标，再以AB为底边，求出三角形ABC的高，即可求出面积【详解】解：当y=0时，解得，A，B的坐标为（，0），（5，0），AB=6，C（2，），C到AB的距离为9，故答案为：27【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据解析式求出图象与坐标轴的交点13. 九章算术记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，（如图）当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度
16、AB为1尺，间木材的直径CD是_寸（1尺10寸）【答案】26【解析】【分析】连接OA，设O的半径为x寸，则OE=(x1)寸，由垂径定理得AC=BC=AB=5寸，再在RtAOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可【详解】解：连接OA，如图：设O的半径为x寸，则OE=(x1)寸，OEAB，AB=10寸，AC=BC=AB=5(寸)，在RtAOE中，由勾股定理得：x2=(x1)2+52，解得：x=13，O的直径AC=2x=26(寸)，即木材的直径CD是26寸，故答案为：26【点睛】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题14. 已知关于x的一元二次方程的
17、两个根分别是1和3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是_【答案】（6，0）【解析】【分析】根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y（a0）与x轴的两个交点的横坐标为方程的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数ym（m0）与x轴的另一个交点【详解】解：关于x的一元二次方程的两个根分别是1和3，抛物线y（a0）与x轴的两个交点为（1，0），（3，0），抛物线y的对称轴为直线x二次函数ym（m0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），函数y与直线ym的一个交点的横坐标为4，函数y与直线ym的另一个交点的横坐标为6，次函数ym（m0）
18、与x轴的另一个交点坐标是（6，0），故答案为：（6，0）【点睛】此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根15. 在ABC中，B30，AB4，AC，则BC的长为_【答案】3或【解析】【分析】过A作ADBC于D，分为两种情况，画出图形，求出BD和CD，即可求出答案【详解】解：如图1，过点A作ADBC于点D，B30，AB4，ADAB2，BDABcos304在RtACD中，AD2，AC，BCBD+DC；如图2，同理可得，ADAB2，BDABcos304，BCBDDC综上所述，BC的长为或；故答案为：3或【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题
19、的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.16. 在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（2，0），P（6，0），点C是线段BP上的动点，点D在直线AC的上方，满足，且，当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积是_【答案】2【解析】【分析】连接OD，首先证明点D在第一象限的角平分线上运动，当点C与B重合时，点D与O重合，当点C与P重合时，点D的坐标为（2，2），再根据三角形面积公式求解即可【详解】解：如图，连接ODADC90，ADDC，DACDCA45，AOCADC90，A，O，D，C四点共圆，DOCDAC45，点D在第一象限的角平分线上运动，当点C与B重合时，点D与O重合，当点C与P重合时
20、，如图：作DEy轴于E，作DFx轴于F，DEDF，ADEADFPDFADF90，ADEPDF，在ADE和ADF中，ADEPDF（AAS），AEPF，DEBD，设点D的坐标为（x，y），DExBDy，A（0，2），P（6，0），AEPF，2x6x，解得：xy2，点D的坐标为（2，2），当点C由点B运动到点P时，线段AD扫过的面积即OAD的面积OADE222，故答案为：2【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的性质，轨迹，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹三、解答题（共10小题，102分）17. （1）解方程：（2）计算：【答案】（1）x14，x22；（2）【解析】【分析】
21、（1）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；（2）先代入三角函数值，再计算乘方和乘法，最后计算减法即可【详解】解：（1）x（x4）2x8，x（x4）2（x4）0，则（x4）（x2）0，x40或x20，解得x14，x22；（2）2（）2 21【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力和特殊角的锐角三角函数，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18. 某学校开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛
22、成绩（满分为100分）如图所示（1）九（1）班竞赛成绩的众数是 ，九（2）班竞赛成绩的中位数是 ；（2）哪个班的成绩较为整齐，试说明理由【答案】（1）80分，85分 （2）九（1）班成绩较为整齐，理由见解析【解析】【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解即可；（2）根据方差的定义和意义求解即可【小问1详解】解：由图知，九（1）班成绩为80、80、80、90、100，九（2）班成绩为70、80、85、95、100，所以九（1）班成绩的众数为80分，九（2）班成绩的中位数为85分；故答案为：80分，85分小问2详解】解：九（1）班成绩较为整齐，理由如下：九（1）班成绩的平均数为=86（分），九（2
23、）班成绩的平均数为=86（分），九（1）班成绩的方差为3（80-86）2+（90-86）2+（100-86）2=64，九（2）班成绩的方差为（70-86）2+（80-86）2+（85-86）2+（95-86）2+（100-86）2=114，九（1）班成绩较为整齐【点睛】本题主要考查条形统计图、众数、中位数和方差，解题的关键是掌握众数、中位数和方差的定义以及方差的意义19. 2022北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五个小球，除汉字不同之外，小球没有其他区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球（1）若从中任取一个球，摸出的球上
24、的汉字是“来”的概率为 ；（2）从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的结果有4种，再由概率公式求解即可【小问1详解】解：（1）若从中任取一个球，摸出的球上的汉字是“来”的概率为； 故答案为：；【小问2详解】（2）根据题意画图如下： 共有20种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的结果有4种， 则取出的两个球上的汉字恰能组成“一起”
25、或“未来”的概率为【点睛】本题考查的是用树状图法求概率树状图法适用于两步或两步以上完成的事件解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比20. 学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）（1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；（2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长【答案】（1）BC=（21-3x）米； （2）AB的长为2米或5米【解析】【分析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长；（2）根据矩形的面积公式列式求解即可【小问1详解】设AB边长为x米，则EF=DC=AB=x米，所以BC=（21-3x）米；【小问2详解
26、】根据题意得：x（21-3x）=30，解得：x=2或x=5，答：AB的长为2米或5米【点睛】考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长21. 某居民楼MN后有一个坡度为的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ（如图所示），已知米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离米当太阳光线与水平线成角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高（参考数据：【答案】9米【解析】【分析】过点E作于点Q，延长PQ，交AB于点C由此结合题意可知四边形CNEG为矩形，即可得出米，根据坡度的定义即可得出，故可设米，则米，根据勾股定理即可列出关于x的方程，解出x即
27、得出和的长，从而可求出的长再根据解直角三角形得出，代入数据即可求出PG的长，从而可求出PC的长，进而即可求出PQ的长【详解】如图，过点E作于点Q，延长PQ，交AB于点C根据题意和作图可知四边形CNEG为矩形，米，即，故可设米，则米，在中，即，解得：，即米，米，米，即，解得：米，米，米答：广告牌PQ的高为9米【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，坡度的定义，矩形的判定和性质正确作出辅助线是解题关键22. 某种水笔，每支成本为5元，经过市场调查，每月的销售量y（支）与每支的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系（1）求每月的销售量y（支）与每支的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出
28、自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该水笔每支利润不允许高于进货价的40%设这种水笔每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）y=-20x+200； （2）售价定为7元可获得最大利润，最大利润是120元【解析】【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y=kx+b，用待定系数法求解即可；（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案【小问1详解】由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y=kx+b，将（6，80），（8，40）代入
29、得：，解得k=-20，b=200，每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y=-20x+200；【小问2详解】由题意得：w=（-20x+200）（x-5）=-20x2+300x-1000=-20（x-7.5）2+125，-200，则点B到两坐标轴之和为x+ x+2，再由A、B两点互为“和谐点”，及可列出关于x的等式，解出x，即得出P点坐标；（2）将(-1，)、(4，)代入直线解析式，即可用k表示出和，再根据、互为“和谐点”，即可列出关于k的绝对值方程，分类讨论，解出绝对值方程即可；根据题意可知直线l：，即得出C(6，0)，D(0，-3)可设N(a，)且()， 即可求出点N到坐标轴的距离和为
30、，且可得出的取值范围设M(b，)，由，即可得出，即可求出点M到坐标轴的距离和为由，可求出的取值范围，最后根据M、N两点互为“和谐点”，即和的解集有公共解即可，即可得出关于c的不等式，求出c的解集即可【小问1详解】点A 到两坐标轴之和为，又(0，3)到两坐标轴之和为，(-1，-3)到两坐标轴之和为，(2，2)到两坐标轴之和为，根据“和谐点”的定义可知，(-1，-3)和(2，2) 为点A的“和谐点”故答案为：(-1，-3)和(2，2)；设点B坐标为(x，x+2)，且x0，则点B到两坐标轴之和为x+ x+2，A、B两点互为“和谐点”，x+ x+2=4解得：x=1，P点坐标为(1，3)，故答案为(1，
31、3)；【小问2详解】将(-1，)、(4，)代入直线解析式，得：、互为“和谐点”，分类讨论：当时，去绝对值为：，解得：；当时，不符题意舍； 当时，去绝对值为：，解得：；综上可知k的值为或1；时，直线l：，当x=0时，当y=0时，C(6，0)，D(0，-3)设N(a，)且()， 点N到坐标轴的距离和为，设M(b，)，点M到坐标轴的距离和为， M、N两点互为“和谐点”，和有公共解即可，或，解得：或，或【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，绝对值方程的应用，解一元一次方程和不等式的公共解问题，较难理解题意，掌握“和谐点”的定义是解题关键26. 如图（1），已知点P是抛物线的
32、顶点，矩形ABCD中，顶点A、B在该抛物线上（其中点A在第一象限），顶点C、D在x轴上，连接线段BD、PD、BP，DP、AB交于点E（1）若D点坐标为（m，0），则点A、B、P坐标分别为A 、B 、P （可用含m的代数式表示）（2）如图（1），求证：；连接PA求证：（3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将作一般化处理，为研究方便，不妨设，请解决小明提出的如下两个问题：如图（1）抛物线中字母a、c满足什么条件才能使并说明理由；如图（2）抛物线中字母a、b、c满足什么条件才能使请直接写出结论【答案】（1）(m，-m2+1)，(-m，-m2+1)，
33、(0，1)； （2） 见解析；见解析； （3）ac=-1，理由见解析；4ac-b2=-4【解析】【分析】（1）由矩形的性质，抛物线的对称性可求点的坐标；（2）分别求出PB2=m2+m4，PD2=m2+1，BD2=4m2+（-m2+1）2，再由勾股定理得BD2=PB2+PD2，即可证明；证明PEAPAD，即可求解；（3）由P（0，c），B（-m，-am2+c），D（m，0），分别求出PB2，PD2，BD2，再由BD2=PB2+PD2，可得2ac+4=2，即可得ac=-1；设y=a（x-h）2+k，则P（h，k）设D（h+m，0），则A（h+m，am2+k），B（h-m，am2+k），分别求出PB
34、2，PD2，BD2，由BD2=PB2+PD2，可得2ak+1=0，又由，得到方程，即可得4ac-b2=-4【小问1详解】D点坐标为（m，0），四边形ABCD矩形，A点横坐标是m，点A在该抛物线上，A（m，-m2+1），B点与A点关于y轴对称，B（-m，-m2+1），抛物线的对称轴为y轴，顶点P（0，1），故答案为：(m，-m2+1)，(-m，-m2+1)，(0，1)；【小问2详解】D（m，0），B（-m，-m2+1），P（0，1），PB2=m2+m4，PD2=m2+1，BD2=4m2+（-m2+1）2，BD2=4m2+（-m2+1）2=m4+2m2+1=PB2+PD2，BPD是直角三角形，BP
35、D=90；BPD=90，EAD=90，PEB=AED，PBA=PDE，PB=PA，PBA=PAB，PAD=PAE+90=PBA+90，PEA=90+PDA，PAD=PEA，PEAPAD，PA2=PDPE；【小问3详解】y=ax2+c，P（0，c），B（-m，-am2+c），D（m，0），PB2=m2+a2m4，PD2=m2+c2，BD2=4m2+（-am2+c）2，BPD=90；BD2=PB2+PD2，4m2+（-am2+c）2=a2m4+2acm2+c2=m2+a2m4+m2+c2，2ac+4=2，ac=-1；设y=a（x-h）2+k，P（h，k），设D（h+m，0），则A（h+m，am2+k），B（h-m，am2+k），PB2=m2+a2m4，PD2=m2+k2，BD2=4m2+（am2+k）2，BPD=90；BD2=PB2+PD2，4m2+（am2+k）2=m2+a2m4+m2+k2，ak+1=0，4ac-b2=-4【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形勾股定理，三角形相似的判定及性质是解题的关键
