1、20222022 年年高高考数学复习专题（一）考数学复习专题（一）第第 1 1 讲讲：函数的图象与性质函数的图象与性质 【要点提炼】【要点提炼】 考点一考点一 函数的概念与表示函数的概念与表示 1复合函数的定义域 (1)若 f(x)的定义域为m，n，则在 f(g(x)中，mg(x)n，从中解得 x 的范围即为 f(g(x)的定义域 (2)若 f(g(x)的定义域为m，n，则由 mxn 确定的 g(x)的范围即为 f(x)的定义域 2分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集 【热点突破】【热点突破】 【典例 1】 (1)若函数 f(x)log2(x1) 2
2、x，则函数 f x2的定义域为( ) A(1,2 B(2,4 C1,2) D2,4) (2)设函数 f(x) 2x1，x0，4x，x0，则满足 f(x)f(x1)2 的 x 的取值范围是_ 【拓展练习】(1)已知实数 a0，函数 f(x) x22a，x0 B减函数且 f(x)0 D增函数且 f(x)0，若不等式|f(x)|mx2 恒成立，则实数 m 的取值范围为( ) A32 2，32 2 B0,32 2 C(32 2，32 2) D0,32 2 【拓展练习 3】 (1)(2020天津市大港第一中学模拟)函数 y2|x|sin 2x 的图象可能是( ) (2)已知函数 f(x) x2x，x0，
3、lnx1x0，若存在 x0R R 使得 f(x0)ax01， 则实数a 的取值范围是( ) A(0，) B3,0 C(，33，) D(，3(0，) 专题突破专题突破 一、单项选择题 1函数 yx22x3lgx1的定义域为( ) A(1,3 B(1,0)(0,3 C1,3 D1,0)(0,3 2设函数 f(x) log21xx1，若 f(1)是 f(x)的最小值，则实数 a 的取值范围是( ) A1,2) B1,0 C1,2 D1，) 5(2020抚顺模拟)定义在 R R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，当 x1,0时，f(x)x2，则( ) Af sin 6f cos 6 Bf(
4、sin 3)f(cos 3) Cf sin 43f(2 019) 6ab 时，aba；当 ab 时，abb2.则函数 f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值为( ) A1 B1 C6 D12 7(2020全国)设函数 f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则 f(x)( ) A是偶函数，且在12， 单调递增 B是奇函数，且在12，12单调递减 C是偶函数，且在，12单调递增 D是奇函数，且在，12单调递减 8 已知函数 f(x)(xR R)满足 f(x)f(2x)， 若函数 y|x22x3|与 yf(x)图象的交点为(x1， y1)， (x2，y2)，(xm，ym)，则i等于( ) A0
5、 Bm C2m D4m 二、多项选择题 9若函数 f(x)，g(x)分别是定义在 R R 上的偶函数、奇函数，且满足 f(x)2g(x)ex，则( ) Af(x)exex2 Bg(x)exex2 Cf(2)g(1) Dg(1)f(3) 10(2020福州质检)已知函数 f(x) x232x，x0，x232x，x0，则( ) Af(x)是偶函数 Bf(x)在0，)上单调递增 Cf(x)在(，0)上单调递增 D若 f 1af(1)，则1a1 11符号x表示不超过 x 的最大整数，如3.143，1.62，定义函数 f(x)xx，则下列命题正确的是( ) Af(0.8)0.2 B当 1x2 时，f(x
6、)x1 C函数 f(x)的定义域为 R R，值域为0,1) D函数 f(x)是增函数、奇函数 12已知函数 f(x)的定义域为 R R，且 f(x1)是偶函数，f(x1)是奇函数，则下列说法正确的是( ) Af(7)0 Bf(x)的一个周期为 8 Cf(x)图象的一个对称中心为(3,0) Df(x)图象的一条对称轴为直线 x2 019 三、填空题 13(2020江苏)已知 yf(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)23x，则 f(8)的值是_ 14已知定义在 R R 上的函数 f(x)满足 f(x2)1fx，当 x(0,2时，f(x)2x1，则 f(2 020)f(2 021)的值为_ 15对
7、于函数 yf(x)，若存在 x0使 f(x0)f(x0)0，则称点(x0，f(x0)是曲线 f(x)的“优美点” 已知 f(x) x22x，x0，则满足 f(x)f(x1)2 的 x 的取值范围是_ 【答案】 12， 【解析】 函数 f(x) 2x1，x0，4x，x0， 当 x0 时，x11，f(x)f(x1)2x12(x1)14x2，无解； 当 x0，x10，即 00，即 x1 时，f(x)f(x1)4x4x12，得 x1. 综上，x 的取值范围是12， . 【方法总结】 (1)形如 f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则 (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地
8、找出利用哪一段求解 【拓展练习】(1)已知实数 a0，函数 f(x) x22a，x1，x，x1，若 f(1a)f(1a)，则实数 a 的取值范围是( ) A(，2 B2，1 C1,0) D(，0) 【答案】 B 【解析】 当 a1 且 1a0，故 C 不是“H 函数” ；D 中，yx22x(x1)211，其值域不关于原点对称，故 D 不是“H函数” 综上所述，A，B 是“H 函数” 【要点提炼】 考点二考点二 函数的性质函数的性质 1函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数 f(x)f(x)f(|x|)； f(x)是奇函数 f(x)f(x) (2)判断方法
9、：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数奇函数是偶函数) 2函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法 3函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数 f(x)满足关系式 f(ax)2bf(ax)，则函数 yf(x)的图象关于点(a，b)对称 (2)若函数 f(x)满足关系式 f(ax)f(bx)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xab2对称 【热点突破】【热点突破】 考向考向 1 1 单调性与奇偶性单调性与奇偶性 【典例 2】 (1)(2020新高考全国)若定义在 R R 上的奇函数 f(x)在(，0)上单调递减，且 f(2)0，则满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是( ) A1,13
10、，) B3，10,1 C1,01，) D1,01,3 【答案】 D 【解析】 因为函数 f(x)为定义在 R R 上的奇函数， 则 f(0)0. 又 f(x)在(，0)上单调递减，且 f(2)0， 画出函数 f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数 f(x1)的大致图象如图(2)所示 当 x0 时，要满足 xf(x1)0，则 f(x1)0， 得1x0. 当 x0 时，要满足 xf(x1)0，则 f(x1)0， 得 1x3. 故满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是1,01,3 (2)设函数 f(x)cos2xxe2x2e2的最大值为 M，最小值为 N，则(MN1)2 021的值为_ 【答
11、案】 1 【解析】 由已知 xR R，f(x)cos2xxe2x2e2 sin xx2e22exx2e2sin x2exx2e21， 令 g(x)sin x2exx2e2，易知 g(x)为奇函数， 由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为 0， MNf(x)maxf(x)ming(x)max1g(x)min12，(MN1)2 0211. 考向考向 2 2 奇偶性与周期性奇偶性与周期性 【典例 3】(1)定义在 R R 上的奇函数 f(x)满足 f x32f(x)，当 x0，12时，f(x)12log1x，则f(x)在区间1，32内是( ) A减函数且 f(x)0 B减函数且 f(x)0 D
12、增函数且 f(x)0，又函数 f(x)为奇函数，所以在区间12，0 上函数也单调递增，且 f(x)0.由 f x32f(x)知，函数的周期为32，所以在区间1，32上，函数单调递增且 f(x)0，1ex1ex0，则 f(x)0，ex1ex10，则 f(x)0，符合题意 考向 2 函数图象的变换及应用 【典例 5】 (1)若函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x1)的图象大致为( ) 【答案】 C 【解析】 要想由 yf(x)的图象得到 yf(x1)的图象，需要先将 yf(x)的图象关于 x 轴对称得到 yf(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到 yf(x1)的图象，根据上述步骤
13、可知 C 正确 (2)已知函数 f(x) 2x1，x0，x23x，x0，若不等式|f(x)|mx2 恒成立，则实数 m 的取值范围为( ) A32 2，32 2 B0,32 2 C(32 2，32 2) D0,32 2 【答案】 D 【解析】 由函数的【解析】式易知 f(x)0 恒成立，则|f(x)| 2x1，x0，x23x，x0，不等式|f(x)|mx2 恒成立，等价于函数 y|f(x)|的图象在函数 ymx2 图象的上方恒成立 作出函数 y|f(x)|的图象，如图所示，函数 ymx2 的图象是过定点(0，2)的直线，由图可知，当 m0 时，考虑直线 ymx2 与曲线 yx23x(x0)相切
14、的情况 由 ymx2，yx23x，得 x2(3m)x20， 令(3m)28m26m10， 解得 m32 2或 m32 2， 结合图形可知 0m32 2. 综上，m 的取值范围是0,32 2 【方法总结】 (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象 (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察 【拓展练习 3】 (1)(2020天津市大港第一中学模拟)函数 y2|x
15、|sin 2x 的图象可能是( ) 【答案】 D 【解析】 令 f(x)2|x|sin 2x， 因为 xR R，f(x)2|x|sin 2(x)2|x|sin 2xf(x)， 所以 f(x)2|x|sin 2x 为奇函数，排除选项 A，B； 因为当 x2， 时，f(x)0，若存在 x0R R 使得 f(x0)ax01， 则实数a 的取值范围是( ) A(0，) B3,0 C(，33，) D(，3(0，) 【答案】 D 【解析】 根据题意，函数 f(x) x2x，x0，lnx1x0的图象如图， 直线 yax1 恒过定点(0，1)， 若存在 x0R R 使得 f(x0)ax01， 则函数 f(x)
16、的图象在直线 yax1 下方有图象或与直线有交点， 当 a0 时，f(x)的图象恒在 yax1 图象的上方，不符合题意； 当 a0 时，直线 yax1 经过第一、三、四象限，与函数 f(x)的图象必有交点，符合题意； 当 a0，x11， 解得 x(1,0)(0,3 2设函数 f(x) log21xx0 时，f(x)4x23x，当 x时，f(x)0，排除 C.因为 f(2)422321692，所以 D不符合题意 4设函数 f(x) 2|xa|，x1，x1，x1，若 f(1)是 f(x)的最小值，则实数 a 的取值范围是( ) A1,2) B1,0 C1,2 D1，) 【答案】 C 【解析】 f(
17、x) 2|xa|，x1，x1，x1， 若 x1，则 f(x)x12， 易知 f(x)2|xa|在(a，)上单调递增，在(，a)上单调递减 若 af cos 6 Bf(sin 3)f(cos 3) Cf sin 43f(2 019) 【答案】 B 【解析】 由 f(x2)f(x)，得 f(x)是周期函数且周期为 2，根据 f(x)在 x1,0上的图象和 f(x)是偶函数可得 f(x)在0,1上是增函数 对于 A,0sin 6cos 61， f sin 6f cos 6， A 错误； 对于 B,0sin 3cos 31， f(sin 3)f(cos 3)f(cos 3)，B 正确； 对于 C,0c
18、os 43sin 431， f cos 43f sin 43，C 错误； 对于 D，f(2 020)f(0)f(2 019)f(1)，D 错误 6ab 时，aba；当 ab 时，abb2.则函数 f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值为( ) A1 B1 C6 D12 【答案】 C 【解析】 当2x1 时，f(x)x2； 当 1x2 时，f(x)x32. 又yx2，yx32 在 R R 上都为增函数，且 f(x)在 x1 处连续， f(x)的最大值为 f(2)2326. 7(2020全国)设函数 f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则 f(x)( ) A是偶函数，且在12， 单调递增
19、B是奇函数，且在12，12单调递减 C是偶函数，且在，12单调递增 D是奇函数，且在，12单调递减 【答案】 D 【解析】 f(x)ln|2x1|ln|2x1|的定义域为x x12. 又 f(x)ln|2x1|ln|2x1| ln|2x1|ln|2x1| f(x)， f(x)为奇函数，故排除 A，C. 当 x，12时， f(x)ln(2x1)ln(12x)ln2x112x ln2x12x1ln122x1， y122x1在，12上单调递减， 由复合函数的单调性可得 f(x)在，12上单调递减 8 已知函数 f(x)(xR R)满足 f(x)f(2x)， 若函数 y|x22x3|与 yf(x)图象
20、的交点为(x1， y1)， (x2，y2)，(xm，ym)，则i等于( ) A0 Bm C2m D4m 【答案】 B 【解析】 由题意可知 f(x)的图象关于直线 x1 对称，而 y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线 x1 对称，所以两个图象的交点关于直线 x1 对称，且每对关于直线 x1 对称的交点的横坐标之和为2，所im. 二、多项选择题 9若函数 f(x)，g(x)分别是定义在 R R 上的偶函数、奇函数，且满足 f(x)2g(x)ex，则( ) Af(x)exex2 Bg(x)exex2 Cf(2)g(1) Dg(1)f(3) 【答案】 AD 【解析】 因为函数 f(x)，g
21、(x)分别是定义在 R R 上的偶函数、奇函数，且满足 f(x)2g(x)ex， 所以 f(x)2g(x)ex， 即 f(x)2g(x)ex， 联立得 fx2gxex，fx2gxex， 解得 fxexex2，gxexex4， 所以 f(2)e2e22，f(3)e3e32， g(1)e1e40， 所以 g(1)f(2)，g(1)f(3) 10(2020福州质检)已知函数 f(x) x232x，x0，x232x，x0，则( ) Af(x)是偶函数 Bf(x)在0，)上单调递增 Cf(x)在(，0)上单调递增 D若 f 1af(1)，则1a1 【答案】 ABD 【解析】 由题可知 f(x)f(x)，
22、所以函数 f(x)是偶函数，故 A 正确；由 yx232xx342916，知 yx232x 在0，)上单调递增，由 yx232xx342916，知 yx232x 在(，0)上单调递减，故B 正确，C 错误；若 f 1af(1)，则有 f 1af(1)，结合函数 f(x)的单调性可得1a1，所以|a|1，解得1a1，故 D 正确 11符号x表示不超过 x 的最大整数，如3.143，1.62，定义函数 f(x)xx，则下列命题正确的是( ) Af(0.8)0.2 B当 1x2 时，f(x)x1 C函数 f(x)的定义域为 R R，值域为0,1) D函数 f(x)是增函数、奇函数 【答案】 ABC
23、【解析】 由 f(x)xx，得 f(0.8)0.810.2，故 A 正确；当 1x2 时，f(x)xxx1，故 B 正确；函数 f(x)的定义域为 R R，值域为0,1)，故 C 正确；当 0 x1 时，f(x)xxx，当 1x2 时，f(x)x1，当 x0.5 时，f(0.5)0.5，当 x1.5 时，f(1.5)0.5，则 f(0.5)f(1.5)，即 f(x)不为增函数，由 f(1.5)0.5，f(1.5)0.5，可得 f(1.5)f(1.5)，即 f(x)不为奇函数，故 D不正确 12已知函数 f(x)的定义域为 R R，且 f(x1)是偶函数，f(x1)是奇函数，则下列说法正确的是(
24、 ) Af(7)0 Bf(x)的一个周期为 8 Cf(x)图象的一个对称中心为(3,0) Df(x)图象的一条对称轴为直线 x2 019 【答案】 ABC 【解析】 依题意知， 直线 x1 是 f(x)图象的一条对称轴， (1,0)是 f(x)图象的一个对称点 又因为 f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以 f(x1)f(x2)1)f(x3)，则 f(x3)f(x1)，令 tx，则 f(t3)f(t1)，故 f(t4)f(t)，则 f(t8)f(t4)f(t)，所以 f(x)是周期函数，且 8 为函数 f(x)的一个周期，故 B 正确；f(7)f(1)0，故 A 正确；因为 f(x)
25、图象上每隔 4 个单位长度出现一个对称中心，所以点(3,0)是函数 f(x)图象的一个对称中心，故 C 正确；x2 01982523，所以直线 x2 019 不是函数 f(x)图象的对称轴，故 D 错误 三、填空题 13(2020江苏)已知 yf(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)23x，则 f(8)的值是_ 【答案】 4 14已知定义在 R R 上的函数 f(x)满足 f(x2)1fx，当 x(0,2时，f(x)2x1，则 f(2 020)f(2 021)的值为_ 【答案】 145 【解析】 f(x2)1fx， f(x4)1fx2f(x)， 函数 f(x)的周期为 T4. 又当 x(0,2
26、时，f(x)2x1， f(1)3，f(2)5，f(4)1f215， f(2 020)f(2 021)f(4)f(1)153145. 15对于函数 yf(x)，若存在 x0使 f(x0)f(x0)0，则称点(x0，f(x0)是曲线 f(x)的“优美点” 已知 f(x) x22x，x0，kx2，x0，若曲线 f(x)存在“优美点” ，则实数 k 的取值范围是_ 【答案】 (，22 2 【解析】 当 x0)， 由题意得， yx22x(x0)与 ykx2 有交点， 即x22xkx2(x0)有解， kx2x2(x0)有解， 又x2x22 22，当且仅当 x 2时等号成立，k22 2. 16(2020全国)关于函数 f(x)sin x1sin x有如下四个命题： f(x)的图象关于 y 轴对称； f(x)的图象关于原点对称； f(x)的图象关于直线 x2对称； f(x)的最小值为 2. 其中所有真命题的序号是_ 【答案】 【解析】 f(x)sin x1sin x的定义域为x|xk，kZ Z，f(x)sin(x)1sinxsin x1sin xf(x)， f(x)为奇函数，关于原点对称，故错误，正确 f 2x cos x1cos x， f 2x cos x1cos x， f 2x f 2x ， f(x)的图象关于直线 x2对称，故正确 当 x2，0 时，f(x)0，故错误
