1、20222022 年年高高考数学复习专题（一）考数学复习专题（一）第第 3 3 讲讲 不等式不等式 【要点提炼】【要点提炼】 考点一考点一 不等式的性质与解法不等式的性质与解法 1不等式的倒数性质 (1)ab，ab01a1b. (2)a0b1ab0,0cbd. 2不等式恒成立问题的解题方法 (1)f(x)a 对一切 xI 恒成立 f(x)mina，xI；f(x)a 对一切 xI 恒成立 f(x)maxg(x)对一切 xI 恒成立 当 xI 时，f(x)的图象在 g(x)的图象的上方 (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法 【热点突破】【热点突破】 【典例】1 (1)若 p1,0mn1 B.p
2、mpnmn Cmplognp (2)(2020北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于 x 的不等式 axb0 的解集是2，)，则关于 x 的不等式 ax2(3ab)x3b0 的解集是( ) A(，3)(2，) B(3,2) C(，2)(3，) D(2,3) 【拓展训练】1 (1)已知函数 f(x) 3，x0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( ) A若 a，bR R，则baab2baab2 B若 a0，y0，x2y5，则x12y1xy的最小值为_ 【拓展训练】2 (1)(2020北京市中国人民大学附属中学模拟)已知 a0，b
3、0，且 ab1，则 2a1b的最小值为_ (2)(2020江苏)已知 5x2y2y41(x，yR R)，则 x2y2的最小值是_ 专题训练专题训练 一、单项选择题 1不等式(x3)(x1)0 的解集是( ) Ax|1x3 Bx|1x3 Cx|x3 Dx|x3 2下列命题中正确的是( ) A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab，cbd C若 ab，cd，则 acbd D若 ab0，ab，则1a1b 3(2020北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为x|x3，则f(10 x)0 的解集为( ) Ax|xlg 3 Bx|2xlg 3 Dx|xb0，且 ab1，则下
4、列不等式成立的是( ) Aa1bb2alog2(ab) B.b2alog2(ab)a1b Ca1blog2(ab)b2a Dlog2(ab)a1bb2a 5(2018全国)设 alog0.20.3，blog20.3，则( ) Aabab0 Babab0 Cab0ab Dab00，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是( ) A3 B4 C.92 D.112 7已知 a1，b2，(a1)(b2)16，则 ab 的最小值是( ) A4 B5 C6 D7 8已知正实数 a，b，c 满足 a22ab9b2c0，则当abc取得最大值时，3a1b12c的最大值为( ) A3 B.94 C1 D0 二
5、、多项选择题 9 设 f(x)ln x,0ab， 若 pf( ab)， qf ab2， r12f(a)f(b)， 则下列关系式中正确的是( ) Aqr Bpq 10 已知 aZ Z， 关于 x 的一元二次不等式 x26xa0 的解集中有且仅有 3 个整数， 则 a 的值可以是( ) A6 B7 C8 D9 11(2020威海模拟)若 a，b 为正实数，则 ab 的充要条件为( ) A.1a1b Bln aln b Caln abln b Dab0，b0，且 ab1，则( ) Aa2b212 B2ab12 Clog2alog2b2 D. a b 2 三、填空题 13 对于 0a1， 给出下列四个
6、不等式： loga(1a)loga11a； a1aa11a.其中正确的是_(填序号) 14当 x(0，)时，关于 x 的不等式 mx2(m1)xm0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 15已知函数 f(x)x32xex1ex，其中 e 是自然对数的底数，若 f(a1)f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是_ 16已知实数 x，y 满足 x1，y0 且 x4y1x11y11，则1x11y的最大值为_ 20222022 年年高高考数学复习专题（一）考数学复习专题（一）第第 3 3 讲讲 不等式不等式 【要点提炼】【要点提炼】 考点一考点一 不等式的性质与解法不等式的性质与解法 1不等式的倒数性
7、质 (1)ab，ab01a1b. (2)a0b1ab0,0cbd. 2不等式恒成立问题的解题方法 (1)f(x)a 对一切 xI 恒成立f(x)mina，xI；f(x)a 对一切 xI 恒成立f(x)maxg(x)对一切 xI 恒成立当 xI 时，f(x)的图象在 g(x)的图象的上方 (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法 【热点突破】【热点突破】 【典例】1 (1)若 p1,0mn1 B.pmpnmn Cmplognp 【答案】 D 【解析】 方法一 设 m14，n12，p2，逐个代入可知 D 正确 方法二 对于选项 A，因为 0mn1，所以 0mn1，所以 0mnp0，所以pmpnmn
8、，故 B 不正确；对于选项 C，由于函数 yxp在(0，)上为减函数，且 0mnnp，故 C 不正确；对于选项 D，结合对数函数的图象可得，当 p1,0mnlognp，故 D 正确 (2)(2020北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于 x 的不等式 axb0 的解集是2，)，则关于 x 的不等式 ax2(3ab)x3b0 的解集是( ) A(，3)(2，) B(3,2) C(，2)(3，) D(2,3) 【答案】 A 【解析】 由关于 x 的不等式 axb0 的解集是2，)，得 b2a 且 a0， 则关于 x 的不等式 ax2(3ab)x3b0， 即(x3)(x2)0，解得 x2， 所以不
9、等式的解集为(，3)(2，) 易错提醒 求解含参不等式 ax2bxc0 恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略 a0 时的情况 (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解 (3)不考虑 a 的符号 【拓展训练】1 (1)已知函数 f(x) 3，x12，1x，x12，则不等式 x2f(x)x20 的解集是_ 【答案】 x|1x1 【解析】 由 x2f(x)x20，得 x12，3x2x20或 x12，x21xx20， 即 x12，1x23或 x12，x1， 1x12或12x1， 原不等式的解集为x|1x1 (2)若不等式(a24)x2(a2)x10 的解集是空集，则实数 a 的
10、取值范围是( ) A.2，65 B.2，65 C.2，65 D.2，652 【答案】 B 【解析】 当 a240 时，解得 a2 或 a2， 当 a2 时，不等式可化为 4x10，解集不是空集，不符合题意；当 a2 时，不等式可化为10，此式不成立，解集为空集 当 a240 时，要使不等式的解集为空集， 则有 a240，a224a240，解得2a0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( ) A若 a，bR R，则baab2baab2 B若 a0，则 a4a2a4a4 C若 a，b(0，)，则 lg alg b2 lg alg
11、b D若 aR R，则 2a2a2 2a2a2 【答案】 D 【解析】 由于ba，ab的符号不确定，故选项 A 错误；a0,2a0，2a2a2 2a2a2(当且仅当 a0 时，等号成立)，故选项 D 正确 (2)(2019天津)设 x0，y0，x2y5，则x12y1xy的最小值为_ 【答案】 4 3 【解析】 x12y1xy2xy2yx1xy2xy6xy2 xy6xy .由 x2y5 得 52 2xy， 即 xy5 24，即 xy258，当且仅当 x2y52时等号成立所以 2 xy6xy22 xy6xy4 3，当且仅当2 xy6xy， 即 xy3 时取等号， 结合 xy258可知， xy 可以
12、取到 3， 故x12y1xy的最小值为 4 3. 易错提醒 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提： “一正” “二定” “三相等” 所谓“一正”是指“正数” ； “二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值； “三相等”是指满足等号成立的条件若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到 【拓展训练】2 (1)(2020北京市中国人民大学附属中学模拟)已知 a0，b0，且 ab1，则 2a1b的最小值为_ 【答案】 2 22 【解析】 a0，b0，由 ab1，得 a1b，2a1b22b1b222b1b22 2，当且仅当 b22时，等号成立，2a1b的最小值为
13、 2 22. (2)(2020江苏)已知 5x2y2y41(x，yR R)，则 x2y2的最小值是_ 【答案】 45 【解析】 方法一 由题意知 y0.由 5x2y2y41， 可得 x21y45y2， 所以 x2y21y45y2y214y45y2 151y24y21521y24y245， 当且仅当1y24y2，即 y22时取等号 所以 x2y2的最小值为45. 方法二 设 x2y2t0，则 x2ty2. 因为 5x2y2y41，所以 5(ty2)y2y41， 所以 4y45ty210. 由25t2160，解得 t45t45舍去 . 故 x2y2的最小值为45. 专题训练专题训练 一、单项选择题
14、 1不等式(x3)(x1)0 的解集是( ) Ax|1x3 Bx|1x3 Cx|x3 Dx|x3 【答案】 D 【解析】 不等式即(x3)(x1)0， 由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为x|x3 2下列命题中正确的是( ) A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab，cbd C若 ab，cd，则 acbd D若 ab0，ab，则1a1b 【答案】 D 【解析】 对于 A 选项，当 c0 时，不成立，故 A 选项错误 当 a1，b0，c2，d1 时，acbd，故 B 选项错误 当 a1，b0，c1，d0 时，acbd，故 C 选项错误 由不等式的性质知 D 正确 3(2020北京市昌平
15、区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为x|x3，则f(10 x)0 的解集为( ) Ax|xlg 3 Bx|2xlg 3 Dx|xlg 3 【答案】 D 【解析】 一元二次不等式 f(x)0 的解集为x|x3， 则 f(x)0 的解集为x|2x0 可化为210 x3，解得 xlg 3， 所以所求不等式的解集为x|xb0，且 ab1，则下列不等式成立的是( ) Aa1bb2alog2(ab) B.b2alog2(ab)a1b Ca1blog2(ab)b2a Dlog2(ab)a1b1,0b1， b2alog22 ab1， 12ab a1baba1blog2(ab) 5(2
16、018全国)设 alog0.20.3，blog20.3，则( ) Aabab0 Babab0 Cab0ab Dab0log0.210， blog20.3log210，ablog0.30.4log0.310， 0abab1，abab0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是( ) A3 B4 C.92 D.112 【答案】 B 【解析】 由题意得 x2y8x2y8x2y22，当且仅当 x2y 时，等号成立，整理得(x2y)24(x2y)320，即(x2y4)(x2y8)0，又 x2y0，所以 x2y4，所以 x2y 的最小值为 4.故选B. 7已知 a1，b2，(a1)(b2)16，则 a
17、b 的最小值是( ) A4 B5 C6 D7 【答案】 B 【解析】 由 a1，b2，得 a10，b20，ab(a1)(b2)32a1b2 32435，当且仅当 a1b24，即 a3，b2 时等号成立，所以 ab 的最小值是 5. 8已知正实数 a，b，c 满足 a22ab9b2c0，则当abc取得最大值时，3a1b12c的最大值为( ) A3 B.94 C1 D0 【答案】 C 【解析】 由正实数 a，b，c 满足 a22ab9b2c0， 得a2c2abc9b2c14abc， 当且仅当a2c9b2c，即 a3b 时，abc取最大值14， 又因为 a22ab9b2c0， 所以此时 c12b2，
18、 所以3a1b12c1b21b1b21b241， 当且仅当 b1 时等号成立故最大值为 1. 二、多项选择题 9 设 f(x)ln x,0ab， 若 pf( ab)， qf ab2， r12f(a)f(b)， 则下列关系式中正确的是( ) Aqr Bpq 【答案】 BC 【解析】 r12(ln aln b)pln ab，pln ab0，解得 5a8， 又 aZ Z，故 a 可以为 6,7,8. 方法二 分离常数，得 ax26x，函数 yx26x 的图象及直线 ya，如图所示，由图易知 5b 的充要条件为( ) A.1a1b Bln aln b Caln abln b Dabb0，所以1ab0l
19、n aln b，故 B 正确；对于 C，设 f(x)xln x，则 f(x)ln x1(x0)，令 f(x)0，得x1e，当 x0，1e时，f(x)0，f(x)单调递增，所以ab0 不能推出 aln a0)，则 g(x)1ex.因为 x0，所以 ex1，所以 g(x)b0 时，g(a)g(b)，即 aeabeb，即ab0，b0，且 abb，必要性成立，故 D 正确 12(2020新高考全国)已知 a0，b0，且 ab1，则( ) Aa2b212 B2ab12 Clog2alog2b2 D. a b 2 【答案】 ABD 【解析】 因为 a0，b0，ab1， 所以 ab2 ab， 当且仅当 ab
20、12时，等号成立，即有 ab14. 对于 A，a2b2(ab)22ab12ab121412，故 A 正确； 对于 B,2ab22a11222a， 因为 a0，所以 22a1，即 2ab12，故 B 正确； 对于 C，log2alog2blog2ablog2142，故 C 错误； 对于 D，由( a b)2ab2 ab12 ab2， 得 a b 2，故 D 正确 三、填空题 13 对于 0a1， 给出下列四个不等式： loga(1a)loga11a； a1aa11a.其中正确的是_(填序号) 【答案】 【解析】 由于 0a1， 所以函数 f(x)logax 和 g(x)ax在定义域上都是单调递减
21、函数， 而且 1a0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】 (1，) 【解析】 x(0，)，mx2(m1)xm0 恒成立， m(x2x1)x 恒成立， 又 x2x1x122340， mxx2x1恒成立， 当 x(0，)时，xx2x11x1x112 111， 当且仅当 x1x，即 x1 时取“” m1. 15已知函数 f(x)x32xex1ex，其中 e 是自然对数的底数，若 f(a1)f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 1，12 【解析】 由 f(x)x32xex1ex， 得 f(x)(x)32(x)ex1ex x32xex1exf(x)， 又 xR R，所以 f(x
22、)x32xex1ex是奇函数 因为 f(x)3x22ex1ex3x222ex1ex 3x20，当且仅当 x0 时“”成立， 所以 f(x)在 R R 上单调递增， 因为 f(a1)f(2a2)0， 所以 f(2a2)f(a1)，即 f(2a2)f(1a) 所以 2a21a，即 2a2a10，解得1a12. 16已知实数 x，y 满足 x1，y0 且 x4y1x11y11，则1x11y的最大值为_ 【答案】 9 【解析】 x4y1x11y11， (x1)4y101x11y， 又1x11y(x1)4y5x1y4yx1 52 49， 当且仅当x1y4yx1，即 2yx10 时等号成立， 1x11y101x11y9， 令 t1x11y，则 t(10t)9， 即 t210t90，1t9， 1x11y的最大值为 9.
