1、1 江苏省扬州市宝应县江苏省扬州市宝应县 2021-2022 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行综合考核（考核的满分均为 100 分） ，三个方面的重要性之比依次为 3：5：2小王经过考核后所得的各项分数依次为 90、88、85 分，那么小王的最后综合得分是（ ） A87 B87.5 C87.6 D88 2方程 x2x2 的根的情况为（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的
2、实数根 3如图，树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 AC，已知路灯高 PO5m，树影 AC3m，树 AB 与路灯 O 的水平距离 AP4.5m，则树的高度 AB 长是（ ） A2m B3m Cm Dm 4下列对二次函数 yx22x 的图象的描述，正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 y 轴 C经过原点 D对称轴右侧部分下降 5如图，点 A、B、C、D 在O 上，OABC 于点 E，若 BCOB，则D 的度数为（ ） A15 B30 C45 D60 2 6如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6，以顶点 A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A4 B6 C8 D
3、12 7 如图是一架人字梯， 已知 ABAC2 米， AC 与地面 BC 的夹角为 ， 则两梯脚之间的距离 BC 为 （ ） A4cos 米 B4sin 米 C4tan 米 D米 8 二次函数 yax2+bx 的图象如图所示， 若一元二次方程 ax2+bx+m0 有实数根， 则 m 的最大值为 （ ） A3 B3 C D 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分） 9 一个三角形的两边长分别为 3 和 5， 第三边长是方程 x26x+80 的根， 则这个三角形的周长为 10已知，且 a+b24则 a 为 11已知 x1 是一元二
4、次方程 x26x+m24m30 的一个根，则 m 的值为 3 12如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，CAB42，则D 的度数是 13如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为 2：3，点 A、B 的对应点分别为点 A、B若 AB6，则 AB的长为 14如图，在 RtABC 中，C90，BC5，AC12，以边 AC 所在直线为轴将 RtABC 旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是 15如图，在圆内接五边形 ABCDE 中，EAB+C+CDE+E430，则CDA 度 16如图，点 A、B、C 在边长为 1 的正方形网格格点上，则 tanB 17我们把宽与长的比是的矩形
5、叫做黄金矩形黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许4 多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计已知四边形 ABCD 是黄金矩形，边AB 的长度为1，则该矩形的周长为 18在锐角三角形 ABC 中，A30，BC3，设 BC 边上的高为 h，则 h 的取值范围是 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分分） 19 （8 分） （1）计算：tan260+4sin30cos45； （2）解方程： （x+3）22x+14 20 （8 分）已知二次函数x2+6x8 （1）求该二次函数的图象与 x 轴的两个交点坐标； （2）求出这个二次函数的顶点
6、坐标 21 （8 分）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等） ，进行了抽样调查在相同条件下， 随机抽取了两种西瓜各 7 份样品， 对西瓜的品质进行评分 （百分制） ， 并对数据进行收集、 整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表 甲、乙两种西瓜得分表 序号 1 2 3 4 5 6 7 甲种西瓜（分） 75 85 86 88 90 96 96 乙种西瓜（分） 80 83 87 90 90 92 94 甲、乙两种西瓜得分统计表 5 平均数 中位数 众数 甲种西瓜 88 a 96 乙种西瓜 88 90 b （1）a ，b ； （2）从方差的角度看， 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“
7、乙” ） ； （3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由 22 （8 分）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为 1、2、1现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字 （1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ； （2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率 23 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB：BC1：2，点 E 在 AD 上，BE 与对角线 AC 交 于点 F （1）求证：AEFCBF； （2）若 BEAC，求 AE：ED
8、 24 （10 分）如图，某旅游景区观光路线是从山脚下的地面 A 处出发，沿坡度为 1：的斜坡 AB 步行 50m至山坡 B 处，乘直立电梯上升 30m 至 C 处，再乘缆车沿长为 180m 的索道 CD 至山顶 D 处，此时观测 C6 处的俯角为 1930，索道 CD 看作在一条直线上 （1）求山坡 B 距离山脚下地面的高度； （2） 求山顶 D 距离山脚下地面的的高度； （精确到 1m） （本题可参考的数据： sin19300.33， cos19300.94，tan19300.35） 25 （10 分）如图，直线 l 经过O 上一点 C，点 A、B 在直线 l 上，且 OAOB，CACB
9、（1）直线 l 与O 相切吗？请说明理由； （2）若 OCAC，O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积 26 （10 分）某工厂加工一种产品的成本为 30 元/千克，根据市场调查发现，批发价定为 48 元/千克时，每天可销售 500 千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1 元，每天销量可增加 50 千克 （1）写出工厂每天的利润 y 元与降价 x 元之间的函数关系； （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于 9750 元？ 7 27 （12 分）如图 1，C、D 为半圆 O
10、上的两点，且点 D 是弧 BC 的中点连结 AC 并延长，与 BD 的延长线相交于点 E （1）求证：CDED； （2）连结 AD 与 OC、BC 分别交于点 F、H 若 CFCH，如图 2，求证：CHCE； 若圆的半径为 2，BD1，如图 3，求 AC 的值 28 （12 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是射线 BC 上的动点，以 AE 为直角边在直线 BC 的上方作等腰直角三角形 AEF，AEF90，设 BEm （1）如图 1，若点 E 在线段 BC 上运动，EF 交 CD 于点 P，连结 CF 当 m时，求线段 CF 的长； 设 CPn，请求出 n 与 m 的关系式； （
11、2）如图 2，AF 交 CD 于点 Q，在PQE 中，设边 QE 上的高为 h，求 h 的最大值 8 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行综合考核（考核的满分均为 100 分） ，三个方面的重要性之比依次为 3：5：2小王经过考核后所得的各项分数依次为 90、88、85 分，那么小王的最后综合得分是（ ） A87 B87.5 C87.6 D88 【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出小王的最后综合得分 【解答】解：由题意可得
12、， 小王的最后综合得分是：88（分） ， 故选：D 【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法 2方程 x2x2 的根的情况为（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 【分析】先把方程化为一般式，然后进行判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况即可 【解答】解：方程整理得，x2x+20， （1）241270， 方程无实数根 故选：A 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实
13、数根 3如图，树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 AC，已知路灯高 PO5m，树影 AC3m，树 AB 与路灯 O 的水平距离 AP4.5m，则树的高度 AB 长是（ ） A2m B3m Cm Dm 【分析】利用相似三角形的性质求解即可 【解答】解：ABOP， 9 CABCPO， ， ， AB2（m） ， 故选：A 【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决 4下列对二次函数 yx22x 的图象的描述，正确的是（ ） A开口向下 B对称轴是 y 轴 C经过原点 D
14、对称轴右侧部分下降 【分析】将抛物线解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断可得 【解答】解：yx22x（x1）21， A由 a10 知抛物线开口向上，此选项错误； B此抛物线的对称轴为直线 x1，此选项错误； C当 x0 时，y0，此抛物线经过原点，此选项正确； D由 a0 且对称轴为直线 x1 知，当 x1，即对称轴右侧时，y 随 x 的增大而增大，此选项错误； 故选：C 【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练根据抛物线的顶点式得出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等性质 5如图，点 A、B、C、D 在O 上，OABC 于点 E，若 BCOB，则D 的度
15、数为（ ） A15 B30 C45 D60 【分析】根据垂径定理得到 BEECBC，根据正弦的定义求出BOE，根据圆周角定理解答即可 【解答】解：OABC， BEECBC， BCOB， 10 ， 在 RtOBE 中，sinBOE， BOE60， DBOE30， 故选：B 【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、锐角三角函数的定义，根据正弦的定义求出BOE 是解题的关键 6如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6，以顶点 A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A4 B6 C8 D12 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可 【解答】解：正
16、六边形的外角和为 360， 每一个外角的度数为 360660， 正六边形的每个内角为 18060120， 正六边形的边长为 6， S阴影12， 故选：D 【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大 7 如图是一架人字梯， 已知 ABAC2 米， AC 与地面 BC 的夹角为 ， 则两梯脚之间的距离 BC 为 （ ） A4cos 米 B4sin 米 C4tan 米 D米 11 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出 BDDC，再利用锐角三角函数关系得出 DC 的长，即可得出答案 【解答】解：过点 A 作 ADBC 于点
17、 D， ABAC2 米，ADBC， BDDC， cos， DC2cos（米） ， BC2DC22cos4cos（米） 故选：A 【点评】 此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的性质， 正确表示出 DC 的长是解题关键 8 二次函数 yax2+bx 的图象如图所示， 若一元二次方程 ax2+bx+m0 有实数根， 则 m 的最大值为 （ ） A3 B3 C D 【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程 ax2+bx+m0 有实数根，从而可以求得 m 的取值范围，从而可以得到 m 的最大值 【解答】解：由图象可得， 二次函数 yax2+bx 的最小值是 y
18、3， 一元二次方程 ax2+bx+m0 有实数根， 即一元二次方程 ax2+bxm 有实数根， 也就是 yax2+bx 与 ym 有交点， m3， 解得：m3， m 的最大值是 3， 故选：A 12 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分） 9 一个三角形的两边长分别为 3 和 5， 第三边长是方程 x26x+80 的根， 则这个三角形的周长为 12 【分析】先利用因式分解法解方程得到 x12，x24，然后利用三角形三边的
19、关系得到三角形第三边的长为 4，从而得到计算三角形的周长 【解答】解：x26x+80， （x2） （x4）0， x20 或 x40， 所以 x12，x24， 而 2+35， 所以三角形第三边的长为 4， 所以三角形的周长为 3+4+512 故答案为 12 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 也考查了三角形三边的关系 10已知，且 a+b24则 a 为 9
20、【分析】利用设 k 法进行计算解答 【解答】解：， 设k， a3k，b5k， a+b24， 3k+5k24， k3， a9， 故答案为：9 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设 k 法进行计算是解题的关键 11已知 x1 是一元二次方程 x26x+m24m30 的一个根，则 m 的值为 2 【分析】先把 x1 代入一元二次方程 x26x+m24m30 即可得出 m 的值 【解答】解：x1 是一元二次方程 x26x+m24m30 的一个根， 13 1+6+m24m30， m2 故答案为：2 【点评】本题考查了一元二次方程的解，以及运用公式法进行因式分解 12如图，AB 是O 的直径，CD 是
21、O 的弦，CAB42，则D 的度数是 48 【分析】 根据直径所对的圆周角是直角推出ACB90， 再结合图形由直角三角形的性质得到B90CAB48，进而根据同弧所对的圆周角相等推出DB48 【解答】解：连接 CB AB 是O 的直径， ACB90， CAB42， B90CAB48， DB48 故答案为：48 【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是结合图形根据圆周角定理推出ACB90及DB，注意运用数形结合的思想方法 13如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为 2：3，点 A、B 的对应点分别为点 A、B若 AB6，则 AB的长为 9 14 【分析】根据位似比的概念解答即可
22、【解答】解：图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为 2：3， ， AB6， AB9， 故答案为：9 【点评】本题考查的是位似图形，掌握位似图形的位似比是对应边的比是解题的关键 14如图，在 RtABC 中，C90，BC5，AC12，以边 AC 所在直线为轴将 RtABC 旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是 65 【分析】运用公式 slr（其中勾股定理求解得到的母线长 l 为 5）求解 【解答】解：由已知得，母线长 AB13，半径 r 为 5， 圆锥的侧面积是 slr13565 故答案为 65 【点评】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解 15如图，在圆内接五边形
23、ABCDE 中，EAB+C+CDE+E430，则CDA 70 度 【分析】先利用多边的内角和得到EAB+B+C+CDE+E540，则可计算出B110，然后根据圆内接四边形的性质求CDA 的度数 【解答】解：五边形 ABCDE 的内角和为（52）180540， EAB+B+C+CDE+E540， 15 EAB+C+CDE+E430， B540430110， 四边形 ABCD 为O 的内接四边形， B+CDA180， CDA18011070 故答案为 70 【点评】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键 16如图，点 A、B、C 在边长为 1 的正方形
24、网格格点上，则 tanB 【分析】先利用格点和勾股定理计算 AB、AC、BC，再判断ABC 的形状，最后求出 tanB 【解答】解：连接格点 A、C 点 A、B、C 在边长为 1 的正方形网格格点上， AB2，AC， BC AB2+AC2BC2， ABC 是直角三角形 tanB 故答案为： 【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理和勾股定理的逆定理是解决本题的关键 17我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许16 多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计已知四边形 ABCD 是黄金矩形，边AB 的长度为1
25、，则该矩形的周长为 2+2 或 4 【分析】分两种情况：边 AB 为矩形的长时，则矩形的宽为 3，求出矩形的周长即可； 边 AB 为矩形的宽时，则矩形的长为2，求出矩形的周长即可 【解答】解：分两种情况： 边 AB 为矩形的长时，则矩形的宽为（1）3， 矩形的周长为：2（1+3）4； 边 AB 为矩形的宽时，则矩形的长为： （1）2， 矩形的周长为 2（1+2）2+2； 综上所述，该矩形的周长为 2+2 或 4 【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键 18 在锐角三角形ABC中， A30， BC3， 设BC边上的高为h， 则h的取值范围是 0h3+ 【分析】做出三角形的外接
26、圆，根据 hAO+OP 求解即可 【解答】解：如图，作ABC 的外接圆O，过 O 作 OPBC， BAC30， BOC60， BC3， PO， hAO+OP3+， h 的取值范围是：0h3+， 故答案为：0h3+ 【点评】本题考查圆周角定理，作出三角形的外接圆是解题关键 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分）分） 17 19 （8 分） （1）计算：tan260+4sin30cos45； （2）解方程： （x+3）22x+14 【分析】 （1）先代入三角函数值，再计算乘方和乘法即可； （2）先将方程整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继
27、而得出两个关于 x 的一元一次方程，再进一步求解即可 【解答】解： （1）原式（）2+4 3+； （2）整理成一般式，得：x2+4x50， （x+5） （x1）0， 则 x+50 或 x10， 解得 x15，x21 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法 20 （8 分）已知二次函数x2+6x8 （1）求该二次函数的图象与 x 轴的两个交点坐标； （2）求出这个二次函数的顶点坐标 【分析】 （1）令抛物线的解析式中，y0，可求出它函数图象与 x 轴的交点坐标； （2）将二次函数的解析式化
28、为顶点式，可求出其顶点坐标 【解答】解： （1）当 y0 时，x2+6x80， 解得：x12，x24 该二次函数的图象与 x 轴的两个交点坐标为（2，0） ， （4，0） （2）yx2+6x8（x26x）8（x3）2+1， 二次函数的顶点坐标为（3，1） 【点评】本题考查的是二次函数基本知识，涉及到函数与坐标轴的交点、二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点坐标的求法是关键 21 （8 分）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等） ，进行了抽样调查在相同条件下， 随机抽取了两种西瓜各 7 份样品， 对西瓜的品质进行评分 （百分制） ， 并对数据进行收集、 整理，下面给出两种西瓜
29、得分的统计图表 甲、乙两种西瓜得分表 序号 1 2 3 4 5 6 7 甲种西瓜（分） 75 85 86 88 90 96 96 18 乙种西瓜（分） 80 83 87 90 90 92 94 甲、乙两种西瓜得分统计表 平均数 中位数 众数 甲种西瓜 88 a 96 乙种西瓜 88 90 b （1）a 88 ，b 90 ； （2）从方差的角度看， 乙 种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙” ） ； （3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由 【分析】 （1）根据中位数、众数的意义求解即可； （2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；
30、（3）从中位数、众数的比较得出答案 【解答】解： （1）将甲种西瓜的得分从小到大排列，处在中间位置的一个数是 88，因此中位数是 88，即a88， 乙种西瓜的得分出现次数最多的是 90 分，所以众数是 90，即 b90， 故答案为：88，90； （2）由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得 s甲2s乙2， 乙种西瓜的得分较稳定， 故答案为：乙； （3）甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高 乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高 【点评】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差，理解中位数、众数、方差的意义和计算方法是正19 确解答的前提 22 （
31、8 分）在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为 1、2、1现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字 （1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ； （2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率 【分析】 （1）用负数的个数除以数字的总个数即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解： （1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是， 故答案为：； （2）画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有 4 种结果， 所以两
32、次抽出的卡片上数字都为正数的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率 23 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB：BC1：2，点 E 在 AD 上，BE 与对角线 AC 交 于点 F （1）求证：AEFCBF； （2）若 BEAC，求 AE：ED 【分析】 （1）根据矩形的性质得到 ADBC，然后根据相似三角形的判断方法可判断AEFCBF； （2）设 ABx，则 BC2x，利用矩形的性质得到 ADBC2x，BADABC90，接着证明20 A
33、BEBCA，利用相似比得到 AEx，则 DEx，从而可计算出 AE：DE 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为矩形， ADBC， AEFCBF； （2）解：设 ABx，则 BC2x， 四边形 ABCD 为矩形， ADBC2x，BADABC90， BEAC， AFB90， ABF+BAF90，BAC+ACB90， ABFACB， BAEABC，ABEBCA， ABEBCA， ，即， AEx， DEADAE2xxx， AE：DEx：x1：3 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；同时利用相似
34、三角形的性质进行几何计算也考查了矩形的性质 24 （10 分）如图，某旅游景区观光路线是从山脚下的地面 A 处出发，沿坡度为 1：的斜坡 AB 步行 50m至山坡 B 处，乘直立电梯上升 30m 至 C 处，再乘缆车沿长为 180m 的索道 CD 至山顶 D 处，此时观测 C处的俯角为 1930，索道 CD 看作在一条直线上 （1）求山坡 B 距离山脚下地面的高度； （2） 求山顶 D 距离山脚下地面的的高度； （精确到 1m） （本题可参考的数据： sin19300.33， cos1921 300.94，tan19300.35） 【分析】 （1）过点 C 作 CEDG 于 E，过 B 作 B
35、FDG 于 F，延长 CB 交 AG 于点 H，由含 30角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）由锐角三角函数定义求出 DE，即可解决问题 【解答】解： （1）如图，过点 C 作 CEDG 于 E，过 B 作 BFDG 于 F，延长 CB 交 AG 于点 H， 则 CHAG， 由题意可知，DCE1930，CD180m，BCEF30m， i1：tan， 30， 在 RtABH 中，30，AB50m， BHAB25（m） ， 答：山坡 B 距离山脚下地面的高度为 25m； （2）由（1）得：FGBH25m， 在 RtDCE 中，DCE1930，CD180m， DEsinDCECD0.33180
36、59.4（m） ， DGDE+EF+FG59.4+30+25114.4114（m） ， 答：山顶 D 距离山脚下地面的的高度约为 114m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 25 （10 分）如图，直线 l 经过O 上一点 C，点 A、B 在直线 l 上，且 OAOB，CACB （1）直线 l 与O 相切吗？请说明理由； （2）若 OCAC，O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积 22 【分析】 （1）如图，连接 OC，根据全等三角形的性质得到OCAOCB90，根据切线的判定定理得到直线 AB 与O 相切； （2）根据全等
37、三角形的性质得到 ACBC2，求得 ACOCBCAB，根据扇形的面积公式即可得到结论 【解答】解： （1）直线 l 与O 相切， 理由：如图，连接 OC， OAOB，CACB，OCOC， AOCBOC（SSS） ， OCAOCB90， OC 是O 的半径， 直线 AB 与O 相切； （2）OCAC2，AOCBOC， ACBC2， ACOCBCAB， AOB90， AOB 的面积为24， 扇形面积为：22， 阴影部分的面积为：AOB 的面积扇形面积4 【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 26 （10 分）某工厂加工一种产品的成
38、本为 30 元/千克，根据市场调查发现，批发价定为 48 元/千克时，每天可销售 500 千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低23 1 元，每天销量可增加 50 千克 （1）写出工厂每天的利润 y 元与降价 x 元之间的函数关系； （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于 9750 元？ 【分析】 （1）根据利润销售量（单价成本） ，列出函数关系式即可； （2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可； （3）首先由（2）中的函数得出降价 x 元时，每天要获得
39、9750 元的利润，进一步利用函数的性质得出答案 【解答】解： （1）由题意得： y（4830 x） （500+50 x）50 x2+400 x+9000， 答：工厂每天的利润 y 元与降价 x 元之间的函数关系为 y50 x2+400 x+9000； （2）由（1）得：y50 x2+400 x+900050（x4）2+9800， 500， x4 时，y 最大为 9800， 即当降价 4 元时，工厂每天的利润最大，最大为 9800 元； （3）50 x2+400 x+90009750， 解得：x13，x25， 48345，48543， 定价应为 4345 元之间（含 43 元和 45 元） 【
40、点评】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题 27 （12 分）如图 1，C、D 为半圆 O 上的两点，且点 D 是弧 BC 的中点连结 AC 并延长，与 BD 的延长线相交于点 E （1）求证：CDED； （2）连结 AD 与 OC、BC 分别交于点 F、H 若 CFCH，如图 2，求证：CHCE； 若圆的半径为 2，BD1，如图 3，求 AC 的值 24 【分析】 （1）如图 1 中，连接 BC想办法证明EDCE 即可； （2）如图 2 中，根据等腰三角形的性质得到CFHCHF，根据三角形外角的性质得到ACOOBC，求得OCBOBC，得到ACO
41、BCOACB45，推出 ACBC，根据全等三角形的性质即可得到结论； 连接 OD 交 BC 于 G设 OGx，则 DG2x利用勾股定理构建方程求解即可 【解答】 （1）证明：如图 1 中，连接 BC 点 D 是弧 BC 的中点 ， DCBDBC， AB 是直径， ACBBCE90， E+DBC90，ECD+DCB90， EDCE， CDED； （2）证明：如图 2 中， CFCH， CFHCHF， CFHCAF+ACF，CHABAH+ABH， CADBAH， ACOOBC， 25 OCOB， OCBOBC， ACOBCOACB45， CABABC45， ACBC， ACHBCE90，CAHCB
42、E， ACHBCE（ASA） ， CHCE； 解：如图 3 中，连接 OD 交 BC 于 G设 OGx，则 DG2x ， CODBOD， OCOB， ODBC，CGBG， 在 RtOCG 和 RtBGD 中，则有 22x212（2x）2， x，即 OG， OAOB， OG 是ABC 的中位线， OGAC， AC 【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题 28 （12 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是射线 BC 上的动点，以 AE 为直角
43、边在直线 BC 的上方作等腰直角三角形 AEF，AEF90，设 BEm 26 （1）如图 1，若点 E 在线段 BC 上运动，EF 交 CD 于点 P，连结 CF 当 m时，求线段 CF 的长； 设 CPn，请求出 n 与 m 的关系式； （2）如图 2，AF 交 CD 于点 Q，在PQE 中，设边 QE 上的高为 h，求 h 的最大值 【分析】（1） 过点 F 作 FGBC 交 BC 的延长线于 M， 利用 AAS 证明ABEEGF， 得 FMBE，EMABBC，则 CMBE，从而求出 CF 的长； 利用BAECEP，得，代入即可； （2） 将ADQ 绕点 A 顺时针旋转 90得ABG， 首
44、先由ABGABE90， 得 B， G， E 三点共线，再利用 SAS 证明GAEEAQ，得AEGAEQ，则有QEPCEP，可得 hCP，利用中结论得 hm2+m（m）2+ 【解答】解： （1）如图，过点 F 作 FGBC 交 BC 的延长线于 M， 在等腰直角三角形 AEF 中，AEF90，AEFE， 在正方形 ABCD 中，B90， BAE+AEBFEM+AEB， BAEFEM， 又BFME， ABEEGF（AAS） ， 27 FMBE，EMABBC， CMBE FC； BAEFEC，BECP90， BAECEP， ， 即， CPmm2， 即 nmm2； （2）如图，将ADQ 绕点 A 顺时针旋转 90得ABG， 则 AGAQ，GABQAD，GBDQ， EAF45， BAE+QADBAE+GAB904545， 即GAEEAF45， ABGABE90， B，G，E 三点共线， 又AEAE， GAEEAQ（SAS） ， AEGAEQ， QEPCEP， hCP， hm2+m（m）2+， 28 即当 m时，h 有最大值为 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，作辅助线构造全等三角形证明QEPCEF 是解题的关键
