1、2022 年广东省肇庆市广宁县二校联考中考一模数学试题年广东省肇庆市广宁县二校联考中考一模数学试题 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 13 的相反数是（ ） A2 B C3 D0 22019 年 2 月份我国多地雨水天气频发，部分地区平均雨水天数统计如下： 省份 江苏 北京 浙江 安徽 山东 天数（天） 15 10 24 13 8 这五省 2 月份雨水天数的中位数是（ ） A10 B13 C14 D15 3在平面直角坐标系中，点 A（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A（1，2） B（1，2） C（1，2） D（1，2） 4在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（
2、 ） A0 B1 C3 D5 5若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 6如图，在ABC 中，AB4，AC5，BC6，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，连结 DE，EF，则四边形 ADEF 的周长为（ ） A6 B9 C12 D15 7 将抛物线yx24x+8向上平移1个单位长度， 再向左平移3个单位长度后， 得到的抛物线解析式是 （ ） Ay（x+1）2+5 By（x+1）2+3 Cy（x5）2+5 Dy（x5）2+3 8不等式组的解集为（ ） Ax1 Bx2 C1x2 D1x2 9如图：将边长为 6 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点
3、 D 落在 AB 边中点 E 处，点 C 落在点 Q 处，折痕为FH，则线段 AF 的长是（ ） A2 B C3 D 10如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两个点） ，对称轴为直线 x1下列结论：abc0； 4a+2b+c0；4acb28a； 正确的结论是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11分解因式：3x+9 12若 3xa+1y4与x5yb+5是同类项，则 ba 13若 a、b 为实数，且满足|a+2|+0，则 ba 的值为 14若当 x2 时，
4、代数式 ax5+bx3+cx+2 的值为 6，则当 x2 时，代数式 ax5+bx3+cx+2 的值是 15如图，菱形 ABCD 的边长为 4，A45，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点，直线 MN 交 AD 于点 E，连接 CE，则 CE 的长为 16 如图， O 的半径为 5， AB 切O 于点 B， AO 交O 于点 C， ACOC， 则图中阴影部分的面积 17如图，若双曲线 y与边长为 17 的等边AOB 的边 OA、AB 分别相交于 C、D 两点，且 OC4BD，则实数 k 的值为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 18 （1
5、）新定义问题：已知实数 a，b，定义“”运算规则如下：ab，求（）的值 （2）先化简，再求值： （），其中 x+1，y1 19受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动为了解学生上网课使用的设备类型某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生进行了一次抽样调查，调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）抽取的总人数是 ，在扇形统计图中， “手机”所对应的扇形的圆心角的度数为 ； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有 1500 名学生，估计全校用手机上网课
6、的学生共有 名； （4）在上网课时，老师在 A、B、C、D 四位同学中随机抽取一名学生回答问题请用列表法或画树状图的方法求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率 20如图 1，在ABC 中，BE、CF 分别平分ABC 和ACB，BE 和 CF 相交于 D 点 （1）求证：BDC90+； （2）如图 2，若AABE，求证：EB+ECBC+BF 21 如图是在写字台上放置一个折叠式台灯时的截面示意图， 已知台灯灯管 DE 长 40cm， 灯杆 CD 长 50cm，台灯灯管、灯杆的夹角即EDC105，灯杆 CD 与写字台 AB 的夹角即DCB75 （1）求台灯灯管 DE 与水平线的夹角（锐角）？ （2
7、）求灯管顶端 E 到写字台 AB 的距离，即 EF 的长？（台灯底座的宽度、高度都忽略不计，A，F，C，B 在同一条直线上，参数据：sin750.97，cos750.26，tan753.73；结果精确到 0.1cm） 22如图，在ABC 的边 BC 上取一点 O，以 O 为圆心，OC 为半径画O，O 与边 AB 相切于点 D，ACAD，连接 OA 交O 于点 E，连接 CE，并延长交线段 AB 于点 F （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 AB10，tanB，求O 的半径 23秋冬来临之际，天气开始慢慢变冷，某商家抓住商机，在十一月份力推甲、乙两款儿童棉服已知十一月份甲款棉服的销售总额
8、为 8400 元，乙款棉服的销售总额为 9000 元，乙款棉服的单价是甲款棉服单价的 1.2 倍，乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少 6 件 （1）求十一月份甲款棉服的单价是多少元？ （2）十二月份，为了加大推销力度，该商家将甲款棉服的单价在十一月份的基础上下调了 a%，结果甲款棉服的销量比十一月份多卖了 24 件；乙款棉服的单价在十一月份的基础上下调a%，结果乙款棉服的销量比十一月份多卖了 50 件要使十二月份的总销售额不低于 22200 元，求 a 的最大值 24在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1x+2 与双曲线相交于点 A（m，3） （1）求反比例函数的表达式； （2）画出双
9、曲线的示意图； （3）若另一个交点 B 的坐标为（3，n） ，则 n ；当 y1y2时，x 的取值范围为 ； （4）观察反比例函数的图象，当 y23 时，自变量 x 的取值范围是 25如图抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，抛物线顶点为点 D （1）求抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上直线 BC 上方的一点，过点 P 作 PQBC 于点 Q，求 PQ 的最大值及此时 P 点坐标； （3）抛物线上是否存在点 M，使得BCMBCO？若存在，求直线 CM 的解析式 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共 10 小题） 1
10、3 的相反数是（ ） A2 B C3 D0 【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案 【解答】解：3 的相反数是：3 故选：C 22019 年 2 月份我国多地雨水天气频发，部分地区平均雨水天数统计如下： 省份 江苏 北京 浙江 安徽 山东 天数（天） 15 10 24 13 8 这五省 2 月份雨水天数的中位数是（ ） A10 B13 C14 D15 【分析】根据中位数的定义求解即可 【解答】解：将这组数据按大小顺序，中间一个数为 13， 则这组数据的中位数是 13； 故选：B 3在平面直角坐标系中，点 A（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A（1
11、，2） B（1，2） C（1，2） D（1，2） 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得对应点坐标 【解答】解：点 A（1，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（1，2） ， 故选：A 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律 4在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） A0 B1 C3 D5 【分析】根据任意凸多边形的外角和是 360可知它的外角中，最多有 3 个钝角，则内角中，最多有 3个锐角 【解答】解：由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360， 故外角中钝角的个数不能超过 3 个， 又因为内角与外角互
12、补， 因此，内角中锐角最多不能超过 3 个， 则凸 10 边形所有内角中锐角的个数最多有 3 个 故选：C 5若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案 【解答】解：由题意可知：x+20， x2 故选：A 6如图，在ABC 中，AB4，AC5，BC6，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，连结 DE，EF，则四边形 ADEF 的周长为（ ） A6 B9 C12 D15 【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出 AD、DE、EF、AF，根据四边形的周长公式计算即可 【解答】解：点 D，E，F
13、 分别是 AB，BC，CA 的中点， DEAC2.5，AFAC2.5，EFAB2，ADAB2， 四边形 ADEF 的周长AD+DE+EF+AF9， 故选：B 7将抛物线 yx24x+8 向上平移 1 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） Ay（x+1）2+5 By（x+1）2+3 Cy（x5）2+5 Dy（x5）2+3 【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则解答 【解答】解：将抛物线 yx24x+8（x2）2+4 向上平移 1 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度后所得新抛物线的表达式为 y（x2+3）2+4+1， 即 y（x+1）2+5 故选：A 8不等式
14、组的解集为（ ） Ax1 Bx2 C1x2 D1x2 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解：， 解不等式，得 x2， 解不等式，得 x1， 所以这个不等式组的解集为 1x2， 故选：D 9如图：将边长为 6 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边中点 E 处，点 C 落在点 Q 处，折痕为 FH，则线段 AF 的长是（ ） A2 B C3 D 【分析】设 EFFDx，在 RtAEF 中利用勾股定理即可解决问题 【解答】解：如图： 四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD6， AEEB3，EFFD，设 EFDFx则 AF6x， 在 RtAEF
15、 中，AE2+AF2EF2， 32+（6x）2x2， x， AF6， 故选：B 10 如图， 已知二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象与 x 轴交于点 A （1， 0） ， 与 y 轴的交点 B 在 （0，2）和（0，1）之间（不包括这两个点） ，对称轴为直线 x1下列结论：abc0； 4a+2b+c0；4acb28a； 正确的结论是（ ） A B C D 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与 x 轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 对称轴为 x10，a、b 异号， b0， 与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，1）之间
16、， 2c10， abc0， 故正确； 抛物线 x 轴交于点 A（1，0） ，对称轴为 x1， 与 x 轴的另一个交点为（3，0） ， 当 x2 时，y4a+2b+c0， 故不正确； 抛物线与 x 轴有两个不同交点， b24ac0，即 4acb20， 8a0， 4acb28a， 故正确； 由题意可得，方程 ax2+bx+c0 的两个根为 x11，x23， 又x1x2，即 c3a， 2c1， 23a1， a， 故正确， 综上所述，正确的结论有三个：， 故选：C 二填空题（共 7 小题） 11分解因式：3x+9 3（x+3） 【分析】直接找出公因式 3，进而提取公因式分解因式即可 【解答】解：3x+
17、93（x+3） 故答案为：3（x+3） 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 12若 3xa+1y4 与x5yb+5 是同类项，则 ba 1 【分析】根据同类项的定义求出 a、b 的值，代入 ba 计算即可求出答案 【解答】解：因为 3xa+1y4 与x5yb+5 是同类项， 所以 a+15，b+54， 所以 a4，b1， 所以 ba（1）41 故答案为：1 13若 a、b 为实数，且满足|a+2|+0，则 ba 的值为 5 【分析】通过|a+2|0，0，|a+2|+0，求出 a，b 的值再进行计算 【解答】解：|a+2|0，0，|a+2|+0， a+20，a2
18、， 3b0，b3， ba5 故答案为 5 14若当 x2 时，代数式 ax5+bx3+cx+2 的值为 6，则当 x2 时，代数式 ax5+bx3+cx+2 的值是 2 【分析】根据当 x2 时，ax5+bx3+cx+2 的值为 6，可得 32a+8b+2c4，而当 x2 时，代数式ax5+bx3+cx+2（32a+8b+2c）+2，代入即可得答案 【解答】解：当 x2 时，代数式 ax5+bx3+cx+2 的值为 6， a（2）5+b（2）3+c（2）+26，即32a8b2c4， 32a+8b+2c4， 当 x2 时， ax5+bx3+cx+2 a25+b23+2c+2 （32a+8b+2c
19、）+2 4+2 2， 故答案为：2 15如图，菱形 ABCD 的边长为 4，A45，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点，直线 MN 交 AD 于点 E，连接 CE，则 CE 的长为 2 【分析】如图，连接 EB证明AEB 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出 AE，EB，EC 即可 【解答】解：如图，连接 EB 由作图可知，MN 垂直平分线段 AB， EAEB， AEBA45， AEB90， AB4， EAEB2， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC， EBCAEB90， EC2， 故答案为 2 16如图，O 的半径为 5，AB 切O 于点 B，
20、AO 交O 于点 C，ACOC，则图中阴影部分的面积 【分析】根据切线的性质得出 OBAB，根据勾股定理求出 AB，根据直角三角形的性质求出AOB，根据三角形内的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案 【解答】解：AB 切O 于点 B， OBAB， AB5， 在 RtABO 中，sinA， A30， AOB60， 阴影部分的面积55， 故答案为： 17 如图， 若双曲线 y与边长为 17 的等边AOB 的边 OA、 AB 分别相交于 C、 D 两点， 且 OC4BD，则实数 k 的值为 16 【分析】过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，设 OC4x，则 BDx，分
21、别表示出点C、点 D 的坐标，代入函数解析式求出 k，继而可建立方程，解出 x 的值后即可得出 k 的值 【解答】解：过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F， 设 BDx，则 OC4x， 在 RtOCE 中，COE60， 则 OE2x，CE2x， 则点 C 坐标为（2x，2x） ， 在 RtBDF 中，BDx，DBF60， 则 BFx，DFx， 则点 D 的坐标为（17x，x） ， 将点 C 的坐标代入反比例函数解析式可得：k4x2， 将点 D 的坐标代入反比例函数解析式可得：kx（17x） ， 则 4x2x（17x） ， 解得：x12，x20（舍去） ， 故 k1
22、6 故答案为：16 三解答题（共 8 小题） 18 （1）新定义问题：已知实数 a，b，定义“”运算规则如下：ab，求（）的值 （2）先化简，再求值： （），其中 x+1，y1 【分析】 （1）根据新定义运算规则，结合实数的大小比较进行计算； （2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值 【解答】解：（1）原式 2； （2）原式 ， 当 x+1，y1 时， 原式 2 19受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动为了解学生上网课使用的设备类型某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生进行了一次抽样调查，调查结果显示，每个学生只选
23、择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1） 抽取的总人数是 100 人 ， 在扇形统计图中，“手机” 所对应的扇形的圆心角的度数为 108 ； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有 1500 名学生，估计全校用手机上网课的学生共有 450 名； （4）在上网课时，老师在 A、B、C、D 四位同学中随机抽取一名学生回答问题请用列表法或画树状图的方法求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率 【分析】 （1）根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出手机的人数，用 360乘以“手机”人数所占比
24、例即可； （2）根据（1）中所求结果即可补全统计图； （3）用该校的总人数乘以用手机上网课的学生所占的百分比即可； （4） 根据题意画出树状图得出所有等情况数， 找出符合条件的情况数， 然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）抽取的总人数是：4040%100（人） ， 手机的人数是：10040201030（人） ， 在扇形统计图中， “手机”所对应的扇形的圆心角的度数为 360108， 故答案为：100 人，108； （2）补全统计图如下： （3）全校用手机上网课的学生共有：1500450（名） ； 故答案为：450； （4）根据题意画树状图如下： 共有 16 种等情况数，其中两次都
25、抽取到同一名学生回答问题的有 4 种， 则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率为 20如图 1，在ABC 中，BE、CF 分别平分ABC 和ACB，BE 和 CF 相交于 D 点 （1）求证：BDC90+； （2）如图 2，若AABE，求证：EB+ECBC+BF 【分析】 （1）由角平分线的性质及三角形内角和定理可得出答案； （2）延长 CB 至 G，使得 BGBF，连接 FG，则GGFB证明ACFGCF（ASA） ，由全等三角形的性质得出 ACGC，则可得出结论 【解答】证明： （1）BE、CF 分别平分ABC 和ACB， DBCABD，DCBDCA， 在BDC 中，BDC180（DBC+D
26、CB） 180（+） 180（180A） 90+A （2）如图，延长 CB 至 G，使得 BGBF，连接 FG，则GGFB FBCG+GFBABE+CBE，AABE， GABEA， 又ACFBCF，CFCF， ACFGCF（ASA） ACGC， 即 AE+ECGB+BC AABE， AEEB EB+ECFB+BC 21 如图是在写字台上放置一个折叠式台灯时的截面示意图， 已知台灯灯管DE长40cm， 灯杆CD长50cm，台灯灯管、灯杆的夹角即EDC105，灯杆 CD 与写字台 AB 的夹角即DCB75 （1）求台灯灯管 DE 与水平线的夹角（锐角）？ （2）求灯管顶端 E 到写字台 AB 的距
27、离，即 EF 的长？（台灯底座的宽度、高度都忽略不计，A，F，C，B 在同一条直线上，参数据：sin750.97，cos750.26，tan753.73；结果精确到 0.1cm） 【分析】 （1）过点 D 作 DHAB，交 EF 于 H，则 DHEF，CDHDCB75，进而可得EDH的度数； （2）过点 D 作 DGAB 于 G，利用三角函数分别求出 DG 和 EH，可得答案 【解答】解： （1）如图，过点 D 作 DHAB，交 EF 于 H，则 DHEF， DHAB， CDHDCB75， EDC105， EDH1057530， 答：台灯灯管 DE 与水平线的夹角为 30 （2）过点 D 作
28、DGAB 于 G， 由题意得，四边形 DHFG 是矩形， DGHF， 在 RtDCG 中， sinDCG， DGDCsin75500.9748.5， 在 RtEDH 中， sinEDH， EHDEsin304020， EFEH+HF20+48.568.5（cm） 答：灯管顶端 E 到写字台 AB 的距离是 68.5cm 22如图，在ABC 的边 BC 上取一点 O，以 O 为圆心，OC 为半径画O，O 与边 AB 相切于点 D，ACAD，连接 OA 交O 于点 E，连接 CE，并延长交线段 AB 于点 F （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 AB10，tanB，求O 的半径 【分析】
29、（1）连接 OD，由切线的性质可得ADO90，由“SSS”可证ACOADO，可得ADOACO90，可得结论； （2）由锐角三角函数可设 AC4x，BC3x，由勾股定理可求 BC6，再由勾股定理可求解 【解答】解： （1）如图，连接 OD， O 与边 AB 相切于点 D， ODAB，即ADO90， 在ACO 和ADO 中， ， ACOADO（SSS）， ADOACO90， ODAB， 又OC 是半径， AC 是O 的切线； （2）tanB， 设 AC4x，BC3x， AC2+BC2AB2， 16x2+9x2100， x2， BC6， ACAD8，AB10， BD2， OB2OD2+BD2， （6
30、OC）2OC2+4， OC， 故O 的半径为 23秋冬来临之际，天气开始慢慢变冷，某商家抓住商机，在十一月份力推甲、乙两款儿童棉服已知十一月份甲款棉服的销售总额为 8400 元，乙款棉服的销售总额为 9000 元，乙款棉服的单价是甲款棉服单价的 1.2 倍，乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少 6 件 （1）求十一月份甲款棉服的单价是多少元？ （2）十二月份，为了加大推销力度，该商家将甲款棉服的单价在十一月份的基础上下调了 a%，结果甲款棉服的销量比十一月份多卖了 24 件；乙款棉服的单价在十一月份的基础上下调a%，结果乙款棉服的销量比十一月份多卖了 50 件要使十二月份的总销售额不低于
31、22200 元，求 a 的最大值 【分析】 （1）设十一月份甲款棉服的单价是 x 元，则十一月份乙款棉服的单价是 1.2x 元，利用数量总价单价，结合乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少 6 件，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2） 利用数量总价单价结合乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少 6 件， 即可求出十一月份甲、 乙两款棉服的销售量， 利用总销售额销售单价销售数量， 结合十二月份的总销售额不低于 22200元，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论 【解答】解： （1）设十一月份甲款棉服的单价是 x 元，则十一月份乙款棉服
32、的单价是 1.2x 元， 依题意得：6， 解得：x150， 经检验，x150 是原方程的解，且符合题意 答：十一月份甲款棉服的单价是 150 元 （2）十一月份甲款棉服的销售数量为 840015056（件） ， 十一月份乙款棉服的销售数量为 56650（件） 依题意得：150（1a%）（56+24）+1501.2（1a%）（50+50）22200， 解得：a20 答：a 的最大值为 20 24在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1x+2 与双曲线相交于点 A（m，3） （1）求反比例函数的表达式； （2）画出双曲线的示意图； （3）若另一个交点 B 的坐标为（3，n） ，则 n 1 ；当 y
33、1y2 时，x 的取值范围为 x3 或0 x1 ； （4）观察反比例函数的图象，当 y23 时，自变量 x 的取值范围是 x1 或 x0 【分析】 （1）根据直线上点的坐标特征求出 m，把点 A 的坐标代入反比例函数解析式，计算即可； （2）根据题意画出图象； （3）把 B（3，n）代入（1）求得的解析式，即可求得 n 的值，然后结合图象求得当 y1y2 时，x 的取值范围； （4）根据图象即可求得 【解答】解： （1）直线 y1x+2 与双曲线相交于点 A（m，3） ， 3m+2， m1 A（1，3）， 把 A（1，3）代入 y2， k313， 反比例函数的表达式为 y2； （2）双曲线的示
34、意图如图所示： （3）直线 y1x+2 与双曲线相交于另一个交点 B 的坐标为（3，n） ， 3n3， n1， B（3，1）， 由图象可知：当 y1y2 时，x 的取值范围 x3 或 0 x1， 故答案为1，x3 或 0 x1 （4）观察图象，当 y23 时，自变量 x 的取值范围是 x1 或 x0， 故答案为 x1 或 x0 25如图抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，抛物线顶点为点 D （1）求抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上直线 BC 上方的一点，过点 P 作 PQBC 于点 Q，求 PQ 的最大值及此时
35、P 点坐标； （3）抛物线上是否存在点 M，使得BCMBCO？若存在，求直线 CM 的解析式 【分析】 （1）根据抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，用待定系数法即得抛物线的解析式为 yx2+x3； （2）过 P 作 PEy 轴交 BC 于 E，在 RtBOC 中，sinBCO，即得 sinPEQ，PQPE，故 PE 最大时，PQ 的最大，由 B（4，0） 、C（0，3）得直线 BC 为 yx3，设 P（t，t2+t3） ，0t4，则 E（t，t3） ，得 PE（t2+t3）（t3）（t2）2+3，即得 t2 时，PE
36、 最大为 3，故 P（2，）时，PQ 最大值为； （3）方法一：作BCO 的平分线交抛物线于 M，交 x 轴于 H，过 H 作 HNBC 于 N，作 M 关于直线BC 的对称点 F，连接 MF 交 BC 于 G，交 x 轴于 S，过 G 作 GTx 轴于 T，连接 CF 交抛物线于 M，根据 CM平分BCO， 可得M 是满足条件的点， 而， 且，可得，即可求出 OH，H（，0） ，即得直线 CM 为 y2x3，根据 M 关于直线 BC的对称点为 F，知直线 CF 与抛物线交点 M也是满足条件的点，由得 M（，） ，即可得 CM，CH，由 HNMG，有，可得 CG，BGBCCG，又GTOC，有，
37、即，可得 GT，BT，从而 G（，） ，根据G 是 MF 的中点，M（，） ，得 F（，） ，即可得直线 CM为 yx3 方法二：作BCO 的平分线交抛物线于 M，交 x 轴于 H，过 H 作 HNBC 于 N，作 M 关于直线 BC 的对称点 F，过 B 作 BRBC 交直线 CF 于 R，过 R 作 GSx 轴于 S，CF 交抛物线于 M，直线 CM 解析式求法同方法一，由CHNCBR，可得 BR，由BOCRSB，可得 RS2，BS，从而知 R（，2） ，即得 CR 为 yx3，即 CM 解析式为 yx3 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（
38、4，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ， ，解得， 抛物线的解析式为 yx2+x3； （2）过 P 作 PEy 轴交 BC 于 E，如图： B（4，0），C（0，3）， BC5， 在 RtBOC 中，sinBCO， PEy 轴， PEQBCO， sinPEQ， PQPE， PE 最大时，PQ 的最大， 设直线 BC 为 ymx+n， 则， 解得， 直线 BC 为 yx3， 设 P（t，t2+t3） ，0t4，则 E（t，t3） ， PE（t2+t3）（t3）t2+3t（t2）2+3， 0， t2 时，PE 最大为 3， 当 P（2，）时，PQ 最大值为； （3）存在点 M，使得BCMB
39、CO， 方法一：作BCO 的平分线交抛物线于 M，交 x 轴于 H，过 H 作 HNBC 于 N，作 M 关于直线 BC 的对称点 F，连接 MF 交 BC 于 G，交 x 轴于 S，过 G 作 GTx 轴于 T，连接 CF 交抛物线于 M，如图： CM 平分BCO， OHNH，BCMBCO， M 是满足条件的点， ，且， ， 而 OH+BHOB4， OH， H（，0）， 设直线 CH 为 ytx3， 则 0t3，解得 t2， 直线 CH 为 y2x3，即直线 CM 为 y2x3， M 关于直线 BC 的对称点为 F， BCFBCMBCO， 直线 CF 与抛物线交点 M也是满足条件的点， 由得
40、或， M（，）， 而 H（，0）， CM，CH， HNMG， ， 又 CNOC3， ， CG， BGBCCG， GTOC， ，即， GT，BT， OTOBBT， G（，） ， G 是 MF 的中点，M（，） ， F（，） ， 设直线 CF 为 ykx3， 则k3， 解得 k， CF 为 yx3，即直线 CM为 yx3， 综上所述，直线 CM 的解析式为 y2x3 或 yx3 方法二：作BCO 的平分线交抛物线于 M，交 x 轴于 H，过 H 作 HNBC 于 N，作 M 关于直线 BC 的对称点 F，过 B 作 BRBC 交直线 CF 于 R，过 R 作 GSx 轴于 S，CF 交抛物线于 M，如图： 直线 CM 解析式求法同方法一， M 关于直线 BC 的对称点为 F， HCNBCR， CHNCBR， ，即， BR， CBR90， OBC90SBRBRS， BOCRSB， ，即， RS2，BS， OSOB+BS， R（，2） ， 由 C（0，3） ，R（，2）可得 CR 为 yx3，即 CM 解析式为 yx3 综上所述，直线 CM 的解析式为 y2x3 或 yx3
