1、2022 年广州市从化区九年级数学一模试题年广州市从化区九年级数学一模试题 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 实数 4的倒数是( ) A. 2 B. 2 C. 14 D. 4 2. 下列计算正确的是（ ） A 2-4=-4 B. （a2）3=a5 C. 2a-a=2 D. aa3=a4 3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 截至 2021年 2月 3 日，由中国空间技术研究院研制的“天问一号”探测器飞行里程已超过 450000000 公里，将数据 450000000用科学记数法表示为（ ） A
2、. 45107 B. 4.5107 C. 4.5108 D. 0.45109 5. 某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮 （每人投 10 个） 情况， 投进篮框的个数分别为 6 , 10 , 5 , 3 , 4 , 8 , 4 ，这组数据的中位数和极差分别是（ ） A. 4, 7 B. 5, 7 C. 7, 5 D. 3, 7 6. 方程823xx解为（ ） A. x4 B. x125 C. x12 D. x310 7. 如图， 将ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中， 点 A， B， C 均在格点上， 则A的正切值是 （ ） A. 55 B. 105 C. 2 D. 12 8
3、. 如图，在ABCD中，BF 平分ABC，交 AD于点 F，CE平分BCD交 AD于点 E，AB6，BC10，则EF 长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，二次函数 yax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点 P若点 P 的横坐标为1，则一次函数 y（ab）x+b 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）2，f（2）4，f（3）6； （2）f（12）2，f（13）3，f（14）4 利用以上规律计算：f（2022）f（12022）等于（ ） A. 2021 B. 2022 C. 1202
4、1 D. 12022 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 18 分）分） 11. 分解因式：x29_ 12. 函数 y24x中，自变量 x的取值范围是_ 13. 在ABC 中， 已知 D、 E分别为边 AB、 AC 的中点， 若ADE的周长为 4cm， 则ABC 的周长为_cm . 14. 若圆锥底面圆的直径和母线长均为 4cm，则它的侧面展开图的面积等于_ cm2 . 15. 已知二次函数 yx2+bx+c的顶点为（1，5） ，那么关于 x 的一元二次方程x2+bx+cm0有两个相等的实数根，则 m=_ 16. 如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB
5、=AC，点 P 是 AB 边上一动点，作 PDBC于点 D，线段 AD上存在一点 Q，当 QA+QB+QC的值取得最小值，且 AQ=2 时，则 PD=_ 三解答题（共三解答题（共 9 小题，共小题，共 72 分）分） 17. 解不等式组：21452xxx，并把解集在数轴上表示出来 18. 已知：如图，E 为 BC上一点，ACBDAC=BEBC=BD求证：AB=DE 19. 已知 22111211xxAxxxx （1）化简 A； （2）当4( 12)33x ，求 A 的值 21. 根据公安部交管局下发的通知，自 2020 年 6月 1 日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护 行动，其中就要求骑行
6、摩托车、电动车需要佩戴头盔某日我市交警部门在某个十字路口共 拦截了 50 名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题： 年龄 x（岁） 人数 男性占比 x20 4 75% 20 x30 m 60% 30 x40 25 60% 40 x50 8 75% x50 3 100% （1）统计表中m的值为 ； （2）在这 50人中男性所占百分率是 ； （3）若从年龄在“x20”的 4人中随机抽取 2人参加交通安全知识学习，求恰好抽到一男一女的概率 （请用列表或画树状图的方法） 22. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动
7、员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神 随着北京冬奥会开幕日的临近， 某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆据统计，该店 2021年 10 月的销量为 3 万件，2021年 12月的销量为 3.63 万件 （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则 2022 年 1 月“冰墩墩”的销量有没有超过 4万件？请利用计算说明 24. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A的坐标为（3，4） （1）求过点 B 的反比例函数 ykx的解析式； （2）连接 OB，过点 B作 BDOB 交 x 轴于点 D，求直
8、线 BD的解析式 26. 已知，如图，在 RtABC 中，C90，AD平分CAB （1）按要求尺规作图：作 AD 的垂直平分线(保留作图痕迹） ； （2）若 AD的垂直平分线与 AB相交于点 O，以 O为圆心作圆，使得圆 O 经过 AD两点 求证：BC 是O 的切线；若2 22 6CDAD，求O的半径 28. 在平面直角坐标系中， O为坐标原点， 二次函数 y1ax22x+a21 （a0， 且 a 为常数） 图象记为 G （1）当点 O在图象 G上时，求 a的值 （2） 当图象G的对称轴与直线 x2之间的部分的函数值y随x增大而减小时 （直线 x2与对称轴不重合） ，求 a的取值范围； （3）
9、以点 A（0，1）为对称中心，以|4a|为边长作正方形，使该正方形边与坐标轴平行或垂直若图象G 与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为|a|，直接写出 a的值 30. 已知，AB 是O的直径，AB4 2，ACBC （1）求弦 BC 的长； （2）若点 D是 AB 下方O上的动点（不与点 A，B重合） ，以 CD为边，作正方形 CDEF，如图 1 所示，若 M是 DF 的中点，N 是 BC 的中点，求证：线段 MN的长为定值； （3）如图 2，点 P 是动点，且 AP2，连接 CP，PB，一动点 Q 从点 C出发，以每秒 2 个单位的速度沿线段 CP匀速运动到点 P，再以每秒 1
10、个单位的速度沿线段 PB 匀速运动到点 B，到达点 B 后停止运动，求点Q 的运动时间 t的最小值 2022 年广州市从化区九年级数学一模试题年广州市从化区九年级数学一模试题 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 实数 4的倒数是( ) A. 2 B. 2 C. 14 D. 4 【1 题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】解：实数 4 的倒数是14， 故选：C 2. 下列计算正确的是（ ） A. 2-4=-4 B. （a2）3=a5 C. 2a-a=2 D. aa3=a4 【2 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用算术平方根
11、、幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项依次进行判断即可得出结果 【详解】解：A、 2-4=4，故错误； B、 （a2）3=a6，故错误； C、2a-a=a，故错误； D、aa3=a4，正确； 故选 D 【点睛】题目主要考查算术平方根、幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项运算，熟练掌握运用各个运算法则是解题关键 3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【3 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解 【详解】解：选项 B 不能找到这样的一个
12、点，使图形绕某一点旋转 180 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项 A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后与原图重合 4. 截至 2021年 2月 3 日，由中国空间技术研究院研制的“天问一号”探测器飞行里程已超过 450000000 公里，将数据 450000000用科学记数法表示为（ ） A. 45107 B. 4.5107 C. 4.5108 D. 0.45109 【4 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数
13、法表示较大的数时，一般形式为 a 10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的整数位数少 1，据此判断即可 【详解】解：450000000=4.5 108 故选：C 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a 10n，其中 1|a|10，确定 a 与 n的值是解题的关键 5. 某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮 （每人投 10 个） 的情况， 投进篮框的个数分别为 6 , 10 , 5 , 3 , 4 , 8 , 4 ，这组数据的中位数和极差分别是（ ） A. 4, 7 B. 5, 7 C. 7, 5 D. 3, 7 【5 题答案】 【答案】B 【解析】
14、 【分析】此题首先把所给数据重新排序，然后利用中位数和极差定义即可求出结果 【详解】把数据重新排序后为 3，4，4，5，6，8，10， 中位数为 5，极差为 10-3=7 故选 B 【点睛】此题考查中位数和极差定义，解题关键是把所给数据重新按照由小到大的顺序排序. 6. 方程823xx的解为（ ） A. x4 B. x125 C. x12 D. x310 【6 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】方程两边乘 x（x-3）得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可 【详解】解：方程两边乘 x（x-3） ，得 8(x-3)=2x， 解得：x=4， 检验：当 x=4 时，x（x-3）0， 所
15、以 x=4 是原分式方程的解， 即原分式方程的解是 x=4 故选：A 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键 7. 如图， 将ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中， 点 A， B， C 均在格点上， 则A的正切值是 （ ） A. 55 B. 105 C. 2 D. 12 【7 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】首先构造以 A 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解 【详解】解：连接 BD， 则 BD2，AD22， 则 tanABDAD22 212 故选 D 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，
16、余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键 8. 如图，在ABCD中，BF 平分ABC，交 AD于点 F，CE平分BCD交 AD于点 E，AB6，BC10，则EF 长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【8 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AFB=FBC，由角平分线可得ABF=FBC，所以AFB=ABF，所以 AF=AB=6，同理可得 DE=CD=6，则根据 EF=AF+DE-AD 即可求解 【详解】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC10，DCAB6 AFBFBC BF 平分ABC， ABFFBC AFBA
17、BF AFAB6 同理可得 DEDC6 EFAF+DEAD6+6102 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线+平行线=等腰三角形”转化线段 9. 如图，二次函数 yax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点 P若点 P 的横坐标为1，则一次函数 y（ab）x+b 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【9 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可以判断 a、b、a-b 的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决 【详解】解：由二次函数的图象可知， a0，b0， 当 x=-1 时，y=
18、a-b0， y=（a-b）x+b的图象在第二、三、四象限， 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答 10. 符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f（1）2，f（2）4，f（3）6； （2）f（12）2，f（13）3，f（14）4 利用以上规律计算：f（2022）f（12022）等于（ ） A. 2021 B. 2022 C. 12021 D. 12022 【10 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件的规律，得到 f（2022）和 f（12022）的值，即可求解 【详解】解：f（1）=2=2 1
19、， f（2）=4=22， f（3）=6=2 3 (2022)2 20224044f； f（12）2， f（13）3， f（14）4 f（12022）=2022 f（2022）f（12022）=4044-2022=2022 故选：B 【点睛】本题考查找规律的能力，关键在于找到题目的规律才能正确解题 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 18 分）分） 11. 分解因式：x29_ 【11 题答案】 【答案】(x3)(x3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3） （x-3） ， 故答案为： （x+3） （x-3）. 12. 函数 y24x中，自变量 x的取值范
20、围是_ 【12 题答案】 【答案】x2 【解析】 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 2x40，可求 x的范围 【详解】解：2x40 解得 x2 故答案：x2 【点睛】本题考查自变量有意义的条件，因函数表达式是二次根式，实质也是考查二次根式有意义的条件. 13. 在ABC 中， 已知 D、 E分别为边 AB、 AC 的中点， 若ADE的周长为 4cm， 则ABC 的周长为_cm . 【13 题答案】 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，作出相应图象，然后利用中位线的性质定理及相似三角形的判定和性质求解即可得出结果 【详解】解：如图所示： D、E 分别为边 AB、A
21、C的中点， DEBC， ADEABC， 12ADEABCCADCAB， 4ADEC， 8ABCC， 故答案为：8 【点睛】题目主要考查三角形的中位线的性质定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键 14. 若圆锥底面圆的直径和母线长均为 4cm，则它的侧面展开图的面积等于_ cm2 . 【14 题答案】 【答案】8 【解析】 【详解】由侧面积公式得2 48rlppp= 创= . 15. 已知二次函数 yx2+bx+c的顶点为（1，5） ，那么关于 x 的一元二次方程x2+bx+cm0有两个相等的实数根，则 m=_ 【15 题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】求出抛物线
22、的表达式221524yxxx ，再根据根的判别式求解即可； 【详解】设抛物线解析式为2yxhk ， 顶点为（1，5） ， 221524yxxx ， 20 xbxcm 可化为2240 xxm， 有两个相等的实数根， 2444140bacm ， 4 1640m， 5m； 故答案是 5 【点睛】本题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，涉及到一元二次方程的求解，确定抛物线解析式是解题的关键 16. 如图，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，点 P 是 AB 边上一动点，作 PDBC于点 D，线段 AD上存在一点 Q，当 QA+QB+QC的值取得最小值，且 AQ=2 时，则 PD=_ 【16 题
23、答案】 【答案】3+ 3 【解析】 【分析】 如图 1， 将BQC绕点 B顺时针旋转 60 得到BNM， 连接 QN， 当点 A， 点 Q， 点 N， 点 M 共线时，QA+QB+QC 值最小，此时，如图 2，连接 MC，证明 AM 垂直平分 BC，证明 AD=BD，此时 P与 D重合，设 PD=x，则 DQ=x-2，构建方程求出 x可得结论 【详解】解：如图 1，将BQC 绕点 B 顺时针旋转 60 得到BNM，连接 QN， BQ=BN，QC=NM，QBN=60 ， BQN是等边三角形， BQ=QN， QA+QB+QC=AQ+QN+MN， 当点 A，点 Q，点 N，点 M共线时，QA+QB+
24、QC值最小， 此时，如图 2，连接 MC 将BQC 绕点 B 顺时针旋转 60 得到BNM， BQ=BN，BC=BM，QBN=60 =CBM， BQN是等边三角形，CBM是等边三角形， BQN=BNQ=60 ，BM=CM， BM=CM，AB=AC， AM 垂直平分 BC， ADBC，BQD=60 ， BD=3QD， AB=AC，BAC=90 ，ADBC， AD=BD，此时 P与 D重合，设 PD=x，则 DQ=x-2， x=tan60232xx， x=3+3， PD=3+3 故答案为：3+ 3 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用
25、等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题 三解答题（共三解答题（共 9 小题，共小题，共 72 分）分） 17. 解不等式组：21452xxx，并把解集在数轴上表示出来 【17 题答案】 【答案】-1x+2，得：x-1， 则不等式组的解集为-1x3， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18. 已知：如图，E 为 BC上一点，ACBDAC=BEBC=BD求证：AB=DE 【18 题答案】 【答案】详见解析 【解析】 分析】由 AC、BD
26、 平行，可知ACBDBC，再根据已知条件，即可得到ABCEDB，即得结论 ABDE 【详解】证明：ACBD， ACBDBC， ACBE，BCBD， ABCEDB， ABDE 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，涉及到平行线的性质知识点，比较简单 19. 已知 22111211xxAxxxx （1）化简 A； （2）当4( 12)33x ，求 A 的值 【19 题答案】 【答案】 （1）11xx； （2）A的值为53 【解析】 【分析】 （1）分子、分母因式分解，同时利用除法法则变形，约分后，再利用同分母分式的加减法计算即可得到结果； （2）利用二次根式的混合运算法则求出 x 的值，代入计算即
27、可求出值 【小问 1 详解】 解：22111211xxAxxxx 2(1)(1)1(1)11xxxxxx 111xxx =11xx； 【小问 2 详解】 解：4( 12)63462433x ， A=4 154 13 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则 21. 根据公安部交管局下发的通知，自 2020 年 6月 1 日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护 行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔某日我市交警部门在某个十字路口共 拦截了 50 名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
28、 年龄 x（岁） 人数 男性占比 x20 4 75% 20 x30 m 60% 30 x40 25 60% 40 x50 8 75% x50 3 100% （1）统计表中m的值为 ； （2）在这 50人中男性所占百分率是 ； （3）若从年龄在“x20”的 4人中随机抽取 2人参加交通安全知识学习，求恰好抽到一男一女的概率 （请用列表或画树状图的方法） 【21 题答案】 【答案】 （1）10； （2）66%； （3）树状图见解析，12 【解析】 【分析】 （1）直接利用 50减去各年龄段人数即可得到 m 的值； （2）分别解得各年龄段男性人数，再相加、除以总人数 50，即可解题； （3）画树状图
29、列出所有机会均等的结果，再求得恰好抽到一男一女的概率 详解】解： （1）50425 8 3 10m （人） ， 故答案为：10； （2）4 75% 10 60%25 60%8 75%3 100%100%50 36 1563100%50 66% 故答案为：66%； （3）4 75%3（人） ， 4 人中有男性 3 人，女性 1人 共有 12种等可能情况，其中一男一女的情况有 6种， (11)61122P男 女 【点睛】本题考查频数分布图、列表法或画树状图求概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 22. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会
30、运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神 随着北京冬奥会开幕日的临近， 某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆据统计，该店 2021年 10 月的销量为 3 万件，2021年 12月的销量为 3.63 万件 （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则 2022 年 1 月“冰墩墩”的销量有没有超过 4万件？请利用计算说明 【22 题答案】 【答案】 （1）该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为 10% （2）没有超过 4万件，见解析 【解析】 【分析】 （1）设月平均增长率为 x，利用 2021年 12 月的销量=2021年 10
31、月的销量 （1+月平均增长率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用 2022年 1 月的销量=2021年 12 月的销量 （1+月平均增长率） ，即可求出 2022年 1月“冰墩墩”的销量 【小问 1 详解】 设月平均增长率为 x， 根据题意，得23 13.63x（） ， 解得1x0.110%，2x2.1 （不合题意，舍去） 答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为 10% 【小问 2 详解】 假设保持相同的月平均增长率，那么 2022 年 1月“冰墩墩”的销量为：3.63 （1+10%）3.63 1.13.993（万件） 3.9934 答：2022年 1
32、 月“冰墩墩”的销量没有超过 4万件 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （2）根据各数量之间的关系，列式计算 24. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A的坐标为（3，4） （1）求过点 B 的反比例函数 ykx的解析式； （2）连接 OB，过点 B作 BDOB 交 x 轴于点 D，求直线 BD的解析式 【24 题答案】 【答案】 （1）y=32x （2）直线 BD的解析式为 y=-2x+20 【解析】 【分析】 （1）由 A 的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出 B
33、的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）证明OBFBDF，利用相似三角形的性质得出点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 BD 解析式即可 【小问 1 详解】 解：过点 A作 AEx 轴，过 B 作 BFx轴，垂足分别为 E，F，如图， A（3，4） ， OE=3，AE=4， AO=22OEAE=5， 四边形 OABC是菱形， AO=AB=OC=5，ABx轴， EF=AB=5， OF=OE+EF=3+5=8， B（8，4） ， 过 B点的反比例函数解析式为 y=kx， 把 B 点坐标代入得 k=32， 反比例函数解析式为 y=32x； 【小问 2 详解】 解：OBBD，即OBD
34、=90 ， OBF+DBF=90 ， DBF+BDF=90 ， OBF=BDF， 又OFB=BFD=90 ， OBFBDF， OFBFBFDF， 844DF， 解得 DF=2， OD=OF+DF=8+2=10， D（10，0） 设 BD所在直线解析式为 y=k1x+b， 把 B（8，4） ，D（10，0）分别代入得：1184100kbkb， 解得1220kb 直线 BD的解析式为 y=-2x+20 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 26
35、. 已知，如图，在 RtABC 中，C90，AD平分CAB （1）按要求尺规作图：作 AD 的垂直平分线(保留作图痕迹） ； （2）若 AD的垂直平分线与 AB相交于点 O，以 O为圆心作圆，使得圆 O 经过 AD两点 求证：BC 是O 的切线；若2 22 6CDAD，求O的半径 【26 题答案】 【答案】 （1）见解析； （2）证明见解析；3 【解析】 【分析】 （1）根据垂直平分线的作法，即可画出图形； （2）连接 OD，根据角平分线得出CAD=BAD，进而得出BAD=ODA，从而CAD=ODA，即ODAC， 进而判断出 ODBC， 即可得出结论； 过点 D 作 DHAB于 H， 根据角平
36、分线性质得出 DH=CD=2 2，再利用勾股定理得出 AH=4,设O半径为 r，再在 RtOHD中，222ODOHDH,建立方程求解即可 【小问 1 详解】 【小问 2 详解】 证明：如图，连接 OD， AD为BAC的角平分线， CAD=BAD， OA=OD，BAD=ODA， CAD=ODA， ODAC， ODB=C=90， ODBC， OD为O 半径， BC是O的切线 如图，过点 D作 DHAB于 H， C=90， DCAC， AD为BAC的角平分线，2 2CD , DH=CD=2 2, 在 RtADH 中， 22222 62 24AHADDH, 设O半径为 r，OA=OD=r， OH=AH
37、-OA=4-r， 在 RtOHD中，222ODOHDH, 22242 2rr r=3， 即O的半径为 3 【点睛】本题考查了基本作图，切线判定，勾股定理和角平分线定理，做出辅助线构造直角三角形是解题的关键 28. 在平面直角坐标系中， O为坐标原点， 二次函数 y1ax22x+a21 （a0， 且 a 为常数） 的图象记为 G （1）当点 O在图象 G上时，求 a的值 （2） 当图象G的对称轴与直线 x2之间的部分的函数值y随x增大而减小时 （直线 x2与对称轴不重合） ，求 a的取值范围； （3）以点 A（0，1）为对称中心，以|4a|为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直若图象G
38、 与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为|a|，直接写出 a的值 【28 题答案】 【答案】 （1）a 的值为 1； （2）当 a2或 a0时，直线 x=a 与直线 x=2 之间的部分的函数值 y随 x增大而减小； （3）a=114或 a=-54 【解析】 【分析】 （1）把原点 O（0，0）代入 y=1ax2-2x+a2-1 即可求解； （2）分 a0和 a0两种情况讨论，根据抛物的对称轴以及二次函数的性质即可求解； （3）如解图，G与正方形某边有两个交点，只可能与 BE或 CD相交处两个交点，分 a0和 a0两种情况讨论，根据一元二次方程的根与系数的关系求解 【小问 1 详
39、解】 解：点 O在图象 G上， 1ax2-2x+a2-1=0，即 a2-1=0， 解得：a1=1，a2=-1， a的值为 1； 【小问 2 详解】 解：抛物线 y=1ax2-2x+a2-1 的对称轴是直线 x=a， 当 a0时，抛物线开口向上， 直线 x=a与直线 x=2之间的部分的函数值 y 随 x增大而减小， 2a 当 a0时，抛物线开口向下， 直线 x=a与直线 x=2之间的部分的函数值 y 随 x增大而减小， 20aa， 0a 时，直线 x=a与直线 x=2 之间的部分的函数值 y随 x增大而减小； 综上所述，当 a2 或 a0 时，直线 x=a与直线 x=2之间的部分的函数值 y随
40、x 增大而减小； 【小问 3 详解】 解：取正方形四个顶点分别为 BCDE， B、E 的纵坐标为：-1+2|a|， C、D的纵坐标为：-1-2|a|， G 与正方形某边有两个交点，只可能与 BE 或 CD相交出两个交点， 当 a0时，B、E的纵坐标为：-1+2a，可得： -1+2a=1ax2-2x+a2-1， 整理得：x2-2ax+a3-2a2=0， 设方程的两根为 x1、x2，则 x1+x2=2a，x1x2=a3-2a2， （x1-x2）2=a2，则（x1+x2）2-4x1x2=a2， 解得：a=114， 当与 CD 边相交时，C、D边纵坐标为-1-2a， -1-2a=1ax2-2x+a2-
41、1，且 x1-x2=a， 无解， 当 a0时，B、E纵坐标为-1-2a， -1-2a=1ax2-2x+a2-1，且 x1-x2=a， 解得：a=-54， 当与 CD 边相交时，C、D纵坐标为-1+2a， -1+2a=1ax2-2x+a2-1，且 x1-x2=a， 无解， 综上所述，a=114或 a=-54 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质、二次函数的最值、正方形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式和二次函数的图象和性质是解题的关键 30. 已知，AB 是O的直径，AB4 2，ACBC （1）求弦 BC 的长； （2）若点 D是 AB 下方O上的动点（不与点 A，B重合） ，以 CD为边，
42、作正方形 CDEF，如图 1 所示，若 M是 DF 的中点，N 是 BC 的中点，求证：线段 MN的长为定值； （3）如图 2，点 P 是动点，且 AP2，连接 CP，PB，一动点 Q 从点 C出发，以每秒 2 个单位的速度沿线段 CP匀速运动到点 P，再以每秒 1个单位的速度沿线段 PB 匀速运动到点 B，到达点 B 后停止运动，求点Q 的运动时间 t的最小值 【30 题答案】 【答案】 （1）4 （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】 （1）AB是O的直径，AC=BC 可得到ABC是等腰直角三角形，从而得道答案； （2） 连接 AD、 CM、 DB、 FB， 首先利用ACDBCF， C
43、BF=CAD， 证明 D、 B、 F 共线， 再证明CMB是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （3）“阿氏圆”的应用问题，以 A为圆心，AP 为半径作圆，在 AC 上取点 M，使 AM=1，连接 PM，过 M 作MHAB于 H，连接 BM交A于 P，先证明 PM=2PC，2PC+BP 最小，即是 PM+BP最小，此时 P、B、M 共线，再计算 BM 的长度即可 【小问 1 详解】 AB 是O的直径， ABC=90 ， AC=BC， ABC是等腰直角三角形，CAB=45 ，BC=AC AB=42， 222BCCAAB 221162BCAB BC= 4； 【小问 2
44、 详解】 连接 AD、CM、DB、FB，如图： ABC是等腰直角三角形，四边形 CDEF 是正方形， CD=CF，DCF=ACB=90 ， ACD=90-DCB=BCF， 又 AC=BC， ACDBCF（SAS） ， CBF=CAD， CBF+ABC+ABD=CAD+ABC+ABD =DAB+CAB+ABC+ABD =DAB+45 +45 +ABD， 而 AB是O的直径， ADB=90 ， DAB+ABD=90 ， CBF+ABC+ABD=180 ， D、B、F 共线， 四边形 CDEF是正方形， DCF是等腰直角三角形， M是 DF中点， CMDF，即CMB是直角三角形， N 是 BC 的中
45、点， MN=12BC=2，即 MN为定值； 【小问 3 详解】 以 A 为圆心，AP为半径作圆，在 AC上取点 M，使 AM=1，连接 PM，过 M作 MHAB于 H，连接 BM交A于 P，如图： 一动点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位的速度沿线段 CP匀速运动到点 P，再以每秒 1个单位的速度沿线段PB 匀速运动到点 B， Q 运动时间 t=2PC+BP， AM=1，AP=2，AC=BC=4， 12AMAPAPAC， 又MAP=PAC， MAPPAC， 12PMAMPCAP， PM=2PC， 2PC+BP 最小，即是 PM+BP最小， 此时 P、B、M 共线，即 P与 P重合，t=2PC+BP最小值即是 BM的长度， 在 RtAMH中，MAH=45 ，AM=1， AH=MH=22， AB=42， BH=AB-AH=7 22， RtBMH 中，BM=22BHMH=5， 点 Q的运动时间 t的最小值为 5 【点睛】本题考查圆、等腰直角三角形、正方形等综合知识，解题的关键是构造MAPPAC，把求2PC+BP最小的问题转化为求 BM的长度
