1、20222022 年高考数学复习专题（四）年高考数学复习专题（四）第第 1 1 讲讲 空间几何体空间几何体 【要点提炼】 考点一 表面积与体积 1旋转体的侧面积和表面积 (1)S圆柱侧2rl，S圆柱表2r(rl)(r 为底面半径，l 为母线长) (2)S圆锥侧rl，S圆锥表r(rl)(r 为底面半径，l 为母线长) (3)S球表4R2(R 为球的半径) 2空间几何体的体积公式 V柱Sh(S 为底面面积，h 为高)； V锥13Sh(S 为底面面积，h 为高)； V球43R3(R 为球的半径) 【热点突破】 【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆
2、锥底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_ (2)如图， 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长均为 2， 点 D 在棱 AA1上， 则三棱锥 DBB1C1的体积为_ 【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A12 2 B12 C8 2 D10 (2)如图，在 RtABC 中，ABBC1，D 和 E 分别是边 BC 和 AC 上异于端点的点，DEBC，将CDE 沿 DE折起，使点 C 到点 P 的位置，得到四棱锥 PABDE，则四棱锥 PABDE
3、 的体积的最大值为_ 【要点提炼】 考点二 多面体与球 解决多面体与球问题的两种思路 (1)利用构造长方体、正四面体等确定直径 (2)利用球心 O 与截面圆的圆心 O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心 【典例】2 (1)已知三棱锥 PABC 满足平面 PAB平面 ABC，ACBC，AB4，APB30，则该三棱锥的外接球的表面积为_ (2)(2020全国)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 【拓展训练】2 (1)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A36 B
4、64 C144 D256 (2)中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 PA平面 ABCE，四边形 ABCD 为正方形，AD 5，ED 3，若鳖臑 PADE的外接球的体积为 9 2，则阳马 PABCD 的外接球的表面积为_ 专题训练专题训练 一、单项选择题 1.水平放置的ABC 的直观图如图，其中 BOCO1，AO32，那么原ABC 是一个( ) A等边三角形 B直角三角形 C三边中只有两边相等的等腰三角形 D三边互不相等的三角形
5、 2(2020全国)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A.514 B.512 C.514 D.512 3 已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍， 记该圆锥的内切球的表面积为 S1， 外接球的表面积为 S2， 则S1S2等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18 4(2020大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形，高 1.8
6、 米，体积 0.5 立方米，其底部是直径为 0.9 米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔 0.3 米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米，气体每立方米 1 000 元，则气体的费用最少为( ) A4 500 元 B4 000 元 C2 880 元 D2 380 元 5.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，动点 E 在 BB1上，动点 F 在 A1C1上，O 为底面 ABCD 的中心，若 BEx，A1Fy，则三棱锥 OAEF 的体积( ) A与 x，y 都有关 B与 x，y 都无关 C与 x 有关，与 y 无关 D与 y 有关，与 x 无关 6在梯形 ABCD 中，AB
7、C2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.23 B.43 C.53 D2 7(2020全国)已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1为ABC 的外接圆若O1的面积为 4，ABBCACOO1，则球 O 的表面积为( ) A64 B48 C36 D32 8(2020武汉调研)已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的表面上，若 ABAC1，AA12 3，BAC23，则球 O 的体积为( ) A.323 B3 C.43 D8 9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为
8、5 的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( ) A.2 0009 B.4 00027 C81 D128 10已知在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且长度相等若点 P，A，B，C 都在半径为 1 的球面上，则球心到平面 ABC 的距离为( ) A.36 B.12 C.13 D.32 二、多项选择题 11(2020枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边 AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( ) A没有水
9、的部分始终呈棱柱形 B水面 EFGH 所在四边形的面积为定值 C随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D当容器倾斜如图所示时，AEAH 为定值 12. (2020青岛检测)已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中 AB2 2，A1B1 2，AA1BB1CC1DD12，则下列叙述正确的是( ) A该四棱台的高为 3 BAA1CC1 C该四棱台的表面积为 26 D该四棱台外接球的表面积为 16 三、填空题 13(2020浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_ 14.在如图所示的斜截圆柱
10、中，已知圆柱的底面直径为 40 cm，母线长最短 50 cm，最长 80 cm，则斜截圆柱的侧面面积 S_cm2. 15已知球 O 与棱长为 4 的正四面体的各棱相切，则球 O 的体积为_ 16(2020新高考全国)已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD60.以 D1为球心， 5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_ 20222022 年高考数学复习专题（四）年高考数学复习专题（四）第第 1 1 讲讲 空间几何体空间几何体 【要点提炼】 考点一 表面积与体积 1旋转体的侧面积和表面积 (1)S圆柱侧2rl，S圆柱表2r(rl)(r 为底面半径，l 为母线长) (2)
11、S圆锥侧rl，S圆锥表r(rl)(r 为底面半径，l 为母线长) (3)S球表4R2(R 为球的半径) 2空间几何体的体积公式 V柱Sh(S 为底面面积，h 为高)； V锥13Sh(S 为底面面积，h 为高)； V球43R3(R 为球的半径) 【热点突破】 【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_ 【答案】 40 2 【解析】 因为母线 SA 与圆锥底面所成的角为 45， 所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形 设底面圆的半径为 r，则母线长 l 2r. 在SAB 中，cosAS
12、B78，所以 sinASB158. 因为SAB 的面积为 5 15，即12SASBsinASB 12 2r 2r1585 15， 所以 r240， 故圆锥的侧面积为rl 2r240 2. (2)如图， 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长均为 2， 点 D 在棱 AA1上， 则三棱锥 DBB1C1的体积为_ 【答案】 2 33 【解析】 如图，取 BC 的中点 O， 连接 AO. 正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长均为 2， AC2，OC1，则 AO 3. AA1平面 BCC1B1， 点 D 到平面 BCC1B1的距离为 3. 又1 1BB CS12222， 1 1D BB CV132
13、32 33. 易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算) (2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解 (3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值 【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A12 2 B12 C8 2 D10 【答案】 B 【解析】 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，由题意可知 2rh2 2，圆柱的表面积 S2r22rh4812.故选 B. (2)如图，在 RtABC 中，ABBC1，D 和 E 分别
14、是边 BC 和 AC 上异于端点的点，DEBC，将CDE 沿 DE折起，使点 C 到点 P 的位置，得到四棱锥 PABDE，则四棱锥 PABDE 的体积的最大值为_ 【答案】 327 【解析】 设 CDDEx(0 x0；当 x33，1 时，V0. 当 x33时，Vmax327. 【要点提炼】 考点二 多面体与球 解决多面体与球问题的两种思路 (1)利用构造长方体、正四面体等确定直径 (2)利用球心 O 与截面圆的圆心 O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心 【典例】2 (1)已知三棱锥 PABC 满足平面 PAB平面 ABC，ACBC，AB4，APB30，则该三棱锥的外接球的表面积为_ 【答案】
15、 64 【解析】 因为 ACBC，所以ABC 的外心为斜边 AB 的中点， 因为平面 PAB平面 ABC，所以三棱锥 PABC 的外接球球心在平面 PAB 上， 即球心就是PAB 的外心， 根据正弦定理ABsinAPB2R，解得 R4， 所以外接球的表面积为 4R264. (2)(2020全国)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 【答案】 23 【解析】 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为 r.作出圆锥的轴截面 PAB，如图所示，则PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆在PAB 中，PAPB3，D 为 AB 的中点，AB2，E 为切点，则 PD2
16、 2，PEOPDB， 故POPBOEDB，即2 2r3r1，解得 r22， 故内切球的体积为4322323. 规律方法 (1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长 (2)三棱锥 SABC 的外接球球心 O 的确定方法： 先找到ABC 的外心 O1， 然后找到过 O1的平面 ABC 的垂线 l，在 l 上找点 O，使 OSOA，点 O 即为三棱锥 SABC 的外接球的球心 (3)多面体的内切球可利用等积法求半径 【拓展训练】2 (1)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A36 B64 C14
17、4 D256 【答案】 C 【解析】 如图所示，设球 O 的半径为 R， 因为AOB90， 所以 SAOB12R2， 因为 VOABCVCAOB， 而AOB 的面积为定值， 当点 C 位于垂直于平面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大， 此时 VOABCVCAOB1312R2R16R336， 故 R6， 则球 O 的表面积为 S4R2144. (2)中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 PA平面 ABCE，四边形
18、 ABCD 为正方形，AD 5，ED 3，若鳖臑 PADE的外接球的体积为 9 2，则阳马 PABCD 的外接球的表面积为_ 【答案】 20 【解析】 四边形 ABCD 是正方形， ADCD，即 ADCE，且 AD 5，ED 3， ADE 的外接圆半径为 r1AE2AD2ED22 2， 设鳖臑 PADE 的外接球的半径为 R1， 则43R319 2，解得 R13 22. PA平面 ADE，R1PA22r21， 可得PA2 R21r21102，PA 10. 正方形 ABCD 的外接圆直径为 2r2AC 2AD 10， r2102， PA平面 ABCD， 阳马 PABCD 的外接球半径 R2PA2
19、2r22 5， 阳马 PABCD 的外接球的表面积为 4R2220. 专题训练专题训练 一、单项选择题 1.水平放置的ABC 的直观图如图，其中 BOCO1，AO32，那么原ABC 是一个( ) A等边三角形 B直角三角形 C三边中只有两边相等的等腰三角形 D三边互不相等的三角形 【答案】 A 【解析】 AO2AO232 3，BCBOCO112.在 RtAOB 中，AB12322，同理 AC2，所以原ABC 是等边三角形 2(2020全国)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与
20、底面正方形的边长的比值为( ) A.514 B.512 C.514 D.512 【答案】 C 【解析】 设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高为 h， 侧面三角形底边上的高(斜高)为 h， 则由已知得 h212ah. 如图，设 O 为正四棱锥 SABCD 底面的中心，E 为 BC 的中点， 则在 RtSOE 中，h2h2a22， h212ah14a2， ha212ha140， 解得ha514(负值舍去) 3 已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍， 记该圆锥的内切球的表面积为 S1， 外接球的表面积为 S2， 则S1S2等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18 【答案】 C 【解析】
21、 如图， 由已知圆锥侧面积是底面积的 2 倍，不妨设底面圆半径为 r，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12lR2r2， 即122rR2r2， 解得 R2r， 故ADC30，则DEF 为等边三角形， 设 B 为DEF 的重心，过 B 作 BCDF， 则 DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径， 则BCBD12，r内r外12，故S1S214. 4(2020大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形，高 1.8 米，体积 0.5 立方米，其底部是直径为 0.9 米的圆形，要求文
22、物底部与玻璃罩底边至少间隔 0.3 米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米，气体每立方米 1 000 元，则气体的费用最少为( ) A4 500 元 B4 000 元 C2 880 元 D2 380 元 【答案】 B 【解析】 因为文物底部是直径为 0.9 米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔 0.3 米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为 0.920.31.5 米，又文物高 1.8 米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2(米)，所以正四棱柱的高为 1.80.22(米)，则正四棱柱的体积 V1.5224.5(立方米) 因为文物的体积为 0.5 立方米， 所以罩内空
23、气的体积为 4.50.54(立方米)， 因为气体每立方米 1 000元，所以气体的费用最少为 41 0004 000(元)，故选 B. 5.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，动点 E 在 BB1上，动点 F 在 A1C1上，O 为底面 ABCD 的中心，若 BEx，A1Fy，则三棱锥 OAEF 的体积( ) A与 x，y 都有关 B与 x，y 都无关 C与 x 有关，与 y 无关 D与 y 有关，与 x 无关 【答案】 B 【解析】 由已知得 V三棱锥 OAEFV三棱锥 EOAF13SAOFh(h 为点 E 到平面 AOF 的距离)连接 OC，因为 BB1平面 ACC1A1，所以
24、点 E 到平面 AOF 的距离为定值又 AOA1C1，OA 为定值，点 F 到直线 AO 的距离也为定值，所以AOF 的面积是定值，所以三棱锥 OAEF 的体积与 x，y 都无关 6在梯形 ABCD 中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.23 B.43 C.53 D2 【答案】 C 【解析】 如图，过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径， 线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径
25、， ED 为高的圆锥，该几何体的体积为 VV圆柱V圆锥AB2BC13CE2DE1221312153. 7(2020全国)已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1为ABC 的外接圆若O1的面积为 4，ABBCACOO1，则球 O 的表面积为( ) A64 B48 C36 D32 【答案】 A 【解析】 如图，设圆 O1的半径为 r，球的半径为 R， 正三角形 ABC 的边长为 a. 由r24，得 r2， 则33a2，a2 3， OO1a2 3. 在 RtOO1A 中，由勾股定理得 R2r2OO2122(2 3)216， 所以 S球4R241664. 8(2020武汉调研)已知直三棱柱
26、ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的表面上，若 ABAC1，AA12 3，BAC23，则球 O 的体积为( ) A.323 B3 C.43 D8 【答案】 A 【解析】 设ABC 外接圆圆心为 O1，半径为 r，连接 O1O，如图，易得 O1O平面 ABC， ABAC1，AA12 3，BAC23， 2rABsinACB1122， 即 O1A1，O1O12AA1 3， OA O1O2O1A2 312， 球 O 的体积 V43OA3323.故选 A. 9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为 5 的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下
27、底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( ) A.2 0009 B.4 00027 C81 D128 【答案】 B 【解析】 小圆柱的高分为上、 下两部分， 上部分的高同大圆柱的高相等， 为 5， 下部分深入底部半球内 设小圆柱下部分的高为 h(0h5)，底面半径为 r(0r5)由于 r，h 和球的半径构成直角三角形，即 r2h252， 所以小圆柱的体积 Vr2(h5)(25h2)(h5)(0h5)， 把 V 看成是关于 h 的函数， 求导得 V(3h5)(h5) 当 0h0， V 单调递增；当53h5 时，V0，V 单调递减 所以当 h53时，小圆柱的体积取得最大值即 Vmax2
28、5259535 4 00027，故选 B. 10已知在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且长度相等若点 P，A，B，C 都在半径为 1 的球面上，则球心到平面 ABC 的距离为( ) A.36 B.12 C.13 D.32 【答案】 C 【解析】 在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且长度相等， 此三棱锥的外接球即以 PA，PB，PC 为三边的正方体的外接球 O， 球 O 的半径为 1， 正方体的边长为2 33，即 PAPBPC2 33， 球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离， 设 P 到截面 ABC 的距离为 h，则正三棱锥 PABC
29、的体积 V13SABCh13 SPABPC13 122 333， ABC 为边长为2 63的正三角形， SABC2 33，h23， 球心(即正方体中心)O 到截面 ABC 的距离为13. 二、多项选择题 11(2020枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边 AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( ) A没有水的部分始终呈棱柱形 B水面 EFGH 所在四边形的面积为定值 C随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D当容器倾斜如图所示时，AEAH 为定值 【答案】 AD 【解析】 由于 AB
30、固定，所以在倾斜的过程中，始终有 CDHGEFAB，且平面 AEHD平面 BFGC，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且 AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故 A 正确；因为水面 EFGH 所在四边形，从图，图可以看出，EF，GH 长度不变，而 EH，FG 的长度随倾斜度变化而变化，所以水面 EFGH 所在四边形的面积是变化的，故 B 错；假设 A1C1与水面所在的平面始终平行，又A1B1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面 A1B1C1D1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故 C 错；水量不变时，棱柱 AEHBFG 的体积是定值，又该棱柱
31、的高 AB 不变，且 VAEHBFG12AEAHAB，所以 AEAH2VAEHBFGAB，即 AEAH 是定值，故 D 正确 12. (2020青岛检测)已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上、下底面均为正方形，其中 AB2 2，A1B1 2，AA1BB1CC1DD12，则下列叙述正确的是( ) A该四棱台的高为 3 BAA1CC1 C该四棱台的表面积为 26 D该四棱台外接球的表面积为 16 【答案】 AD 【解析】 将四棱台补为如图所示的四棱锥 PABCD，并取 E，E1分别为 BC，B1C1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为 O1，O，连接 AC，BD，A1C1，B1D1，A1O，O
32、E，OP，PE.由条件知 A1，B1，C1，D1分别为四棱锥的侧棱 PA，PB，PC，PD 的中点，则 PA2AA14，OA2，所以 OO112PO12PA2OA2 3，故该四棱台的高为 3， 故 A 正确； 由 PAPC4， AC4， 得PAC 为正三角形， 则 AA1与 CC1所成角为 60， 故 B 不正确；四棱台的斜高 h12PE12PO2OE2122 3222142，所以该四棱台的表面积为(2 2)2( 2)2422 22142106 7，故 C 不正确；易知 OA1OB1OC1OD1 O1A21O1O22OAOBOCOD，所以 O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为 2，外接
33、球表面积为 42216，故 D正确 三、填空题 13(2020浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_ 【答案】 1 【解析】 如图，设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r， 则圆锥的侧面积 S侧rl2， 即 rl2. 由于侧面展开图为半圆， 可知12l22， 可得 l2，因此 r1. 14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为 40 cm，母线长最短 50 cm，最长 80 cm，则斜截圆柱的侧面面积 S_cm2. 【答案】 2 600 【解析】 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形由题
34、意得所求侧面展开图的面积 S12(40)(5080)2 600(cm2) 15已知球 O 与棱长为 4 的正四面体的各棱相切，则球 O 的体积为_ 【答案】 8 23 【解析】 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为 4，所以正方体的棱长为 2 2.因为球 O 与正四面体的各棱都相切，所以球 O 为正方体的内切球，即球 O 的直径 2R2 2，则球 O 的体积 V43R38 23. 16(2020新高考全国)已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD60.以 D1为球心， 5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_ 【答案】 22
35、【解析】 如图，设 B1C1的中点为 E， 球面与棱 BB1，CC1的交点分别为 P，Q， 连接 DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ， 由BAD60，ABAD，知ABD 为等边三角形， D1B1DB2， D1B1C1为等边三角形， 则 D1E 3且 D1E平面 BCC1B1， E 为球面截侧面 BCC1B1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为 r， 则 r R2球D1E2 53 2. 又由题意可得 EPEQ 2， 球面与侧面 BCC1B1的交线为以 E 为圆心的圆弧 PQ. 又 D1P 5， B1P D1P2D1B211， 同理 C1Q1， P，Q 分别为 BB1，CC1的中点， PEQ2， 知PQ的长为2 222，即交线长为22.
