1、2022年山东省德州市德城区中考一模数学试题一、选择题（每小题4分，共48分）1. 2021的相反数为（ ）A. 2021B. C. 2021D. 20112. 一种花粉的直径为 0.00000156m，用科学记数法表示这个数是（ ）A. 0.156 mB. 0.156 mC. 1.56 mD. 1.56 m3. 在实数，2，tan45，3.1415926，1.010010001（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数是（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4. 某正方体的平面展开图如图所示，则正方体中与“爱”字所在的面相对的面上的字是（ ）A. 河B. 山C. 祖D. 国5.
2、 某商场从周末顾客中抽取20名对员工服务态度进行评价，评分如表所示：员工得分678910顾客人数36542这些员工得分的众数、中位数分别是（ ）A. 7，7B. 7，8C. 8，8D. 8，76. 如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC下列说法：为等边三角形；，正确个数有（ ）个A. 4B. 3C. 2D. 17. 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ）A
3、. 4B. 2 C. 4D. 48. 如图，以正方形ABCD的边AD为直径作一个半圆，点M是半圆上一个动点，分别以线段AM、DM为边各自向外作一个正方形，其面积分别为S1和S2，若正方形的面积为10，随点M的运动S1S2的值（ ）A. 大于10B. 小于10C. 等于10D. 不确定9. 把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm，AB长16cm，则球的半径为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 1210. 函数ymx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A. 0B. 0或2C. 0或2或2D. 2或211. RtABC中，C90，B30，点D为AB
4、中点，点E在边BC（包括点B、C）上，将BDE沿着直线DE翻折得到BDE，设BDE为，当为（ ）度时，以点A、C、B、D为顶点的四边形为菱形A. 60B. 30C. 30或120D. 45或6012. 图象有如下性质：（1）函数有最大值和最小值；（2）当时，；（3）直线与图象的交点个数可能是0、1、2、3或4个；（4）点A是图象上的任意一点，A关于y轴的对称点为，则的面积最大值3，说法正确的有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题4分，共24分）13. 若am3，an2，则amn_；14. 竖直上抛物体时，物体离地而的高度与运运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物
5、体抛出时高地面的高度，是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为_m15. 方程组的解满足x2y14，则k的取值范围为_16. P过坐标原点O，与x轴、y轴相交于点A、B，且OAOB4，反比例函数的图象经过圆点P，作射线OP，则图中阴影部分面积为_17. 若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x27x120的两个实数根，则该直角三角形的面积是_18. 已知：点E是正方形ABCD边上的一点，将线段AE绕点E顺时针旋转90，得到线段EA，若AB2，则线段DA的最小值为_三、解答题（共78分）19. 化简并求值：，其中x满足20. 山东省教育厅副
6、厅长孙晓筠在青少年体育工作会议上指出：“自2022年起将逐步提高中考体育科目考试分值占比”，王老师为调动学生参加体育锻锻的积极性，为本校九年级学生组织了一分钟跳绳比赛活动王老师随机抽取了部分参赛学生的成绩，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，将这组数据整理后制成统计图表根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）抽取的学生共有人，并把条形图补充完整；（2）扇形统计图中，m；C等级对应扇形的圆心角为度；（3）学校想从获得D等级的学生中随机选取2人，参加市举办的跳绳比赛，请利用列表法或树形图法，求出D等级的小明参加市比赛的概率22. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外
7、活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案24. 为提高数学学习兴趣，某学校数学社团利用周日举行了测量旗杆高度的活动已知旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心测量方法如下：在地面上找一点D，用测角仪测出看旗杆AB顶B的仰角为67.4，沿DE
8、方向走4.8米到达C地，再次测得看旗杆顶B的仰角为73.5（1）求旗杆高度（2）已知夏至日时该地的最大太阳高度约为78，试问夏至日旗杆顶B的影子能不能落在台阶上？（太阳高度角是指某地太阳光线与地平线的夹角结果精确到0.1m，参考数据：tan67.42.4，tan73.5，tan22.6，tan16.5，tan120.21）26. 如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE求证：（1）四边形OCED是矩形；（2）如果ABAC4，连接AE，求线段AE的长28. ABC是O的内接三角形，点P是O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC（1）如图，若ABC是等边
9、三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论（2）如图，把（1）中的ABC改为等腰直角三角形，BAC90，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由（3）如图，把（1）中ABC改为任意三角形，ABc，ACb，BCa时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_（直接写结果）（4）由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？30. 已知：抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，将绕点A旋转180得到交x轴与点N（1）求的解析式（2）求证：无论x取何值恒（3）当时，求m和n的值（4）直线经过点N，D是抛物线上第二象限内的一点
10、，设D的横坐标为q，作直线AD交抛物线于点M，交直线于点E，若DM2ED，求q值2022年山东省德州市德城区中考一模数学试题一、选择题（每小题4分，共48分）1. 2021的相反数为（ ）A. 2021B. C. 2021D. 2011【1题答案】【答案】C【解析】【分析】利用相反数的定义即可求解只有符号不同的两个数互为相反数【详解】解： 的相反数是2021，故选：C【点睛】本题考查求相反数，掌握相反数的定义是解题的关键2. 一种花粉的直径为 0.00000156m，用科学记数法表示这个数是（ ）A. 0.156 mB. 0.156 mC. 1.56 mD. 1.56 m【2题答案】【答案】C
11、【解析】【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为整数，据此判断即可【详解】解：故选C【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键3. 在实数，2，tan45，3.1415926，1.010010001（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数的个数是（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【3题答案】【答案】B【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和
12、无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【详解】解： 是无理数，符合题意；2是整数，是有理数，不符合题意；是无理数，符合题意；是整数，是有理数，不符合题意；3.1415926是有限小数，是有理数，不符合题意；是分数，是有理数，不符合题意；1.010010001（每两个1之间0的个数依次加1）是无限不循环小数，是无理数，符合题意；无理数一共有3个，故选B【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握有理数和无理数的定义4. 某正方体的平面展开图如图所示，则正方体中与“爱”字所在的面相对的面上的字是（ ）A. 河B. 山C. 祖D. 国【4题答案】【答案】A
13、【解析】【分析】根据正方体展开图的特点：两个相对的面之间必定隔着一个面，进行求解即可【详解】解：由题意得：“我”与“祖”相对，“爱”与“河”相对，“国”与“山相对”，故选A【点睛】本题主要考查了正方体对面上的字，熟知正方体展开图的特点是解题的关键5 某商场从周末顾客中抽取20名对员工服务态度进行评价，评分如表所示：员工得分678910顾客人数36542这些员工得分的众数、中位数分别是（ ）A. 7，7B. 7，8C. 8，8D. 8，7【5题答案】【答案】B【解析】【分析】根据众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的
14、平均数，进行求解即可【详解】解：得分为7的有6人，人数最多，员工得分的众数为7，得分处在第10名和第11名的分数为8分和8分，员工得分的中位数分，故选B【点睛】本题主要考查了求中位数和众数，熟知二者的定义是解题的关键6. 如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC下列说法：为等边三角形；，正确的个数有（ ）个A. 4B. 3C. 2D. 1【6题答案】【答案】B【解析】【分析】由作图方法可知AC=BC=CD=AB，即可
15、判断；根据等边三角形的性质、等边对等角以及三角形的外角性质，可知和的度数，可得出，最后根据勾股定理即可判断；过点C作交AB于点E，根据三角函数分别求出CE及BD的值，然后分别求出的面积和的面积，从而得出两者之间的关系，即可判断；由可知和的度数，再根据特殊角的三角函数值代入原式，即可判断【详解】解：由作图方法可知AC=BC=CD=AB，为等边三角形，故正确；由可知为等边三角形，BC=CD，故正确；过点C作交AB于点E，设，则在中，在中，故错误；由知，故正确；故选B【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质定理、解直角三角形，熟练掌握性质定理及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键7. 如图所示，数轴上
16、A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ）A. 4B. 2 C. 4D. 4【7题答案】【答案】A【解析】【分析】根据对称性可得，据此求解即可【详解】设点表示的数为，点B关于点A的对称点为C，即解得故选A【点睛】本题考查了实数与数轴，根据求解是解题的关键8. 如图，以正方形ABCD的边AD为直径作一个半圆，点M是半圆上一个动点，分别以线段AM、DM为边各自向外作一个正方形，其面积分别为S1和S2，若正方形的面积为10，随点M的运动S1S2的值（ ）A. 大于10B. 小于10C. 等于10D. 不确定【8题答案】【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得为
17、直角三角形，由勾股定理可知，即【详解】解：AD是直径，为直角三角形，由勾股定理可知，即故选：C【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是理解随着点M的运动，符合勾股定理9. 把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm，AB长16cm，则球的半径为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【9题答案】【答案】B【解析】【分析】首先找到AB的中点M，作MNAD于点M，取MN上的球心O，连接OB，设OB=x，则OM是16-x，MB=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可【详解】解：取AB的中点M，作MNAD于点M，取MN上的球心O，连接OB，设
18、OB=x，则OM=16-x，MB=8，在直角三角形OMB中，OM2+MB2=OB2，即：（16-x）2+82=x2，解得：x=10故选：B【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形10. 函数ymx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A. 0B. 0或2C. 0或2或2D. 2或2【10题答案】【答案】C【解析】【分析】根据函数ymx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决【详解】解：函数ymx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，当m0时，y2x+1，此
19、时y0时，x0.5，该函数与x轴有一个交点，当m0时，函数ymx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则（m+2）24m（m+1）0，解得，m12，m22，由上可得，m的值为0或2或2，故选：C【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答11. RtABC中，C90，B30，点D为AB的中点，点E在边BC（包括点B、C）上，将BDE沿着直线DE翻折得到BDE，设BDE为，当为（ ）度时，以点A、C、B、D为顶点的四边形为菱形A. 60B. 30C. 30或120D. 45或60【11题答案】【答案】C【解析】【分析】分为菱形点对角线，菱形
20、的边长两种情况讨论即可【详解】解：RtABC中，C90，B30，点D为AB的中点，是等边三角形折叠如图，当为菱形的边长时，则当为菱形对角线时，此时与重合，如图同理可得，则故选C【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，确定是等边三角形是解题的关键12. 的图象有如下性质：（1）函数有最大值和最小值；（2）当时，；（3）直线与图象的交点个数可能是0、1、2、3或4个；（4）点A是图象上的任意一点，A关于y轴的对称点为，则的面积最大值3，说法正确的有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4【12题答案】【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，画出函数的大致图象，再结
21、合各选项进行分析，即可得出答案【详解】解：画出函数的大致图象，如图，由图象可知，函数有最小值，无最大值，故（1）错误；当，时，；当或时，若时，；故（2）错误；当时，直线与图象的交点个数是0个；当时，直线与图象的交点个数1个；当时，直线与图象的交点个数是3个；当时，直线与图象的交点个数是2个；当时，直线与图象的交点个数是1个；故（3）错误；当时，设，的面积为S，此时，S没有最大值；当时，设，的面积为S，此时，S随x的增大而增大，所以，当x=1时，S有最大值，；当时，设，的面积为S，此时，；故（4）正确故选A【点睛】本题考查了函数的图象与性质、点的对称以及与三角形面积的综合应用，理解题意，作出相应
22、函数图象是解题关键二、填空题（每小题4分，共24分）13 若am3，an2，则amn_；【13题答案】【答案】6【解析】【分析】先根据同底数幂的乘法法则把代数式化为已知的形式，再把已知代入求解即可【详解】aman=am+n，am+n=aman=32=6【点睛】解答此题的关键是熟知同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即aman=am+n14. 竖直上抛物体时，物体离地而的高度与运运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时高地面的高度，是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为_m【14题答案】【答案】21.5【
23、解析】【分析】根据题意可得到h关于t的函数关系式，再将其化为顶点式，按照二次函数的性质可得答案【详解】解：由题意得：h5t2+20t+1.55（t2）2+21.5，a50，当t2时，h取得最大值，此时h21.5故答案为：21.5【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键15. 方程组的解满足x2y14，则k的取值范围为_【15题答案】【答案】k2#2k【解析】【分析】解方程组求得x、y的值，进而求得x2y7k，根据已知得出不等式7k14，求出即可【详解】解：，得：3x9k，解得：x3k，把x3k代入得：3ky8k，解得：y5k，x2y7k，x2y
24、14，7k14k2，故答案为：k2【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，关键是能得出关于k的不等式16. P过坐标原点O，与x轴、y轴相交于点A、B，且OAOB4，反比例函数的图象经过圆点P，作射线OP，则图中阴影部分面积为_【16题答案】【答案】【解析】【分析】根据图形的对称性将阴影部分面积进行转化并且分割为扇形和三角形，利用反比例函数的几何意义可求出圆的半径以及扇形圆心角，根据相应的公式求解即可【详解】解：连接OA，过点P作垂足为H，反比例函数，由垂径定理可知：，根据图形的对称性可将阴影部分转换为，故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，能够利
25、用反比例函数中k的几何意义来求解相关数据是解决本题的关键，同时能够根据图形的对称性将不规则图形转化为规则图形或分割成规则图形是本题的一个难点17. 若直角三角形的两边长分别是一元二次方程x27x120的两个实数根，则该直角三角形的面积是_【17题答案】【答案】6或【解析】【分析】解方程求出两边长，再分类讨论求出面积即可【详解】解：解方程得，当3和4是直角三角形的两条直角边时，直角三角形的面积为；当3是直角三角形的直角边，4是直角三角形的斜边时，另一条直角边为，直角三角形的面积为；故答案为：6或【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和勾股定理，解题关键是正确地解方程，分类讨论，求出直角三角形的直角
26、边长18. 已知：点E是正方形ABCD边上的一点，将线段AE绕点E顺时针旋转90，得到线段EA，若AB2，则线段DA的最小值为_【18题答案】【答案】【解析】【分析】证明，点在上运动，当时，最小，进而勾股定理求解即可【详解】如图，在上取一点，使得，连接，过作于点，四边形是正方形，BGEBEG45，AGE135AE90，AEBCE90GAECE在AGE和EC中，AGEEC（SAS），AGEEC，AGE135，DC1359045，当与点重合时，最小，最小值为【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，求得DC45是解题的关键三、解答题（共78分）19. 化简并求值：，其中x满足【19题答案】【答案
27、】，2【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据已知式子得到，最后整体代入计算即可【详解】解：，原式【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握分式的相关计算法则20. 山东省教育厅副厅长孙晓筠在青少年体育工作会议上指出：“自2022年起将逐步提高中考体育科目考试分值占比”，王老师为调动学生参加体育锻锻的积极性，为本校九年级学生组织了一分钟跳绳比赛活动王老师随机抽取了部分参赛学生的成绩，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，将这组数据整理后制成统计图表根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）抽取的学生共有人，并把条形图补充完整；（2）扇形统计图中，m；C等
28、级对应扇形的圆心角为度；（3）学校想从获得D等级的学生中随机选取2人，参加市举办的跳绳比赛，请利用列表法或树形图法，求出D等级的小明参加市比赛的概率【20题答案】【答案】（1），统计图见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）由A等级人数及百分比可得总人数，根据各等级人数之和等于总数可得B等级人数，即可把条形图补充完整；（2）根据D级人数及总人数可得百分比，用360度乘以C等级百分比可得圆心角度数；（3）画树状图列出所有结果，利用概率公式可得答案【小问1详解】A等级人数为人，占，则总人数为（人）B等级人数为50-16-10-4=20（人）补全统计图，如图故答案为：50；【小问2详解】，故答案
29、为：；【小问3详解】D等级的学生有4人，设代表小明，分别代入其他三人，列表如下：abcdaabacadbbabcbdccacbcdddadbdc共有12种等可能结果，其中小明参加市比赛的可能结果有6种，故概率为【点睛】本题主要考查条形统计图与扇形统计图及概率的计算，根据统计图表得出所需信息及画树状图列出所有等可能结果是解题的关键22. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？（2）由于库存较大，商场决定对这
30、两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案【22题答案】【答案】（1）跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 （2）当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少【解析】【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，然后根据用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同，列出方程求解即可；（2）设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W，然后求出W关于m的关系式，利用一次函数的性质求解即可【小问1详解】解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，
31、由题意得：，解得，经检验，是原方程解，跳绳和毽子的单价分别是8元，5元，答：跳绳和毽子的单价分别是8元，5元；【小问2详解】解：设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W，由题意得，跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，W随着m的增大而增大，当m=450时，W有最小值，当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，解题的关键在于能够正确理解题意列出相应的式子求解24. 为提高数学学习的兴趣，某学校数学社团利用周日举行了测量旗杆高度的活动已知旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心测量方法如下：在地面上找一点D，用
32、测角仪测出看旗杆AB顶B的仰角为67.4，沿DE方向走4.8米到达C地，再次测得看旗杆顶B的仰角为73.5（1）求旗杆的高度（2）已知夏至日时该地的最大太阳高度约为78，试问夏至日旗杆顶B的影子能不能落在台阶上？（太阳高度角是指某地太阳光线与地平线的夹角结果精确到0.1m，参考数据：tan67.42.4，tan73.5，tan22.6，tan16.5，tan120.21）【24题答案】【答案】（1）37.4米 （2）不能【解析】【分析】（1）设旗杆的高度为，则，根据，建立方程，解方程求解即可，（2）设旗杆在夏至日的影子长为，根据题意可得米，结合题意即可求解【小问1详解】设旗杆的高度为，则，依题
33、意，解得，旗杆的高度为37.4米【小问2详解】旗杆的高度为37.4米，则杆顶B点到底面的高度为，设旗杆在夏至日的影子长为，解得米，旗杆的底座高1米，长8米，宽6米，旗杆位于底座中心，不能【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意列出方程是解题的关键26. 如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE求证：（1）四边形OCED是矩形；（2）如果ABAC4，连接AE，求线段AE的长【26题答案】【答案】（1）详见解析； （2）；【解析】【分析】（1）由菱形ABCD可得，再根据DEAC，CEBD可证四边形是平行四边形，故四边形OCED是矩形；（2）由（1）可得四边形OCE
34、D是矩形，所以，再由ABAC4计算出的边长后，利用勾股定理求出的长即可【小问1详解】证明：菱形ABCD，又DEAC，CEBD，四边形平行四边形，是矩形；【小问2详解】如下图所示，四边形OCED是矩形，菱形ABCD，ABAC4，；【点睛】本题考查了菱形的基本性质，矩形的判定定理及性质，勾股定理，是一题比较基础的证明题，熟记矩形的判定方法及其性质是解决本题的关键28. ABC是O的内接三角形，点P是O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC（1）如图，若ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论（2）如图，把（1）中的ABC改为等腰直角三角形，BA
35、C90，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由（3）如图，把（1）中ABC改为任意三角形，ABc，ACb，BCa时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_（直接写结果）（4）由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？【28题答案】【答案】（1）； （2）没有，理由见详解； （3）； （4）圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和【解析】【分析】（1）当ABC是等边三角形时，延长PB到点D，使得，连接DA，借助等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，证明，进而证明，为等边三角形，再推导出即可；（2）当ABC为等腰直角三角形时，延长P
36、B到点E，使得，连接AE，借助等腰直角三角形的性质及圆内接四边形的性质，证明，进而证明，也为等腰直角三角形，再推导出，可知三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系；（3）当ABC改为任意三角形时，在中，以点A为顶点，AC为边，作，点F在BC上，借助圆周角定理的推论（同弧或等弧所对的圆周角相等）证明和，再由相似三角形的性质可推导出和，由可推导，即；（4）由（3）的结论可知圆内接四边形的四条边和对角线的关系【小问1详解】解：，证明：如图4，延长PB到点D，使得，连接DA，为等边三角形， ，四边形ABPC内接于圆，在和中， ，（SAS），为等边三角形，； 图4【小问2详解】若ABC为等腰直角三
37、角形，三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系，理由如下：如图5，延长PB到点E，使得，连接AE，ABC为等腰直角三角形，BAC90，四边形ABPC内接于圆，在和中， ，（SAS），又，三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系； 图5【小问3详解】如图6，在中，以点A为顶点，AC为边，作，点F在BC上，又，在和中， ， ，当ABc，ACb，BCa时，即故答案为：； 图6【小问4详解】由（3）的结论，可知圆内接四边形的四条边和对角线的关系为：圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论、全等三角形和相似三角形的性质等知识，综合性强，难度大，解
38、题关键是通过延长线段或截取线段构造全等三角形或相似三角形30. 已知：抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，将绕点A旋转180得到交x轴与点N（1）求的解析式（2）求证：无论x取何值恒（3）当时，求m和n的值（4）直线经过点N，D是抛物线上第二象限内的一点，设D的横坐标为q，作直线AD交抛物线于点M，交直线于点E，若DM2ED，求q值【30题答案】【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）【解析】【分析】（1）先求得点的坐标，以及的顶点坐标，进而根据中心对称的性质求得点的坐标和顶点坐标，然后待定系数法求解析式即可；（2）作差法证明即可；（3）设，根据中心对称的性质，关于点中心对称，结合
39、函数图象可知，经过点，且与相切与点，即与有唯一交点，据此代入点的坐标，联立或,根据一元二次方程根的判别式求解即可；（4）先求得直线的解析式，直线为，进而求得点，根据关于点中心对称，可得，由DM2ED，根据中点坐标公式求解即可【小问1详解】解：由抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，令，即解得，设的顶点为则的顶点坐标为将绕点A旋转180得到交x轴与点N则点设顶点坐标为，则设的解析式为，将代入得，【小问2详解】证明：，无论x取何值恒【小问3详解】设直线为当时，即过点则，由得解得【小问4详解】直线经过点N，D，将点代入，得 ，解得 D是抛物线上第二象限内的一点，设D的横坐标为q，且设直线为则解得直线为联立解得 关于点中心对称， DM2ED，即点为的中点解得或（舍）【点睛】本题考查了二次函数性质，待定系数法求解析式，旋转的性质，二次函数与一元二次方程的关系中心对称的性质，中点坐标公式，一次函数解析式，综合运用以上知识是解题的关键
