北京市西城区二校联考2021-2022学年八年级下期中数学试题(含答案解析)

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1、北京市西城区二校联考2021-2022学年八年级下期中数学试题一、选择题1. 下列二次根式为最简二次根式的是( )A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是()A. 1,2B. 1,1,2C. 2,3,4D. 4,5,63. 下列计算正确的是( )A. B. C. D. 4. 若+b24b+4=0,则ab的值等于()A. 2B. 0C. 1D. 25. 下列命题中正确的是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互 相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D. 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形6. 如图,菱形,点E是对

2、角线上一点,点F是边上一点,且,则的度数为( )A. B. C. D. 7. 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点OAC4,AOD120,则BC的长为()A 4B. 4C. 2D. 28. 如图,的对角线、相交于点O,点E是的中点,的周长为,则的周长是( )A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm9. 如图,在平面直角坐标系中,正方形的顶点在轴上,且,则正方形的面积是( )A. B. C. D. 10. 如图,在等边中,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴正半轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )A. 4B. C. D. 二、填空题11

3、. 在实数范围内因式分解:_12. 若二次根式有意义,则实数x的取值范围是_13. 已知平行四边形邻边之比是1:2,周长是18,则较短的边的边长是_14. 在平面直角坐标系中,点,则点A到原点O的距离为_15. (1)比较大小:_4;(2)两个相邻整数_和_之间16. 矩形中,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为,则_cm17. 己知n是正整数,是整数,则满足条件所有n的值为_18. 在平行四边形ABCD中,A30,AD,BD4,则平行四边形ABCD的面积等于 _.三、解答题19. 计算下列各式:(1)(2)21. 若,求的值22. 阅读下面的文字后,回答问题:对题目“化简并求值:,其中”

4、,甲、乙两人的解答不同:甲的解答:原式乙解答:原式(1)你认为_的解答是错误的,原因是未能正确运用二次根式的性质:_;(2)模仿上面正确的解答,化简并求值:,其中24. 如图,在中,求的长25. 如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1A、B、C、D均在网格的格点上(1)直接写出四边形的面积与、的长度;(2)是直角吗?理由是:_;(3)在网格中找到一个格点E,并画出四边形,使得其面积与四边形的面积相等27. 在中,对角线、交于点O,点M、N在对角线上,点M从点B出发以每秒1个单位的速度向点D运动,到达点D时运动停止,同时点N从点D出发,运动至点B后立即返回,点M停止运动的同时,点N也停

5、止运动,设运动时间为t秒(1)若点N的速度为每秒1个单位,如图1,当时,求证:四边形是平行四边形;点M、N运动的过程中,四边形可能出现的形状是_A矩形 B菱形 C正方形(2)若点N的速度为每秒2个单位,运动过程中,t为何值时,四边形是平行四边形?29. 小云学习了平行四边形判定后,想利用平行四边形的判定方法探究下列问题(1)利用平行四边形的判定方法作平行四边形,作法是:如图1,在中,分别以点A,C为圆心,为半径画弧,两弧交于点D,连接,四边形就是平行四边形小云判定四边形平行四边形的依据是_;(2)探究:“四边形中,若,对角线与交于点O,且,四边形是平行四边形吗?”在图2中作出符合条件的图形(尺

6、规作图,保留作图痕迹);结合所作图形,符合条件的四边形_(填写“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形(3)探究:“四边形中,若,对角线与交于点O,且,当与满足什么条件时,四边形一定是平行四边形?”直接写出与满足的条件是: _31. 已知在中,于点E,平分交线段于点F(1)如图1,若,当时,_,_;请直接写出线段、之间的数量关系:_(2)如图2,若且,请写出线段之间的数量关系,并证明33. 已知正方形,若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上,则称这个等边三角形为正方形的内等边三角形(1)若正方形的边长为10,点E在边上,是正方形的内等边三角形如图1,当点E为边的中点时,线段的长度为

7、_;当点E为边上任意一点时,连接,则线段的最小值是_,线段的取值范围是_(2)和都是正方形的内等边三角形,当的长最大时,画出和(点A,M,N按逆时针方向排序),连接图中与线段相等的所有线段(不添加字母)有_北京市西城区二校联考2021-2022学年八年级下期中数学试题一、选择题1. 下列二次根式为最简二次根式的是( )A. B. C. D. 【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可【详解】解:A、,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;B、,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;C、,不是最简二次根式,故本选项不符合题意;D、是最简二次根式,故本选项符合题意.故

8、选D【点睛】本题考查了最简二次根式的定义,注意:最简二次根式具备两个条件:被开方数的每一个因式都是整式,每个因数都是整数,被开方数不含有能开得尽方的因式或因数2. 以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是()A. 1,2B. 1,1,2C. 2,3,4D. 4,5,6【2题答案】【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可【详解】解:A、12+()222以1,2为边能组成直角三角形,故本选项符合题意B、1+12,不符合三角形三边关系定理,不能组成三角形,也不能组成直角三角形,故本选项不符合题意C、22+3242以2,3,4为边不能组成直角三角形,故本选项不符

9、合题意D、42+5262以4,5,6为边不能组成直角三角形,故本选项不符合题意故选:A【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系,掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键3. 下列计算正确的是( )A. B. C. D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质和运算法则计算判断即可【详解】不是同类二次根式,不能进行加减运算,A错误,不符合题意;,B错误,不符合题意;,C正确,符合题意;被开方数是-5,无意义,D错误,不符合题意;故选C【点睛】本题考查了二次根式的性质和运算,熟练掌握性质,灵活进行运算是解题的关键4. 若+b24b+4=0,则ab的值等于()A

10、. 2B. 0C. 1D. 2【4题答案】【答案】D【解析】【详解】试题分析:由,得:a1=0,b2=0解得a=1,b=2ab=2故选D考点:非负数的性质:算术平方根;非负数的性质:偶次方5. 下列命题中正确的是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互 相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D. 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形【5题答案】【答案】C【解析】【详解】解:A、对角线相等的平行四边形是矩形,所以A选项错误;B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以B选项错误;C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,所以C选项正确;D、一组

11、对边相等且平行的四边形是平行四边形,所以D选项错误故选C6. 如图,菱形,点E是对角线上一点,点F是边上一点,且,则的度数为( )A. B. C. D. 【6题答案】【答案】B【解析】【分析】连接BD,交AC于点G,连接BE,根据菱形的性质和已知,得到ED=EB=EF,从而得EDB=EBD,DEG=90-EDB,EBD+DBC=EFB =CEF+ECF,结合已知代入化简即可【详解】如图,连接BD,交AC于点G,连接BE,四边形ABCD是菱形,DAB=70,ED=EF,ED=EB=EF,AGD=90,DCE=BCE =35,GBC =55,EDB=EBD,DEG=90-EDB,EBD+DBC=E

12、FB =CEF+ECF,CEF=20+EBD,DEF=DEG +CEF=90-EDB+20+EBD=110,故选B【点睛】本题考查了菱形的性质,等腰三角形的判定和性质,直角三角形性质,三角形外角性质,熟练掌握菱形的性质是解题的关键7. 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点OAC4,AOD120,则BC的长为()A. 4B. 4C. 2D. 2【7题答案】【答案】C【解析】【分析】利用矩形对角线的性质得到OAOB结合AOD120知道AOB60,则AOB是等边三角形;最后在直角ABC中,利用勾股定理来求BC的长度即可【详解】解:矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC4,OAOBAC2,

13、又AOD120,AOB60,AOB是等边三角形,ABOAOB2在直角ABC中,ABC90,AB2,AC4,BC故选:C【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出OA、OB的长,题目比较典型,是一道比较好的题目8. 如图,的对角线、相交于点O,点E是的中点,的周长为,则的周长是( )A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm【8题答案】【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得,再结合点E是的中点,证得是的中位线,最后利用的周长为,代换后即可求解【详解】四边形是平行四边形,点E是的中点,的周长为,的周长是cm,故选:B【点睛】本题考查了平行四边

14、形的性质和中位线的性质,熟练掌握中位线的性质是解题的关键9. 如图,在平面直角坐标系中,正方形顶点在轴上,且,则正方形的面积是( )A. B. C. D. 【9题答案】【答案】D【解析】【详解】解:如图所示:作BEOA于点E,则,由题意可得:,AODBEA(AAS),OD=AE=5,正方形面积是:,故选D10. 如图,在等边中,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴正半轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )A. 4B. C. D. 【10题答案】【答案】D【解析】【分析】取AC的中点D,连接OD,BD,利用三角形原理,当O、D、B三点共线时OB取得最大值

15、,且最大值等于OD+BD,计算出OD,BD的长度即可【详解】如图,取AC的中点D,连接OD,BD,ABC是等边三角形,AOC=90,AC=4,DO=CD=AD,DO+BDOB,OBDO+BD=,当O、D、B三点共线时OB取得最大值,且最大值等于,故选D【点睛】本题考查了直角三角形的性质,等边三角形的性质,勾股定理,三角形三边关系定理,熟练掌握直角三角形性质和三角形三边关系定理是解题的关键二、填空题11. 在实数范围内因式分解:_【11题答案】【答案】【解析】【分析】先将化为,再利用平方差公式分解因式即可【详解】解:故答案为:【点睛】本题考查利用平方差公式分解因式,是重要考点,难度较易,掌握相关

16、知识是解题关键12. 若二次根式有意义,则实数x取值范围是_【12题答案】【答案】x8【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可【详解】解:根式有意义,x-80,解得x8故答案为:x8【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件,熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键13. 已知平行四边形邻边之比是1:2,周长是18,则较短的边的边长是_【13题答案】【答案】3【解析】【分析】根据平行四边形邻边之比是1:2,设两邻边分别为x,2x,然后利用周长得到一个关于x的一元一次方程,解方程即可【详解】解:平行四边形的周长是18,一组邻边之比是1:2,设两邻边分别为x,

17、2x,则2(x+2x)18,解得:x3,较短的边的边长是3,故答案为:3【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及一元一次方程的应用,根据题意列出方程是关键14. 在平面直角坐标系中,点,则点A到原点O的距离为_【14题答案】【答案】【解析】【分析】根据两点间的距离公式,即可求解【详解】解:点到原点O的距离为,故答案为:【点睛】本题主要考查两点间的距离公式,掌握勾股定理是解题的关键15. (1)比较大小:_4;(2)在两个相邻整数_和_之间【15题答案】【答案】 . . 4 . 5【解析】【分析】(1)先将两数变换成统一的形式,进而即可比较大小;(2)先对无理数进行估算,进而即可确定在哪两个相邻整

18、数之间【详解】(1),又,故答案为:;(2),在两个相邻整数4和5之间,故答案为:4,5【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较,解题的关键是熟练掌握无理数估算的方法和实数比较大小的方法16. 矩形中,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为,则_cm【16题答案】【答案】13【解析】【分析】根据折叠性质,DE=BE,设DE=BE=x,则AE=18-x,在直角三角形ADE中运用勾股定理求解即可【详解】,四边形ABCD是矩形,根据折叠性质,得DE=BE,DAE=90,设DE=BE=x,则AE=18-x,在直角三角形ADE中,解得x=13,即DE=13,故答案为:13【点睛】本题考查了矩形的性

19、质,折叠的性质,勾股定理,熟练掌握矩形的性质,灵活运用勾股定理是解题的关键17. 己知n是正整数,是整数,则满足条件的所有n的值为_【17题答案】【答案】或或【解析】【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数的取值范围,然后令等于所有可能的平方数即可求解【详解】解:由题意得,解得,n是正整数,是整数,或或或或,解得或或或或,n是正整数,或或,故答案为:或或【点睛】本题考查了算术平方根的性质,理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键18. 在平行四边形ABCD中,A30,AD,BD4,则平行四边形ABCD的面积等于 _.【18题答案】【答案】或【解析】【分析】过点D作DEAB

20、,垂足为E,分点E在AB上或AB的延长线上两种情况,分别利用三角函数求出AE、DE的长,利用勾股定理求出BE的长,继而可得AB的长,然后利用平行四边形的面积公式进行求解即可.【详解】过点D作DEAB,垂足为E,如图1,点E在AB上,A=30,DE=ADsin30=,AE=ADcos30=6,在RtDBE中,BE=,AB=AE+BE=8,平行四边形ABCD的面积为;如图2,点E在AB延长线上,A=30,DE=ADsin30=,AE=ADcos30=6,在RtDBE中,BE=,AB=AE-BE=4,平行四边形ABCD的面积为,故答案为或.【点睛】本题考查了解直角三角形,平行四边形的面积,正确地画出

21、图形是解题的关键.三、解答题19. 计算下列各式:(1)(2)【19题答案】【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)先将各式化为最简二次根式,再根据二次根式四则混合运算法则计算即可;(2)根据二次根式四则混合运算法则计算即可【小问1详解】原式【小问2详解】原式【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键21. 若,求的值【21题答案】【答案】6【解析】【分析】先计算a+b,ab,根据,代入计算即可【详解】,=6【点睛】本题考查了条件型的化简求值,二次根式的性质,完全平方公式的变形计算,熟练掌握公式的变形是解题的关键22. 阅读下面的文字后,回答问题:对题

22、目“化简并求值:,其中”,甲、乙两人的解答不同:甲的解答:原式乙的解答:原式(1)你认为_的解答是错误的,原因是未能正确运用二次根式的性质:_;(2)模仿上面正确的解答,化简并求值:,其中【22题答案】【答案】(1)甲, (2),2【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质去判断即可(2)分m3,3m5,m5三种情况进行化简,代入求解即可【小问1详解】根据题意,得,m=5,3m=151,故原式=20-1=19故答案为:甲,【小问2详解】根据题意,得当m3时,=5-m+3-m=8-2m;当3m5时,=5-m+m-3=2;当m5时=m-5+m-3=2m-8;综上所述,在中,【点睛】本题考查了二次根式

23、的性质,熟练掌握二次根式的性质是解题的关键24. 如图,在中,求的长【24题答案】【答案】【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出B的度数,再过点A作ADBC于点D,根据锐角三角函数的定义求出AD的长,再根据勾股定理求出CD的长,根据等角对等边求得BD,进而可得出结论【详解】A=105,C=30,B=45,过点A作ADBC于点D,ADB=ADC=90,在RtADC中,ADC=90,C=30,AC=4,AD=2,由勾股定理得:,在RtADB中,ADB=90,B=45,DABB=45,【点睛】本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义、等角对等边等知识,根据题意作出辅助线,构造出直角

24、三角形是解答此题的关键25. 如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1A、B、C、D均在网格的格点上(1)直接写出四边形的面积与、的长度;(2)是直角吗?理由是:_;(3)在网格中找到一个格点E,并画出四边形,使得其面积与四边形的面积相等【25题答案】【答案】(1)14,BC=,BD=4 (2)BCD不是直角,理由见解析 (3)见解析(答案不唯一)【解析】【分析】(1)利用分割法求四边形面积,利用勾股定理求出BC,BD的长;(2)利用广告代理点逆定理判断即可;(3)利用平行线的性质,等高模型解决问题即可【小问1详解】解由题意: S四边形ABCD=55-15-25-12-13-1=14B

25、C=,BD=【小问2详解】解:BCD不是直角理由:CD=,BC=,BD=4,BC2+CD2=34,BD2=32,BC2+CD2BD2,BCD不是直角【小问3详解】解:连结EC,EC是边长为2的正方形对角线,AD是同方向边长为4的正方形对角线,ECAD,SBED=SBCD,(同底等高) ,S四边形ABED=SBED+SABD=SBCD+SABD=S四边形ABCD,如图点E即为所求(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-应用与设计,勾股定理以及逆定理,等高模型等知识,解题关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型27. 在中,对角线、交于点O,点M、N在对角线上,点M从点B出发以每秒1个单位的速

26、度向点D运动,到达点D时运动停止,同时点N从点D出发,运动至点B后立即返回,点M停止运动的同时,点N也停止运动,设运动时间为t秒(1)若点N的速度为每秒1个单位,如图1,当时,求证:四边形是平行四边形;点M、N运动的过程中,四边形可能出现的形状是_A矩形 B菱形 C正方形(2)若点N的速度为每秒2个单位,运动过程中,t为何值时,四边形是平行四边形?【27题答案】【答案】(1)见解析;A (2)0或【解析】【分析】(1)如图1,当时,BM=DN,根据平行四边形ABCD的性质,得到OA=OC,OM=ON,从而判定四边形是平行四边形根据,得到四边形ABCD不可能是菱形或正方形,从而得到AC与MN不能

27、垂直,故四边形AMCN不可能是正方形或菱形,只要满足MN=AC,四边形AMCN就可以是矩形(2)分0t8,8t16计算判断即可【小问1详解】(1)如图1,当时,根据题意,得BM=DN=t,四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,OB-BM=OD-DN,OM=ON,四边形是平行四边形,四边形ABCD不可能是菱形或正方形,AC与MN不能垂直,四边形AMCN不可能是正方形或菱形,MN=AC,四边形AMCN就可以是矩形,故选:A【小问2详解】四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,N的运动速度是2个单位每秒,当0t8时,点N在DB上运动,且点M在BO上,BM=t,ND=2t,O

28、M=OB-BM=8-t,ON=OD-ND=8-2t,四边形AMCN是平行四边形,OM=ON,8-t=8-2t,解得t=0;当8t16时,点N在BD上运动,且点M在OD上,OM=BM-OB=t-8,ON=BD-ND=24-2t,四边形AMCN是平行四边形,OM=ON,t-8=24-2t,解得t=;故t=0或t=时,四边形是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,矩形的判定,菱形的判定,正方形判定,熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键29. 小云学习了平行四边形的判定后,想利用平行四边形的判定方法探究下列问题(1)利用平行四边形的判定方法作平行四边形,作法是:如图1,在中,分别以点A,

29、C为圆心,为半径画弧,两弧交于点D,连接,四边形就是平行四边形小云判定四边形平行四边形的依据是_;(2)探究:“四边形中,若,对角线与交于点O,且,四边形是平行四边形吗?”在图2中作出符合条件的图形(尺规作图,保留作图痕迹);结合所作图形,符合条件的四边形_(填写“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形(3)探究:“四边形中,若,对角线与交于点O,且,当与满足什么条件时,四边形一定是平行四边形?”直接写出与满足的条件是: _【29题答案】【答案】(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (2)见解析不一定是 (3)【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定方法即可求解;(2)根据题意作出符

30、合条件的图形即可回答问题;(3)添加的条件只要能证明,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可【小问1详解】在中,分别以点A,C为圆心,为半径画弧,两弧交于点D,四边形是平行四边形,故答案为:两组对边分别相等的四边形是平行四边形【小问2详解】以点为圆心,以线段的长为半径画圆,连接并延长与圆弧的交点即符合条件的点、,如图所示,由作图可知,四边形不是平行四边形,四边形是平行四边形,符合条件的四边形不一定是平行四边形,故答案为:不一定是【小问3详解】与满足的条件是:理由如下:,又, , 在和中, ,又四边形是平行四边形故答案为:【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法,熟练掌握平行四边形的判定方法是

31、解题的关键31. 已知在中,于点E,平分交线段于点F(1)如图1,若,当时,_,_;请直接写出线段、之间的数量关系:_(2)如图2,若且,请写出线段之间的数量关系,并证明【31题答案】【答案】(1);,理由见解析 (2);理由见解析【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质求得,再根据得到,利用30的角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB,可得CD的长,再证明,利用全等三角形的对应边相等即可求得AF的长;延长EA到G,使得AGBE,连接DG,根据四边形ABCD是平行四边形,推出ABCD,ABCD,ADBC,求出DAG90GAD,根据SAS证ABEDAG,推出DGABCD,12,求出AFDGD

32、F,推出DGGFAFAG即可;(2)与(1)证法类似,根据SAS证ABEDGA,推出DGABCD,12,求出GFDGDF,推出DGGFAFAG即可;【小问1详解】四边形是平行四边形, , ,平分,在和中, ,故答案为:;CDAFBE,理由是:延长EA到G,使得AGBE,连接DG,四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ABCD,ADBC,AEBC,AEBAEC90,AEBDAE90,DAG90,在ABE和DGA中 ABEDGA(SAS),DGABCD,12,平行四边形ABCD,AEBC,BADC60G,AEAD,1230,DF平分ADC,3430,AFD60GDF,DGGFAFAG,CDABDG

33、AFBE,即CDAFBE【小问2详解】解:(1)中的结论仍然成立证明:延长EA到G,使得AGBE,连接DG,四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ABCD,ADBC,AEBC于点E,AEBAEC90,AEBDAG90,DAG90,在ABE和DGA中ABEDGA(SAS),12,DGAB,BG,四边形ABCD是平行四边形,BADC,B1ADC290,34,GDF904,GFD903,GDFGFD,GFGDABCD,GFAFAGAFBE,CDAFBE【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,角平分线定义,平行线的性质,平行四边形的性质等知识点的运用,本题综合性比较强,有一定的难度,但主要考查学

34、生的类比推理的思想,主要检查学生能否找出解(1)(2)的解题思路,注意:解题思路的相似之处啊33. 已知正方形,若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上,则称这个等边三角形为正方形的内等边三角形(1)若正方形的边长为10,点E在边上,是正方形的内等边三角形如图1,当点E为边的中点时,线段的长度为_;当点E为边上任意一点时,连接,则线段的最小值是_,线段的取值范围是_(2)和都是正方形的内等边三角形,当的长最大时,画出和(点A,M,N按逆时针方向排序),连接图中与线段相等的所有线段(不添加字母)有_【33题答案】【答案】(1);5,; (2)与线段NP相等的线段有BN,DM【解析】【分析

35、】(1)连接DF,过点E作EGDF,垂足为G,根据等边三角形性质可得AFE=AEF=60,AE=EF,根据中点性质可推导出,由外角性质可得DEF=120,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得,在RtDGE中,解直角三角形即可求解;由题意可得点F在与AD成60的直线AF上移动,则当BFAF时,BF有最小值,当DFAF时,DF有最小值,当点E与点D重合时,DF有最大值,最大值为10,即可求解;(2)根据题意画出图形,分别证明RtADMRtABN,ADMAPN,进而即可求解【小问1详解】如图所示,连接DF,过点E作EGDF,垂足为G,AEF是内等边三角形AFE=AEF=60,AE=EF,点E为边的中

36、点时,又正方形的边长为10,DEF是AEF的外角,DEF=120,EGDF, ,在RtDGE中,故答案为:;AEF是等边三角形,EAF60,点F在与AD成60的直线AF上移动,当BFAF时,BF有最小值,此时,FABDABEAF30,BFAB5,BF的最小值为5,当DFAF时,DF有最小值,此时,ADF30,AFAD5,当点E与点D重合时,DF有最大值,最大值为10,线段DF长的取值范围为,故答案为:5,;【小问2详解】ADP和AMN,如图所示:AMN是等边三角形,AMANMN,MAN60,边AM的长最大,点M在DC上,点N在BC上,四边形ABCD是正方形,ADABCDBC,BCADCDAB90,RtADMRtABN(HL),BN=DM,ADP和AMN是等边三角形,AD=AP,AM=AN,DAP=MAN=60,DAM=PAN,ADMAPN(SAS),DM=PN,NP=DM=BN,即:与线段NP相等的线段有BN,DM【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,正确画出图形

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