1、2022年浙江省温州市（龙湾、经开）初中学业水平考试第一次适应性测试数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项，不选多选。错选均不给分）1. 数3，0，2中最小的是（）A. 3B. C. 0D. 22. 截至2022年3月24日，“祝融号”火星车在距离地球277000000千米的火星表面工作306个火星日，数据277000000用科学记数法可表示为（）A. 277106B. 27.7107C. 2.77108D. 0.2771093. 某服务台如图所示，它的主视图为（）A. B. C. D. 4. 如图是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数分布直方图
2、（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），由图可知，每周课外阅读时间在6小时及以上的人数有（）A. 36人B. 14人C. 8人D. 6人5. 下列运算中，计算结果正确的是（）A. m2m3m6B. m3mm3C. （m3）2m5D. （mn）3m3n36. 现有四种型号的铁皮，铁皮的形状与相关尺寸如图所示（单位：dm）从中选两种，正好可以制成一个无盖圆柱形水桶（不计接头），则所选的这两种铁皮的型号是（）A. B. C. D. 7. 甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.25倍，甲比乙提前半小时走完全程设乙的速度为xkm/h，则下列方程正确的是（）A. B. C
3、. D. 8. 如图，AD是O的直径，PA，PB分别切O于点A，B，弦BCAD当的度数为126时，则P的度数为（）A. 54B. 55C. 63D. 649. 将一块含30角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，轴反比例函数的图象恰好经过点A，且与直角边BC交于点D若，BD2CD，则k的值为（）A. B. C. D. 10. 在数学拓展课上，小华同学将正方形纸片的顶点A，B，C，D与各边的中点E，F，G，H分别连接，形成四边形MNST，直线MS，TN与正方形ABCD各边相交构成一个如图的“风车”图案若正方形的边长为，则阴影部分面积之和为（）A. B. 2C. D.
4、 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11. 分解因式：a29b2_；12. 一个不透明的箱子里装有12个白球，3个红球，5个黑球，它们除颜色外均相同从箱子里任意摸出一个球，是红球的概率为 _13. 若扇形圆心角为100，半径为6，则该扇形的面积为 _14. 不等式组的解为 _15. 如图，直线l：y2x+b交y轴于点C，点A在y轴正半轴上，以OA为斜边作等腰直角AOB，点B（2，2）将AOB向右平移得到DEF，连结BE交直线l于点G当A，B，E三点共线时，点D恰好落在直线l上，则的值为 _16. 如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图车身为四边形ABC
5、D，BCAB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB169cm，BC120cm挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接当TNAD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是 _cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQAE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ65cm，AEAD当AE旋转至AF时，PQ下降到PQ的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ52cm，则点P到地面的离是 _cm三、解答题（本题有8小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17. （1）计算：（2）化简：18. 如图，以ABC的两边AC，BC为
6、边分别向外作ADC和BEC，使得BCDACE，CDCE，DE（1）求证：ADCBEC（2）若CAD60，ABE110，求ACB的度数20. 质量检测部门对甲、乙两公司销售某电子产品的使用寿命进行跟踪调查，分别从中抽取了10个产品进行统计，结果如下（单位：年）：产品序号甲公司（年）66888910121415乙公司（年）44467913151616（1）请估计乙公司该电子产品的平均使用寿命（2）甲、乙两公司在产品的销售广告中都声称，其销售产品的使用寿命是8年请说明这两家公司分别选用了哪一种统计作为该电子产品的使用寿命22. 如图，在44方格纸ABCD中，请按要求画格点三角形和格点四边形（顶点在格
7、点上），所画图形的顶点均不与点A，B，C，D重合（1）在图1中画一个各边均为无理数的等腰直角EFG（2）在图2中画一个对角线长度之比为：2的平行四边形MNPQ24. 如图，抛物线经过A(-2，0)，B(0，-4)两点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D(m，n)为抛物线上第二象限内的点，过点D作x轴的平行线交抛物线于另一点E，过y轴右侧抛物线上点C(a，4)作CFDE于点F，当CF+DF18时，求m的值26. 如图，AD是RtABC斜边BC上的中线，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F，连结CF（1）求证：四边形ADCF为菱形；（2）若AE，tanABC，求菱形ADCF的面积
8、28. 某商场出售A商品，该商品按进价提高50%后出售，售出10件可获利100元（1）求A商品每件的进价和售价分别是多少元？（2）已知A商品每星期卖出200件，为提高A商品的利润，商场市场部进行了调查，获得以下反馈信息：信息一：每涨价1元，每星期会少卖出10件信息二：每降价1元，每星期可多卖出25件结合上述两条信息，A商品售价为多少元时，利润最大？某顾客带320元到商场购买A、B两种商品至少各1件（A商品为第小题中利润最大时的售价），B商品售价为25元/个，现要求A商品的数量不少于B商品的数量在不超额的前提下，如何购买这两种商品，使在总数量最多的情况下，总费用最少30. 如图1，在平面直角坐标
9、系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），以AB为直径的M与y轴的正半轴交于点C点P是劣弧BC上的一动点（1）求sinABC的值（2）当PCB中有一边是BP两倍时，求相应AP的长（3）如图2，以BC为边向上作等边CBD，线段MD分别交BC和于点H，N连结DP，HP点P在运动过程中，DP与HP存在一定的数量关系【探究】当点P与点N重合时，求的值；【探究二】猜想：当点P与点N不重合时，【探究】的结论是否仍然成立若成立，给出证明：若不成立，请说明理由参考答案一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项，不选多选。错选均不给分）1. 数3，0，2中最小的是（）A
10、. 3B. C. 0D. 2【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，即可选择【详解】，最小的数是-2，故选D【点睛】本题考查比较实数大小，掌握实数比较大小的法则是解答本题的关键2. 截至2022年3月24日，“祝融号”火星车在距离地球277000000千米的火星表面工作306个火星日，数据277000000用科学记数法可表示为（）A. 277106B. 27.7107C. 2.77108D. 0.277109【2题答案】【答案】C【解析】【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答【详解】解：
11、277000000用科学记数法可表示为2.77108故选：C【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键3. 某服务台如图所示，它的主视图为（）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】A【解析】【分析】主视图，从正面看到的图形，根据主视图的含义可得答案【详解】解：由主视图是从正面看到的图形，所以，某服务台的主视图为，故选：A【点睛】本题考查的是三视图中的主视图，掌握主视图的含义是解题的关键4. 如图是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），由图可知，每
12、周课外阅读时间在6小时及以上的人数有（）A. 36人B. 14人C. 8人D. 6人【4题答案】【答案】B【解析】【分析】根据频数分布直方图中各组的频数进行计算即可【详解】解：由题意得，8+6=14，故选：B【点睛】本题考查频数分布直方图，从频数分布直方图中得出各组频数是解决问题的关键5. 下列运算中，计算结果正确的是（）A. m2m3m6B. m3mm3C. （m3）2m5D. （mn）3m3n3【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则运算即可【详解】A选项，故A选项错误，B选项，故B选项错误，C选项，故C选项错误，D选项，故D选项正确故本题选D【
13、点睛】本题考查了同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方运算法则，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键6. 现有四种型号的铁皮，铁皮的形状与相关尺寸如图所示（单位：dm）从中选两种，正好可以制成一个无盖圆柱形水桶（不计接头），则所选的这两种铁皮的型号是（）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】C【解析】【分析】圆柱的侧面展开是一个长方形，其长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；制作圆柱形水桶，说明要选一个长方形和一个圆形铁皮，而且所选的长方形的一条边和圆的周长相等，根据圆的周长为d，算出周长再选择即可【详解】解：由圆柱体侧面展开图的长等于其底面周长，直径为2 dm的圆的周长为2 dm，直径为
14、4 dm的圆的周长为4 dm，故选择和合适故选C【点睛】此题考查了圆柱侧面展开图的特征，正确计算圆柱底面周长是解题的关键7. 甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.25倍，甲比乙提前半小时走完全程设乙的速度为xkm/h，则下列方程正确的是（）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】B【解析】【分析】设乙速度为xkm/h，则甲的速度为1.25x，然后根据“甲比乙提前半小时走完全程”列出分式方程即可【详解】解：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.25x，甲走完全程用时： ，甲走完全程用时：由甲比乙提前半小时走完全程可得：故答案为B【点睛】本题主要考查了列分式
15、方程，审清题意、明确各量之间的关系是解答本题的关键8. 如图，AD是O的直径，PA，PB分别切O于点A，B，弦BCAD当的度数为126时，则P的度数为（）A. 54B. 55C. 63D. 64【8题答案】【答案】A【解析】【分析】根据弧与圆心角的关系，可得，继而可得，根据平行线的性质以及同弧所对的圆周角相等，圆周角定理可得，根据领补角相等可得，根据切线长的性质以及切线的性质求得，进而求得，即可求得【详解】如图，连接，的度数为126，是的切线，故选A【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，平行线的性质，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，切线的性质，切线长定理，综合运用以上知识是解题的关键9. 将一
16、块含30角的三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，轴反比例函数的图象恰好经过点A，且与直角边BC交于点D若，BD2CD，则k的值为（）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】D【解析】【分析】过点A作AEx轴，交x轴于点E，过点D作FHx轴，交x轴于点F，交AB于点H，利用平行线的性质可知，再分别用三角函数解得AE长、DF长、AH长，设点A坐标为(x， )，可知点D坐标为(， )，根据反比例函数图像上的点的特征解出x的值，k值即可求【详解】如图过点A作AEx轴，交x轴于点E，过点D作FHx轴，交x轴于点F，交AB于点H轴 , AEx轴 ， BD2CD， , 设点
17、A坐标为(x， )，可知点D坐标为(， )点A与点D都在反比例函数上 解得 故本题选D【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点的坐标特征、特殊角的三角函数、平行线的性质等知识点、熟练掌握上述知识点是解答本题的关键10. 在数学拓展课上，小华同学将正方形纸片的顶点A，B，C，D与各边的中点E，F，G，H分别连接，形成四边形MNST，直线MS，TN与正方形ABCD各边相交构成一个如图的“风车”图案若正方形的边长为，则阴影部分面积之和为（）A. B. 2C. D. 【10题答案】【答案】A【解析】【分析】过点作，连接，则，证明DAHABE，可得DHA=AEB，ADH=BAE，证明ATHABE，求得AE
18、=5，证明四边形STMN是正方形，且边长为2，根据DAHTLH，TKLOKH，分别求得，勾股定理求得，然后根据三角形面积公式求解，根据旋转对称性可知四个三角形的面积相等，进而即可求解【详解】解：如图，过点作，连接，则，四边形是正方形，分别为各边中点，DAHABE，DHA=AEB，ADH=BAE，ATHABE，AB=，AH=BE=，AE=5，AT=2，TH=1，TM=AE-AT-ME=AE-AT-TH=2，同理可得ST=NS=NM=2，ADH+DHA=90，DHA+BAE=90即STM=90，四边形STMN是正方形，OT=，DAHTLH，TKLOKH，在中，四个阴影部分的面积为故选A【点睛】本题
19、考查了正方形的性质，相似三角形及全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转对称性，掌握正方形的性质是解题的关键二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11. 分解因式：a29b2_；【11题答案】【答案】（a3b）（a3b）【解析】【分析】利用平方差公式因式分解即可【详解】解：a29b2（a3b）（a3b）故答案为：（a3b）（a3b）【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用平方差公式因式分解是解决此题的关键12. 一个不透明的箱子里装有12个白球，3个红球，5个黑球，它们除颜色外均相同从箱子里任意摸出一个球，是红球的概率为 _【12题答案】【答案】#0.15【解析】【分析】先求出总的球数，
20、再根据概率公式进行计算即可【详解】在一个不透明的袋子里装有12个白球，3个红球，5个黑球，共20个球随机从中摸出一个球，摸到红球的概率是故答案为：【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键13. 若扇形的圆心角为100，半径为6，则该扇形的面积为 _【13题答案】【答案】【解析】【分析】根据扇形面积公式求解即可【详解】解：根据扇形面积公式可得，故答案为：【点睛】此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键14. 不等式组的解为 _【14题答案】【答案】2x
21、2【解析】【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可【详解】解：解可得：，解可得：，不等式组的解集是2x2，故答案为：2x2【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键15. 如图，直线l：y2x+b交y轴于点C，点A在y轴的正半轴上，以OA为斜边作等腰直角AOB，点B（2，2）将AOB向右平移得到DEF，连结BE交直线l于点G当A，B，E三点共线时，点D恰好落在直线l上，则的值为 _【15题答案】【答案】【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的性质和点B的坐标，求出点A的坐标，进而求出AB及直线AB的关
22、系式，再令y=0，求出点E的坐标，进而得出点D的坐标，即可求出直线CD的关系式，然后将两个直线关系式联立求出点G的坐标，最后根据两点之间距离公式求出EG，即可得出答案【详解】ABO是等腰直角三角形，且点B（2，2），AO=4，点A（0，4），则，解得设直线AB的关系式为y=kx+b，得，解得，直线AB的关系式为y=-x+4当y=0时，x=4，点E（4，0），点D（4，4），将点D坐标代入y=2x+b，得4=8+b，解得b=-4，所以直线CD的关系式为y=2x-4.将两个直线关系式联立，得，解得，则点G，【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，一次函数与一元二次方程的关系，两点之间的距
23、离公式，等腰直角三角形的性质等，求出点G的坐标是解题的关键16. 如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图车身为四边形ABCD，BCAB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB169cm，BC120cm挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接当TNAD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是 _cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQAE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ65cm，AEAD当AE旋转至AF时，PQ下降到PQ的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ52cm，则点P到地面的离是 _cm【1
24、6题答案】【答案】 . 130 . 77【解析】【分析】连接BD，过D点作DGAB交AB于点G，先证明，根据勾股定理可得DC长，再根据勾股定理即可解出AD长，过作交AF于点H，过点作BA延长线，交BA延长线于点L，交于点I，过A作AKFC于点K，根据勾股定理可得FK长，关于 的三角函数可求，再根据三角函数可求出、的值，即可求解【详解】如图，连接BD，过D点作DGAB交AB于点G，N为AB重点，且TNAD，AN=DN，BNABN与DBN共边，BD=AB=169 cm，BCAB，cm，BCAB，DGAB，四边形DGBC为矩形，BG=DC=119 cm，DG=BC=120 cm，AG=AB-BG=1
25、69-119=50 cm，cm故答案为130如图，过作交AF于点H，过点作BA延长线，交BA延长线于点L，交于点I，过A作AKFC于点K，则AK=BC=120 cm，cm，cm，在中，cm ，cm ，在中，cm ，在中，cm， cm ，cm，轮胎半径为30 cm，点P到地面离为47+30=77 cm故答案为77【点睛】本题考查了三角形全等、平行线的性质、三角函数及勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键三、解答题（本题有8小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17. （1）计算：（2）化简：【17题答案】【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）根据算术平
26、方根，零指数幂以及绝对值的性质化简，求解即可；（2）根据完全平方公式以及整式的四则运算法则求解即可【详解】解：（1）；（2）【点睛】此题考查了算术平方根，零指数幂，绝对值的性质，完全平方公式以及整式的四则运算，解题的关键是掌握完全平方公式以及相关运算法则18. 如图，以ABC的两边AC，BC为边分别向外作ADC和BEC，使得BCDACE，CDCE，DE（1）求证：ADCBEC（2）若CAD60，ABE110，求ACB的度数【18题答案】【答案】（1）见解析； （2）【解析】【分析】（1）通过BCDACE得到，再根据ASA即可求证；（2）由（1）可得，从而求得，即可求解【小问1详解】证明：BCD
27、ACE在ADC和BEC中ADCBEC（ASA）【小问2详解】解：由（1）可得，【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质20. 质量检测部门对甲、乙两公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查，分别从中抽取了10个产品进行统计，结果如下（单位：年）：产品序号甲公司（年）66888910121415乙公司（年）44467913151616（1）请估计乙公司该电子产品的平均使用寿命（2）甲、乙两公司在产品的销售广告中都声称，其销售产品的使用寿命是8年请说明这两家公司分别选用了哪一种统计作为该电子产品的使用寿命【20题答
28、案】【答案】（1）乙公司该电子产品的平均使用寿命为年； （2）甲公司使用的是众数，乙公司使用的是中位数【解析】【分析】（1）根据乙公司的数据，求解平均值即可；（2）分别计算出甲、乙两个公司的平均数，众数以及中位数，即可求解【小问1详解】解：由题意可得，乙公司该电子产品的平均使用寿命为（年），答：乙公司该电子产品的平均使用寿命为年；【小问2详解】解：甲公司该电子产品的平均使用寿命为（年），甲公司的中位数为：（年），甲公司的众数为：8（年），乙公司的中位数为：（年），乙公司的众数为：4（年），则可知，甲公司使用的是众数，乙公司使用的是中位数【点睛】本题考查了平均数、众数以及中位数的计算，解题的关键
29、是掌握它们的求解方法22. 如图，在44的方格纸ABCD中，请按要求画格点三角形和格点四边形（顶点在格点上），所画图形的顶点均不与点A，B，C，D重合（1）在图1中画一个各边均为无理数的等腰直角EFG（2）在图2中画一个对角线长度之比为：2的平行四边形MNPQ【22题答案】【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）构造一个腰长为的等腰直角三角形即可；（2）根据题意作出对角线分别为的平行四边形即可【小问1详解】如图所示，EFG即为所求【小问2详解】如图所示，平行四边形MNPQ即为所求【点睛】本题考查了勾股定理与网格，无理数，平行四边形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键24. 如
30、图，抛物线经过A(-2，0)，B(0，-4)两点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D(m，n)为抛物线上第二象限内的点，过点D作x轴的平行线交抛物线于另一点E，过y轴右侧抛物线上点C(a，4)作CFDE于点F，当CF+DF18时，求m的值【24题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将A(-2，0)，B(0，-4)代入，求出b和c的值即可；（2）根据抛物线解析式结合题意可求出C(2，-4)，D(m，)从而可表示出F(2，)即可求出，最后根据CF+DF18，即可列出关于m的等式，解出m，再舍去不合题意的值即可【小问1详解】将A(-2，0)，B(0，-4)代入，得：，解得：，抛物线的
31、函数表达式为；【小问2详解】将点C(a，-4)代入得：，解得：，点C在y轴右侧，C(2，-4)将点D(m，n)代入得：，D(m，)F(2，)，CF+DF18，解得：点D(m，n)为抛物线上第二象限内的点，【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，两点的距离公式掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键26. 如图，AD是RtABC斜边BC上的中线，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F，连结CF（1）求证：四边形ADCF为菱形；（2）若AE，tanABC，求菱形ADCF的面积【26题答案】【答案】（1）见解析 （2）48【解析】【分析】（1）由
32、“”可证，可得，可证四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可证，可得结论；（2）根据，求出，根据，设，则，由勾股定理得，建立，解得：，再根据即可求出面积【小问1详解】证明：，是直角三角形，是边上的中线，是的中点，在和中，又，且，四边形是平行四边形，是的中点，四边形是菱形；【小问2详解】解：，设，则，由勾股定理得：，解得：，【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据正切值求出边长，解题的关键是找到之间的关系28. 某商场出售A商品，该商品按进价提高50%后出售，售出10件可获利100元（1）求A商品每件的进价和售价分别是多少元？（2）已知A商品每
33、星期卖出200件，为提高A商品的利润，商场市场部进行了调查，获得以下反馈信息：信息一：每涨价1元，每星期会少卖出10件信息二：每降价1元，每星期可多卖出25件结合上述两条信息，A商品售价为多少元时，利润最大？某顾客带320元到商场购买A、B两种商品至少各1件（A商品为第小题中利润最大时的售价），B商品售价为25元/个，现要求A商品的数量不少于B商品的数量在不超额的前提下，如何购买这两种商品，使在总数量最多的情况下，总费用最少【28题答案】【答案】（1）A商品每件的进价和售价分别是20，30元； （2）A商品售价为35元时，利润最大；在总数量最多的情况下，购买A、B商品的数量都为5个时，总费用最
34、少【解析】【分析】（1）设进价为x元，则售价为元，根据题意列方程求解即可；（2）分商品涨价和降价两种情况，分别列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；设购买A商品数量为m个，B商品数量为n个，根据题意列出不等式组，求解即可【小问1详解】解：设A的进价为x元，则售价为元，由题意可得：，解得，答：A商品每件的进价和售价分别是20，30元；【小问2详解】设售价为x元，获得利润为w元当商品涨价时，则，此时销售量为件，则当x=35时，w最大，为2250，当商品降价时，则，此时销售量为件当x=29时，w最大，为2025，20252250当x=35时，w最大，为2250，答：A商品售价为35元时，利润最
35、大；设购买A商品数量为m个，B商品数量为n个，由题意可得：且m，n为正整数，当，n=1时，符合题意；当m=2，n=2时，符合题意；当m=3，n=3时，符合题意；当m=4，n=4时，符合题意；当m=5，n=5时，符合题意；当m=6，n=5时，不符合题意；综上，在总数量最多的情况下，购买A、B商品的数量都为5个时，总费用最少【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用以及二元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系或不等式关系，正确列出方程、函数以及不等式30. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），以AB为直径的M与y轴的正半轴交
36、于点C点P是劣弧BC上的一动点（1）求sinABC的值（2）当PCB中有一边是BP的两倍时，求相应AP的长（3）如图2，以BC为边向上作等边CBD，线段MD分别交BC和于点H，N连结DP，HP点P在运动过程中，DP与HP存在一定的数量关系【探究】当点P与点N重合时，求的值；【探究二】猜想：当点P与点N不重合时，【探究】结论是否仍然成立若成立，给出证明：若不成立，请说明理由【30题答案】【答案】（1） （2）或 （3）【探究】；【探究二】成立，理由见详解【解析】【分析】（1）证明AOCCOB，可得，从而得到OC=，再由勾股定理可得AC=2，即可求解；（2）分两种情况：当BC=2PB时，当PC=2
37、PB时，即可求解；（3）【探究】连接CM，BP，根据BCD为等边三角形，可得到BMP是等边三角形，从而得到AH=PH=1，DH=BH=3，即可求解；【探究二】连接MP，证得HMPPMD，即可求解【小问1详解】解：如图所示，A（-1，0），B（3，0）AB=3-（-1）=4，圆M的半径为2，AB为直径，C在圆M上ACB=90又BOC=90ACO+CAO=90，CAO+CBO=90ACO=CBOAOCCOB，即解得：OC=在RtAOC中，由勾股定理得：AC=2sinABC=【小问2详解】解：分两种情况讨论当BC=2PB时，由（1）知，BC=，PB=AB为直径APB=90AP=当PC=2PB时，如图
38、所示，过B作BHCP于H由sinABC=得，ABC=30，CAO=60A、C、P、B四点共圆，CPB=180CAO=120BPH=60，PBH=30设PH=x，则BP=2x，CP=4x，BH=x，在RtBCH中，由勾股定理得：即解得：x=AP=综上所述，PCB中有一边是BP的两倍时，AP的长度为或【小问3详解】当点P与点N重合时，的值为，理由如下：连接CM，BP，BCD为等边三角形，BD=CD=BC，DBC=DCB=CDB=60，CM=BM，CD=BD，DM是CB的垂直平分线，DMBC，H是BC中点，HMAC，PMB=60，即BMP是等边三角形，H是PM中点，AH=PH=1，DH=BH=3，PD=2故=【探究二】=仍然成立，理由如下：如图，连接MP，由【探究】知，HM=1，MP=2，DM=4，又HMP=DMP，HMPPMD，即=仍然成立【点睛】根据特殊锐角函数值推出相应角度，灵活使用等边三角形及圆内接四边形性质是解题关键 探究题由特殊到一般是研究几何问题的常规思想方法，对于比值不变性问题，难度较大，要借助相似三角形求解
